【2022屆走向高考】高三數學一輪(人教B版)階段性測試題10(統(tǒng)計與概率)

階段性測試題十(統(tǒng)計與概率)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．(2021·湖南師大附中月考)我校三個班級共有24個班，學校為了了解同學們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到24，現用系統(tǒng)抽樣方法，抽取4個班進行調查，若抽到編號之和為48，則抽到的最小編號為()A．2 B．3C．4 D．5[答案]B[解析]從24個班中抽取4個班，抽樣間隔為6，設抽到的最小編號為x，則x＋(x＋6)＋(x＋12)＋(x＋18)＝4x＋36＝48，∴x＝3.2．(文)(2021·河南開封二十二校聯考)如圖是某次詩歌競賽上七位評委為甲、乙兩名選手打出的分數莖葉圖(其中a、b為數字0～9中的一個)，分別去掉一個最高分和一個最低分，記甲、乙兩名選手得分的平均數分別為x1，x2，得分的方差分別為y1，y2，則下列結論正確的是()甲乙17a25535854484b96A.x1>x2，y1<y2 B．x1>x2，y1>y2C．x1<x2，y1<y2 D．x1<x2，y1>y2[答案]C[解析]由題計算可知x1＝84，y1＝eq\f(8,5)，x2＝85，y2＝eq\f(12,5)，∴x1<x2，y1<y2.(理)(2021·鄭州質量猜想)已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(1，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ≤－2)＝()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84[答案]A[解析]由于ξ聽從正態(tài)分布N(1，σ2)，所以P(ξ≤4)＝P(ξ≥－2)＝0.84，故P(ξ≤－2)＝1－P(ξ≥－2)＝1－0.84＝0.16.3．(文)(2021·湖南長沙市長郡中學月考)在區(qū)間[－π，π]內隨機取兩個數分別記為a、b，則使得函數f(x)＝4x2＋2ax－b2＋π2有零點的概率為()A.eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D．1－eq\f(π,2)[答案]B[解析]要使f(x)有零點，應有16a2－16(－b2＋π2)＝16(a2＋b2－π2)≥由題意知這是一個幾何概型，所求概率P＝eq\f(4π2－π·π2,4π2)＝eq\f(4－π,4)，故選B.(理)(2021·洛陽市期中)已知x，y都是區(qū)間[0，eq\f(π,2)]內任取的一個實數，則使得y≤sinx的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(2,π)C.eq\f(4,π2) D．eq\f(2,π2)[答案]C[解析]如圖，正方形OABC的面積S＝eq\f(π2,4)，陰影部分的面積S1＝∫eq\f(π,2)0sinxdx＝(－cosx)|eq\f(π,2)0＝1，∴所求概率P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(4,π2).4．(2021·內蒙古寧城縣月考)甲、乙兩位同學在高二的5次月考中數學成果統(tǒng)計如莖葉圖所示，若甲乙兩人的平均成果分別是x甲，x乙，則下列結論正確的是()甲乙8727868882910A.x甲<x乙甲比乙成果穩(wěn)定B．x甲>x乙乙比甲成果穩(wěn)定C．x甲>x乙甲比乙成果穩(wěn)定D．x甲<x乙乙比甲成果穩(wěn)定[答案]D[解析]x甲＝eq\f(1,5)(72＋77＋78＋86＋92)＝81，x乙＝eq\f(1,5)(78＋88＋88＋91＋90)＝87，∴x甲<x乙；又甲的成果較分散，∴乙比甲的成果穩(wěn)定，故選D.5．(2021·贛州市博雅文化學校月考)袋中有大小相同的三個白球和兩個黑球，從中任取兩個球，兩球同色的概率為()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[答案]B[解析]從5個球中任取2個，共有10種不同取法，兩球同色的情形為4種，∴所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).6．(2021·浙江慈溪市、余姚市聯考)在一次射擊訓練中，甲、乙兩位運動員各射擊一次，設命題p是“甲射中目標”，q是“乙射中目標”，則命題“至少有一位運動員沒有射中目標”可表示為()A．p∨q B．(?p)∨(?q)C．(?p)∧(?q) D．p∨(?q)[答案]B[解析]命題?p：甲沒射中目標，?q：乙沒射中目標；∵“至少有一位運動員沒有射中目標”就是“甲沒射中目標，或乙沒射中目標”，∴可表示為(?p)∨(?q)，故選B.7．(2022·北京市西城區(qū)二模)在平面直角坐標系xOy中，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y－8≤0))所表示的平面區(qū)域是α，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤10))所表示的平面區(qū)域是β.