【同步輔導】2021高中數學北師大版必修四導學案：《余弦函數的圖像與性質》

第6課時余弦函數的圖像與性質1.能利用單位圓中的余弦線畫出余弦函數的圖像.2.能類比正弦函數圖像與性質得出余弦函數的性質.3.能理解余弦函數的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義.4.會求簡潔函數的定義域、值域、最小正周期和單調區(qū)間.假如函數y=cos(x3+φ)(0<φ<π)的一條對稱軸方程為x=9π4,那么φ值是不是也可仿照正弦函數的復合函數求法得出?在此條件下函數y=sin(2x-φ)(0≤x<π問題1:余弦函數的圖像的作法(1)平移法:余弦函數y=cosx的圖像可以通過將正弦曲線y=sinx的圖像向平移個單位長度得到(如圖).

(2)五點法:余弦曲線在[0,2π]上起作用的五個關鍵點分別為.

問題2:余弦函數的定義域、值域和單調區(qū)間(1)定義域為;(2)值域為;(3)單調增區(qū)間為,減區(qū)間為.

問題3:余弦函數的周期、奇偶性、對稱軸和對稱中心(1)周期T=;(2)偶函數;(3)對稱軸為;

(4)對稱中心為.

問題4:余弦函數的復合函數f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的對稱軸、對稱中心和單調區(qū)間(1)當ωx+φ=π2+kπ時,即為對稱中心(2)當ωx+φ=kπ時,即為對稱軸;

(3)當ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]時,求得x屬于的區(qū)間為區(qū)間;當ωx+φ∈[2kπ,π+2kπ]時,求得x屬于的區(qū)間為區(qū)間.(注:以上k∈Z)

1.已知函數f(x)=sin(x-π2)(x∈R),下面結論錯誤的是()A.函數f(x)的最小正周期為2πB.函數f(x)在區(qū)間[0,π2]C.函數f(x)的圖像關于直線x=0對稱D.函數f(x)是奇函數2.y=1+cosx(x∈0,2π)的圖像與直線y=32的交點個數為A.0 B.1 C.2 D.33.對于余弦函數y=cosx的圖像,有以下描述:①向左、向右無限伸展;②與y=sinx的外形完全一樣,只是位置不同;③與x軸有很多個交點;④關于y軸對稱.其中描述正確的是.

