2022屆《創(chuàng)新設(shè)計(jì)》數(shù)學(xué)一輪(理科)北師大版配套課時(shí)作業(yè)2-4-二次函數(shù)性質(zhì)的再研究與冪函數(shù)

第4講二次函數(shù)性質(zhì)的再爭(zhēng)辯與冪函數(shù)基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋t圖像的頂點(diǎn)在x軸上，則t的值是 ()A．－4 B．4C．－2 D．2解析二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在x軸上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4.答案A2．(2022·鄭州檢測(cè))若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的圖像與x軸的交點(diǎn)為(1,0)和(3,0)，則函數(shù)f(x) ()A．在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增B．在(－∞，3)上遞增C．在[1,3]上遞增D．單調(diào)性不能確定解析由已知可得該函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，又二次項(xiàng)系數(shù)為1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是遞減的，在[2，＋∞)上是遞增的．答案A3．若a＜0，則0.5a,5a,5－a的大小關(guān)系是A．5－a＜5a＜0.5a B．5a＜0.5C．0.5a＜5－a＜5a D．5a＜5－解析5－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))a，由于a＜0時(shí)，函數(shù)y＝xa單調(diào)遞減，且eq\f(1,5)＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a.答案B4．(2021·蚌埠模擬)若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c滿(mǎn)足f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)等于 ()A．－eq\f(b,2a) B．－eq\f(b,a)C．c D.eq\f(4ac－b2,4a)解析∵f(x1)＝f(x2)且f(x)的圖像關(guān)于x＝－eq\f(b,2a)對(duì)稱(chēng)，∴x1＋x2＝－eq\f(b,a).∴f(x1＋x2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))＝a·eq\f(b2,a2)－b·eq\f(b,a)＋c＝c.答案C5．(2022·山東師大附中期中)“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝x2－4ax＋3在區(qū)間[2，＋∞)上為增函數(shù)”的 A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件解析函數(shù)f(x)＝x2－4ax＋3在區(qū)間[2，＋∞)上為增函數(shù)，則滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)軸－eq\f(－4a,2)＝2a≤2，即a≤1，所以“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝x2－4ax＋3在區(qū)間[2，＋∞)上為增函數(shù)”的充分不必要條件．答案B二、填空題6．二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，最小值為－1，則它的解析式是________．答案y＝eq\f(1,2)(x－2)2－17．當(dāng)α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3))時(shí)，冪函數(shù)y＝xα的圖像不行能經(jīng)過(guò)第________象限．解析當(dāng)α＝－1、1、3時(shí)，y＝xα的圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限；當(dāng)α＝eq\f(1,2)時(shí)，y＝xα的圖像經(jīng)過(guò)第一象限．答案二、四8．若方程x2－11x＋30＋a＝0的兩根均大于5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析令f(x)＝x2－11x＋30＋a.結(jié)合圖像有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,f5>0，))∴0<a≤eq\f(1,4).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))三、解答題9．(2021·綿陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；(2)在(1)的條件下，f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，試求k的范圍．解(1)由題意有f(－1)＝a－b＋1＝0，且－eq\f(b,2a)＝－1，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋1，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1]，單調(diào)增區(qū)間為[－1，＋∞)．(2)f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為x2＋x＋1>k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立．設(shè)g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，則g(x)在[－3，－1]上遞減．∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k<1，即k的取值范圍為(－∞，1)．10.(2022·遼寧五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖像，如圖所示，請(qǐng)依據(jù)圖像：(1)寫(xiě)出函數(shù)f(x)(x∈R)的增區(qū)間；(2)寫(xiě)出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式；(3)若函數(shù)g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函數(shù)g(x)的最小值．解(1)f(x)在區(qū)間(－1,0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)設(shè)x＞0，則－x＜0，函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2xx＞0，,x2＋2xx≤0.))(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，對(duì)稱(chēng)軸為x＝a＋1，當(dāng)a＋1≤1，即a≤0時(shí)，g(1)＝1－2a為最小值；當(dāng)1＜a＋1≤2，即0＜a≤1時(shí)，g(a＋1)＝－a2－2a＋1為最小值；當(dāng)a＋1＞2，即a＞1時(shí)，g(2)＝2－4a為最小值．綜上，g(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2aa≤0，,－a2－2a＋10＜a≤1，,2－4aa＞1.))力氣提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)11．已知函數(shù)f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的圖像與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A．(0,1) B．(0,1]C．(－∞，1) D．(－∞，1]解析用特殊值法．令m＝0，由f(x)＝0得x＝eq\f(1,3)適合，排解A，B.令m＝1，由f(x)＝0得x＝1適合，排解C.答案D12．(2022·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋b(1＜a＜3)，且x1＜x2，x1＋x2＝1－a，則下列說(shuō)法正確的是 ()A．f(x1)＜f(x2)B．f(x1)＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系不能確定解析f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1，由于1＜a＜3，則－2＜1－a＜0，若x1＜x2≤－1，則x1＋x2＜－2，不滿(mǎn)足x1＋x2＝1－a且－2＜1－a＜0；若x1＜－1，x2≥－1時(shí)，|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a＞0(1＜a＜3)，此時(shí)x2到對(duì)稱(chēng)軸的距離大，所以f(x2)＞f(x1)；若－1≤x1＜x2，則此時(shí)x1＋x2＞－2，又由于f(x)在[－1，＋∞)上為增函數(shù)，所以f(x1)＜f(x2)．答案A13．(2021·南昌模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝xα，當(dāng)x＞1時(shí)，恒有f(x)＜x，則α的取值范圍是________．解析當(dāng)x＞1時(shí)，恒有f(x)＜x，即當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f(x)＝xα的圖像在y＝x的圖像的下方，作出冪函數(shù)f(x)＝xα在第一象限的圖像，由圖像可知α＜1時(shí)滿(mǎn)足題意．答案(－∞，1)14．(2021·雅安模擬)已知函數(shù)f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，且f(0)·f(1)>0.(1)求證：－2<eq\f(b,a)<－1；(2)若x1、x2是方程f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根，求|x1－x2|的取值范圍．(1)證明當(dāng)a＝0時(shí)，f(0)＝c，f(1)＝2b＋c，又b＋c＝0，則f(0)·f(1)＝c(2b＋c)＝－c2<0與已知沖突，因而a≠0，則f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－(a＋b)(2a＋b)>0即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋2))<0，從而－2<eq\f(b,a)<－1.(2)解x1、x2是方程f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根，則x1＋x2＝－eq\f(2b,3a)，x1x2＝－eq\f(a＋b,3a)，那么(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2b,3a)))2＋4×eq\f(a＋b,3a)＝eq\f(4,9)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋eq\f(4b,3a)＋eq\f(4,3)＝eq\f(4,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4