從區(qū)域α中隨機取一點P(x，y)，則P為區(qū)域β內的點的概率是()A.eq\f(1,4) B．eq\f(3,5)C.eq\f(3,4) D．eq\f(1,5)[答案]C[解析]如圖所示，平面區(qū)域α為三角形OAB，β與α重合的區(qū)域為直角梯形OCDB，由圖可知，α內的點P落在β內的概率為eq\f(\f(1,2)×4＋8×4,\f(1,2)×8×8)＝eq\f(3,4)，故選C.8．(文)(2022·陜西寶雞金臺區(qū)月考)已知函數f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個數中任取的一個數，b是從0,1,2三個數中任取的一個數，則該函數有兩個極值點的概率為()A.eq\f(7,9) B．eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D．eq\f(2,3)[答案]D[解析]求導數可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩不等實根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b，又a，b的取法共有3×3＝9種，其中滿足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6種，故所求的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)，故選D.(理)(2022·江西師大附中檢測)高三畢業(yè)時，甲、乙、丙等五位同學站成一排合影留念，已知甲、乙相鄰，則甲、丙相鄰的概率為()A.eq\f(1,10) B．eq\f(1,4)C.eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)[答案]B[解析]五人排隊，甲、乙相鄰的排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)，若甲、丙相鄰，此時甲在乙、丙中間，排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，故甲、丙相鄰的概率為eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(3,3),A\o\al(2,2)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4).9．(文)(2021·江西師大附中、臨川一中聯考)已知變量x，y之間具有線性相關關系，其回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋bx，若eq\i\su(i＝1,10,x)i＝20，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝30，則b的值為()A．1 B．3C．－3 D．－1[答案]B[解析]∵eq\i\su(i＝1,10,x)i＝20，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝30，∴eq\o(x,\s\up6(－))＝2，eq\o(y,\s\up6(－))＝3，∵回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋bx，∴3＝－3＋2b，∴b＝3，故選B.(理)(2021·長春外國語學校期中)設隨機變量ξ聽從二項分布B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，則()A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45[答案]A[解析]∵隨機變量ξ聽從二項分布B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，∴np＝1.6，np(1－p)＝1.28，相除得p＝0.2，n＝8，故選A.10．(文)(2021·許昌、平頂山、新鄉(xiāng)調研)從正六邊形六個頂點及其中心這7個點中，任取兩個點，則這兩個點的距離大于該正六邊形邊長的概率為()A.eq\f(1,7) B．eq\f(1,14)C.eq\f(3,7) D．eq\f(4,7)[答案]C[解析]∵O到正六邊形各頂點的距離都等于其邊長，∴距離大于邊長的兩點，只在其頂點中產生，從每個頂點能連三條大于邊長的線，故共有eq\f(3×6,2)＝9條，從7個點中任取2個共有21種取法，∴所求概率P＝eq\f(9,21)＝eq\f(3,7).(理)(2021·福建寧化一中段測)若(x－eq\f(2,x))n的開放式中第2項與第4項的二項式系數相等，則直線y＝nx與曲線y＝x2圍成的封閉圖形的面積為()A．36 B．12C.eq\f(32,3) D．