【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修四導(dǎo)學(xué)案：《單位圓與誘導(dǎo)公式》

第4課時(shí)單位圓與誘導(dǎo)公式1.借助單位圓,利用點(diǎn)的對(duì)稱性推導(dǎo)出“-α,π+α,π-α,α+π2”的誘導(dǎo)公式,并會(huì)應(yīng)用公式求任意角的三角函數(shù)值2.會(huì)應(yīng)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)潔的三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值.3.通過公式的運(yùn)用,學(xué)會(huì)從未知到已知,簡(jiǎn)單到簡(jiǎn)潔的轉(zhuǎn)化方法.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義,以及終邊相同的角的正弦、余弦函數(shù)值也相等,即sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)與cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z),公式體現(xiàn)了求任意角的正弦、余弦函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0°~360°的角的正弦、余弦函數(shù)值,那么我們能否將0°~360°間的角的正弦、余弦函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的正弦、余弦函數(shù)值呢?問題1:將任意角轉(zhuǎn)化成0°~360°間的角的幾種狀況由于任意角都可以通過終邊相同的角轉(zhuǎn)化成0°~360°間的角,對(duì)于任意0°~360°的角β,只有四種可能(其中α為銳角),則有β=α問題2:(1)角α與-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系如圖,在單位圓中對(duì)任意角∠MOP=α,作∠MOP'=-α,這兩個(gè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為P和P',可知OP與OP'關(guān)于軸對(duì)稱,設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),則點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(a,-b),所以sin(-α)=-b,cosα=a.即sin(-α)=,cos(-α)=.

(2)角α與α±π的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系如圖,在直角坐標(biāo)系的單位圓中,對(duì)任意角∠MOP=α,其終邊與單位圓的交點(diǎn)為P,當(dāng)點(diǎn)P按逆(順)時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π至點(diǎn)P'時(shí),點(diǎn)P'的坐標(biāo)為:(cos(α+π),sin(α+π))或(cos(α-π),sin(α-π)),此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,橫、縱坐標(biāo)都互為,故sin(α+π)=,cos(α+π)=;sin(α-π)=,cos(α-π)=.

(3)角α與π-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系如圖,在單位圓中,當(dāng)∠MOP=α是銳角時(shí),作∠MOP'=π-α,不難看出,點(diǎn)P和點(diǎn)P'關(guān)于y軸對(duì)稱,則有sin(π-α)=,

cos(π-α)=.

(4)角α與π2+α在單位圓中,仿照上面的方法,可以得出,sin(α+π2)=,cos(α+π2)=問題3:任意角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式(1)sin(2kπ+α)=;cos(2kπ+α)=;

(2)sin(-α)=;cos(-α)=;

(3)sin(2π-α)=;cos(2π-α)=;

(4)sin(π-α)=;cos(π-α)=;

(5)sin(π+α)=;cos(π+α)=;

(6)sin(α+π2)=;cos(α+π2)=(7)sin(π2-α)=;cos(π2-α)=問題4:爭(zhēng)辯幾組誘導(dǎo)公式的共同點(diǎn)與規(guī)律(1)2kπ±α,-α,π±α的三角函數(shù)值等于α的三角函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看作角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào);

(2)π2±α的正弦(余弦)函數(shù)值分別等于α的()函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看作角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)1.下列等式不正確的是().A.sin(α+180°)=-sinα B.cos(-α+β)=-cos(α-β)C.sin(-α-360°)=-sinα D.cos(-α-β)=cos(α+β)2.函數(shù)f(x)=cosπx3(x∈Z)的值域?yàn)?A.{-1,-12,0,12,1} B.{-1,-12,1C.{-1,-32,0,32,1} D.{-1,-32,33.若sin(π6-θ)=33,則sin(7π6-θ4.已知sin(π+α)+sin(-α)=-m,求sin(3π+α)+2sin(2π-α)的值.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求特殊角的三角函數(shù)值.(1)sin1320°;(2)cos(-313π)誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)中的綜合運(yùn)用已知f(θ)=sin((1)化簡(jiǎn)f(θ);(2)若sin(3π2-θ)=15,求f(θ利用誘導(dǎo)公式對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值或證明恒等式化簡(jiǎn):sin(4n-14π-α)+cos(4n+14π求sin(-203π)cos436π+cos(-173π)·sin(356已知f(x)=sin(π-x)cos(2π-x已知cos(π+α)=-12,且α是第四象限角,計(jì)算sin[α+(2n1.sin(-196π)的值等于()A.-32 B.-12 C.12 D2.已知sin(α-π4)=13,則cos(π4+α)的值為(A.223 B.-223 C.133.5sin90°+2cos0°-3sin270°+10cos180°=.