4.求下列函數的最大值和最小值:(1)y=1-12cosx;(2)y=3+2cos(作函數的圖像用“五點法”畫出函數y=2+3cosx在x∈[0,2π]內的圖像.余弦函數的圖像與性質的應用(1)已知f(x)的定義域為[0,1],求f(cosx)的定義域;(2)求函數y=lgsin(cosx)的定義域.余弦函數性質的綜合運用是否存在實數a,使得函數y=sin2x+acosx+58a-32在閉區(qū)間[0,π2]上的最大值是1?若存在,求出對應的a值;若不存在畫出函數y=1+|cosx|,x∈[0,2π]的圖像.已知定義在R上的奇函數f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增,且f(12)=0,△ABC的內角A滿足f(cosA)≤0,求角A的取值范圍已知-π6≤x≤π4,求函數y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx)1.若實數a使得方程cosx=a在[0,2π]上有兩個不相等的實數根x1,x2,則sin(x1+x2)等于().A.0 B.1 C.-12 D.-2.在[0,2π]上,函數y=cosx與直線y=1圍成的封閉圖形的面積是().A.π B.2π C.3π D.π3.函數y=f(cosx)的定義域為[2kπ-π6,2kπ+2π3](k∈Z),則函數y=f(x)4.求函數y=2cosx-(2011年·全國大綱卷)設函數f(x)=cosωx(ω>0),將y=f(x)的圖像向右平移π3個單位長度后,所得的圖像與原圖像重合,則ω的最小值等于()A.13 B.3 C.6 D.考題變式(我來改編):第6課時余弦函數的圖像與性質學問體系梳理問題1:(1)左π2(2)(0,1),(π2,0),(π,-1),(3π2,0),(問題2:(1)R(2)[-1,1](3)[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)[2kπ,π+2kπ](k∈Z)問題3:(1)2π(3)x=kπ(4)(π2+kπ,0)問題4:(1)((2k+1)π-2φ2ω,0)(2基礎學習溝通1.Dy=sin(x-π2)=-cosx,由余弦函數的性質可知A,B,C均正確,故選D2.C作出y=1+cosx(x∈0,2π)的圖像,如圖所示,直線y=32與函數有兩個交點A、B,也可直接聯(lián)立兩函數方程得cosx=12(x∈[0,2π3.①②③④由函數y=cosx的圖像可知①②③④都正確.4.解:(1)∵1-12cosx≥0,-∴當cosx=-1時,ymax=62當cosx=1時,ymin=22(2)∵-1≤cos(2x+π3)≤1∴當cos(2x+π3)=1時,ymax=5當cos(2x+π3)=-1時,ymin=1重點難點探究探究一:【解析】x0ππ32πy=cosx10-101y=2+3cosx52-125如圖所示:【小結】加強對比正弦、余弦函數五點法的區(qū)分及聯(lián)系,留意所畫圖像要用光滑的曲線連接起來,不能畫成直線.探究二:【解析】【解析】(1)由題意可知0≤cosx≤1?2kπ-π2≤x≤2kπ+π2(k∈∴所求函數的定義域為{x|2kπ-π2≤x≤2kπ+π2,k∈Z(2)由sin(cosx)>0得2kπ<cosx<2kπ+π(k∈Z).又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1,解得2kπ-π2<x<2kπ+π2(k∈Z故所求定義域為{x|2kπ-π2<x<2kπ+π2,k∈Z【小結】求三角函數的定義域時,通常轉化為解三角不等式,其常用的方法有兩種:一是圖像法;二是三角函數線法.探究三:【解析】y=1-cos2x+acosx+58a-=-(cosx-12a)2+a24+5當0≤x≤π2時,0≤cosx≤1,∴當cosx=12a,且0≤12a≤1,即1≤a≤2時,ymax=a24+58a-12=1,即2a2+5a-12=0,解得a1=32,a2=-4∴存在a=32符合題設[問題]以上解答過程完全嗎?[結論]不完全,由于y有最大值時不肯定是cosx=12a;留意此處要對12a<0、0≤12a≤1、12于是,正確解答如下:y=1-cos2x+acosx+58a-32=-(cosx-a2)2+a24又0≤x≤π2,∴0≤cosx≤1若a2>1,即a>2,則當cosx=1時,ymax=a+58a-32=1?a=2021<2若0≤a2≤1,即0≤a≤2,則當cosx=a2時,ymax=a24+58a-12=1?a=32或若a2<0,即a<0,則當cosx=0時,ymax=58a-12=1?a=125>0綜上可知,存在a=32符合題設【小結】三角函數換元成二次函數是一個關鍵點,換元之后要留意新的變量的取值范圍.思維拓展應用應用一:可用五點法畫出圖像.(1)列表:x0ππ32πy21212(2)描點畫圖(如圖所示)y=1+|cosx|,x∈[0,2π]的圖像實質是將y=cosx,x∈[0,2π]的圖像在x軸下方的部分翻折到x軸上方(x軸上方部分不變),再向上平移1個單位長度而得到.應用二:①當0<A<π2時,cosA>0∵f(cosA)≤0=f(12),又f(x)在(0,+∞)上為遞增函數,得cosA≤12,解得π3≤②當π2<A<π時,cosA<0∵f(cosA)≤0=f(-12),又f(x)為R上奇函數∴f(x)在(-∞,0)上也為遞增函數,可得cosA≤-12∴2π3≤A<③當A=π2時,cosA=0,∴f(0)≤0也成立(f(0)=0綜上所述,角A的取值范圍是[π3,π2]∪[2π3應用三:當x∈[-π6,π4]時,1+sinx>0和1-sinx>0∴原函數可化為y=log2(1-sin2x)=log2cos2x,又cosx>0在[-π6,π4]∴原函數可化為y=2log2cosx,當x∈[-π6,π4]時,22≤cosx∴2log222≤2log2cosx≤2log21,即-1≤y≤0故在[-π6,π4]上,ymax=0,ymin=-基礎智能檢測1.A畫出y1=cosx,y2=a在[0,2π]上的圖像,得兩交點必關于直線x=π對稱,∴x1+x22=π,即x1+x2=2π,∴sin(x1+x2.B如圖,設矩形ABCD的面積為S,則S=4π,由圖像的對稱性可知,S1=S2=S3=S4,∴所求封閉圖形的面積為12S=2π3.[-12,1]由于2kπ-π6≤x≤2kπ+2π3(k∈Z),所以-12≤cosx≤1,所以y=f(x)的定義域為[-4.解:由2cosx-3≥0,得cosx≥32即2kπ-π6≤x≤2kπ+π6(k∈又y=cosx的單調遞增區(qū)間為2kπ-π≤x≤2kπ(k∈Z),∴函