eq\f(22,3)[答案]C[解析]由題意知Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(3,n)，∴n＝4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x，,y＝x2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0.))∴所求面積S＝eq\i\in(0,4,)(4x－x2)dx＝(2x2－eq\f(1,3)x3)|eq\o\al(4,0)＝eq\f(32,3).11．(文)(2022·重慶模擬)如圖是收集重慶市2021年9月各氣象采集點處的平均氣溫(單位：℃)的數據制成的頻率分布直方圖，圖中有一處因污跡看不清．已知各采集點的平均氣溫范圍是[20.5,26.5]，且平均氣溫低于22.5℃的采集點個數為11，則平均氣溫不低于25.5℃A．6 B．7C．8 D．9[答案]D[解析]依題意得2x＝1－(0.10＋0.26＋0.22＋0.18)＝0.24，x＝0.12.留意到(0.10＋0.12)0.18＝2218＝119，因此平均氣溫不低于25.5℃(理)(2021·江西三縣聯考)一盒中有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的，從盒子中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數X是一個隨機變量，其分布列為P(X)，則P(X＝4)的值為()A.eq\f(1,220) B．eq\f(27,55)C.eq\f(27,220) D．eq\f(21,55)[答案]C[解析]舊球個數X的可能取值為3,4,5,6，相應的取到新球的個數依次為ξ＝0,1,2,3，ξ聽從超幾何分布，∴P(X＝4)＝P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,9)·C\o\al(2,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220).12．(文)(2021·甘肅會寧二中模擬)某班有24名男生和26名女生，數據a1，a2，…，a50是該班50名同學一次數學學業(yè)水平模擬考試的成果，下面的程序用來同時統(tǒng)計全班成果的平均分A，男生平均分M和女生平均分W；為了便于區(qū)分性別，輸入時，男生的成果用正數，女生的成果用其成果的相反數．那么在圖中空白的推斷框和處理框中，應分別填入下列四個選項中的()A．T>0？，A＝eq\f(M＋W,50) B．T<0？，A＝eq\f(M＋W,50)C．T<0？，A＝eq\f(M－W,50) D．T>0？，A＝eq\f(M－W,50)[答案]D[解析]M是用來統(tǒng)計男生成果的統(tǒng)計量，由于滿足條件時，執(zhí)行M＝M＋T，故第一個推斷框中條件應為T>0？，又其次個推斷框中條件k<50不成立時，男生總成果M與女生總成果W都已求出，故處理框中應賦值A＝eq\f(M－W,50)計算全班成果的平均分．(理)(2022·長安一中質檢)用0,1，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為()A．243 B．252C．261 D．279[答案]B[解析]有兩個重復數字時，①含2個0，有9種，②含1個0,0不能排在百位，∴有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,9)＝18種；③不含0，有Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,8)＝216種(或Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝216種)；有三個重復數字時，有Ceq\o\al(1,9)＝9種，∴共有含重復數字的三位數9＋18＋216＋9＝252個，故選B.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上．)13．(文)(2022·佛山市質檢)一個總體分為甲、乙兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為20的樣本．已知乙層中每個個體被抽到的概率都為eq\f(1,9)，則總體中的個體數為________．[答案]180[解析]由于分層抽樣中每個個體被抽到的概率相等，故總體中的個體數為20÷eq\f(1,9)＝180.(理)(2021·普寧二中、中山一中、航天中學聯考)各高校在高考錄用時實行專業(yè)志愿優(yōu)先的錄用原則．一考生從某高校所給的7個專業(yè)中，選擇3個作為自己的第一、二、三專業(yè)志愿，其中甲、乙兩個專業(yè)不能同時兼報，則該考生不同的填報專業(yè)志愿的方法有________種．[答案]180[解析]甲、乙都不選時，有Aeq\o\al(3,5)＝60種；甲、乙兩個專業(yè)選1個時，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(3,3)＝120種，依據分類計數原理，可得共有60＋120＝180種不同的填報專業(yè)志愿的方法．14．