4.化簡(jiǎn)sin((2009年·全國(guó)Ⅰ卷)sin585°的值為().A.-22 B.22 C.-32 D考題變式(我來改編):第4課時(shí)單位圓與誘導(dǎo)公式學(xué)問體系梳理問題1:一二三四問題2:(1)x-sinαcosα(2)相反數(shù)-sinα-cosα-sinα-cosα(3)sinα-cosα(4)cosα-sinα問題3:(1)sinαcosα(2)-sinαcosα(3)-sinαcosα(4)sinα-cosα(5)-sinα-cosα(6)cosα-sinα(7)cosαsinα問題4:(1)同名銳(2)余弦正弦銳基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.B由誘導(dǎo)公式可知,A正確;對(duì)于B,cos(-α+β)=cos[-(α-β)]=cos(α-β),故B不正確;對(duì)于C,sin(-α-360°)=sin(-α)=-sinα,故C正確;對(duì)于D,cos(-α-β)=cos[-(α+β)]=cos(α+β),故D正確.2.B對(duì)x依次賦值0,1,2,3,4,…,很簡(jiǎn)潔選出.3.-33sin(7π6-θ)=sin[π+(π6-θ)]=-sin(π64.解:∵sin(π+α)+sin(-α)=-sinα-sinα=-2sinα=-m,∴sinα=m2,而sin(3π+α)+2sin(2π-α)=sin[2π+(π+α)]-2sinα=sin(π+α)-2sinα=-sinα-2sinα=-3sinα,故sin(3π+α)+2sin(2π-α)=-3重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)sin1320°=sin(3×360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-32(2)cos(-313π)=cos(-10π-π3)=cos(-π3)=cosπ【小結(jié)】熟記正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式,將其轉(zhuǎn)化為銳角的正弦或余弦值,是解答此類題型的關(guān)鍵,同時(shí)要牢記一些特殊角的三角函數(shù)值.探究二:【解析】(1)f(θ)=(-=-cosθ.(2)∵sin(3π2-θ)=-cosθ=∴f(θ)=-cosθ=15【小結(jié)】熟記誘導(dǎo)公式,并留意總結(jié)規(guī)律,有助于理解和記憶,如涉及2kπ±α,-α,π±α的三角函數(shù)值,其三角函數(shù)的名不變,若涉及π2±α,則正弦變余弦、余弦變正弦,另外,要留意符號(hào)的變化探究三:【解析】原式=sin[nπ-(π4+α)]+cos[nπ+(π4=sin(π4+α)-cos(π4=sin[π2-(π4-α)]-cos(π=cos(π4-α)-cos(π4-α)=[問題]以上化簡(jiǎn)過程正確嗎?[結(jié)論]不正確,在化簡(jiǎn)過程中未對(duì)n加以爭(zhēng)辯而導(dǎo)致錯(cuò)誤.于是,正確解答如下:原式=sin[nπ-(π4+α)]+cos[nπ+(π4-α①當(dāng)n=2k+1(k∈Z)時(shí),原式=sin[2kπ+π-(π4+α)]+cos[2kπ+π+(π4=sin(π4+α)-cos(π4=cos(π4-α)-cos(π4-α)=②當(dāng)n=2k(k∈Z)時(shí),原式=sin[2kπ-(π4+α)]+cos[2kπ+(π4=-sin(π4+α)+cos(π4-α)=綜上可得,原式=0.【小結(jié)】在對(duì)sin(α+kπ),cos(α+kπ)進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí),一般要分兩種狀況爭(zhēng)辯:當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),sin(α+kπ)=sinα,cos(α+kπ)=cosα;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),sin(α+kπ)=-sinα,cos(α+kπ)=-cosα.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:原式=-sin(6π+2π3)cos(6π+76π)+cos(4π+53π)·sin(4π+116π)=-sin(π-π3)cos(π+π6)+cos(2π-π3)sin(2π-π6)=sinπ3cosπ6-cosπ3sin應(yīng)用二:∵f(x)=sinxcosxsinx·sin∴f(-31π3)=-sin(-31π3)=sin31π3==sinπ3=3應(yīng)用三:∵cos(π+α)=-12,∴-cosα=-12,cosα=∴sin=sin=sin=-sinα=-2cosα=-基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.C∵sin(-196π)=sin(-4π+56π)=sin56π=sin(π-π6)=sinπ6=2.Dcos(π4+α)=sin[π2-