(2021·焦作市期中)學校為了解同學數學課程的學習狀況，在1000名同學中隨機抽取200名，并統(tǒng)計這200名同學的某次數學考試成果，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖)．依據頻率分布直方圖可估記這1000名同學在該次數學考試中成果不低于60分的同學數是________．[答案]800[解析]成果不低于60分的同學頻率為(0.024＋0.028＋0.020＋0.008)×10＝0.8，∴用頻率作為概率的估量值可得這1000名同學中，成果不低于60分的同學數是1000×0.8＝800.15．(文)(2021·湖南師大附中月考)從區(qū)間[－5,5]內隨機取出一個數x，從區(qū)間[－3,3]內隨機取出一個數y，則使得|x|＋|y|≤4的概率為________．[答案]eq\f(1,2)[解析]點(x，y)所在區(qū)域為長方形ABCD，其面積S＝60，其中陰影部分的面積為S1＝2×(2＋8)×3×eq\f(1,2)＝30.∴所求概率為P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(1,2).(理)(2021·長春外國語學校期中)袋中有三個白球，兩個黑球，現每次摸出一個球，不放回的摸取兩次，則在第一次摸到黑球的條件下，其次次摸到白球的概率為________．[答案]eq\f(3,4)[解析]由于是不放回取球，所以在第一次取到黑球的條件下，袋中還有3白1黑共4個球，從中取出一球，摸到白球的概率為eq\f(3,4)，即在第一次取到黑球的條件下，第2次摸到白球的概率為eq\f(3,4).16．(文)(2022·海南省文昌市檢測)在區(qū)域M＝(x，y)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y<4,y>x,x>0))))內撒一粒豆子，落在區(qū)域N＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤2}內的概率為________．[答案]eq\f(π,4)[解析]∵⊙C：x2＋(y－2)2＝2的圓心C(0,2)與直線y＝x和x＋y＝4都相切．∴區(qū)域M中落在區(qū)域N內的部分為半圓．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y＝4，))得A(2,2)，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×4×2＝4，又S半圓＝π，∴所求概率P＝eq\f(π,4).(理)(2021·宜春中學、新余四中聯考)過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的左焦點作直線與橢圓相交，使弦長均為整數的全部直線中，等可能地任取一條直線，所取弦長不超過4的概率為________．[答案]eq\f(5,12)[解析]過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的左焦點作直線與橢圓相交，最小弦長為通徑eq\f(2b2,a2)＝2，最大弦長為長軸長8，弦長均為整數的全部直線中，等可能地任取一條直線，共有2×5＋2＝12種狀況，所取弦長不超過4，有2×2＋1＝5種狀況，∴所求概率為P＝eq\f(5,12).三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)17．(本小題滿分12分)(文)(2021·湖南長沙長郡中學月考)已知某單位有50名職工，從中按系統(tǒng)抽樣抽取10名職工．(1)若第5組抽出的號碼為22，寫出全部被抽出職工的號碼；(2)分別統(tǒng)計這10名職工的體重(單位：公斤)，獲得體重數據的莖葉圖如圖所示，現從這10名職工中隨機抽取兩名體重超過平均體重的職工，求體重為76公斤的職工被抽取到的概率.59625770368981[解析](1)由題意，第5組抽出的號碼為22，由于2＋5×(5－1)＝22，所以第1組抽出的號碼應當為2，抽出的10名職工的號碼分別為2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)由于10名職工的平均體重為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71.從10名職工中隨機抽取兩名體重不輕于71公斤的職工，共有10種不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)，體重為76公斤的職工被抽到有4種，故所求概率為P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(理)(2021·石光中學段測)下圖是依據部分城市某年9月份的平均氣溫(單位：℃)數據得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是[20.5，26.5]，樣本數據的分組為[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知樣本中平均氣溫低于22.5℃(1)求抽取的樣本個數和樣本數據的眾數；(2)若用分層抽樣的方法在數據組[21.5,22.5)和[25.5，26.5]中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2個城市，求恰好抽到2個城市在同一組中的概率．[解析](1)設抽取的樣本個數為N，則eq\f(11,N)＝(0.10＋0.12)×1，解之得N＝50.由圖知樣本數據的眾數為eq\f(23.5＋24.5,2)＝24.所以抽取的樣本個數為50，樣本數據的眾數為24.(2)由圖知氣溫數據組[21.5,22.5)與[25.5,26.5]的概率比為0.120.18＝23，又用分層抽樣共抽取5個城市，所以在[21.5,22.5)中抽取5×eq\f(2,5)＝2個城市，不妨設為甲、乙；在[25.5,26.5]中抽取5×eq\f(3,5)＝3個城市，不妨設為A，B，C.于是在這5個城市中抽到的2個城市有如下狀況：甲乙、甲A、甲B、甲C、乙A、乙B、乙C、AB、AC、BC，共10種狀況.2個城市在同一氣溫數據組的有：甲乙、AB、AC、BC，共4種狀況．所以在這5個城市中恰好抽到2個城市在同一氣溫數據組的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).18．(本小題滿分12分)(文)(2021·山東師大附中模擬)某公司有男職員45名，女職員15名，依據分層抽樣的方法組建了一個4人的科研攻關小組．(1)求某職員被抽到的概率及科研攻關小組中男、女職員的人數；(2)經過一個月的學習、爭辯，這個科研攻關組打算選出兩名職員做某項試驗，方法是先從小組里選出1名職員做試驗，該職員做完后，再從小組內剩下的職員中選一名做試驗，求選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率；(3)試驗結束后，第一次做試驗的職員得到的試驗數據為68,70,71,72,74，其次次做試驗的職員得到的試驗數據為69,70,70,72,74，請問哪位職員的試驗更穩(wěn)定？并說明理由．[解析](1)P＝eq\f(n,m)＝eq\f(4,60)＝eq\f(1,15)，所以某職員被抽到的概率為eq\f(1,15).設有x名男職員，則eq\f(45,60)＝eq\f(x,4)，所以x＝3，所以男、女職員的人數分別為3、1.(2)把3名男職員和1名女職員記為a1，a2，a3，b，則選取兩名職員的基本大事有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12種，其中有一名女職員的有6種．所以選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率為P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).(3)eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(68＋70＋71＋72＋74,5)＝71，eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(69＋70＋70＋72＋74,5)＝71，seq\o\al(2,1)＝eq\f(68－712＋70－712＋71－712＋72－712＋74－712,5)＝4，seq\o\al(2,2)＝eq\f(69－712＋70－712×2＋72－712＋74－712,5)＝3.2，∵seq\o\al(2,2)<seq\o\al(2,1)，∴其次次做試驗的職員做的試驗更穩(wěn)定．(理)(2021·江西師大附中、臨川一中聯考)為了增加中同學的法律意識，某中學高三班級組織了普法學問競賽．并隨機抽取了A、B兩個班中各5名同學的成果，成果如下表所示：A班8788919193B班8589919293(1)依據表中的數據，分別求出A、B兩個班成果的平均數和方差，并推斷對法律學問的把握哪個班更為穩(wěn)定？(2)用簡潔隨機抽樣方法從B班5名同學中抽取2名，他們的成果組成一個樣本，求抽取的2名同學的分數差值至少是4分的概率．[解析](1)eq\x\to(XA)＝eq\f(1,5)(87＋88＋91＋91＋93)＝90，eq\x\to(XB)＝eq\f(1,5)(85＋89＋91＋92＋93)＝90，Seq\o\al(2,A)＝eq\f(1,5)[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝eq\f(24,5)，Seq\o\al(2,B)＝eq\f(1,5)[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8.A班法律學問的把握更為穩(wěn)定．(2)從B班抽取兩名同學的成果分數，全部基本大事有：(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)共有10個基本大事；抽取的2名同學的分數差值至少是4分的有(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)共5個基本大事．∴P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).19．(本小題滿分12分)(文)(2021·內蒙寧城縣月考)某企業(yè)員工500人參與“學雷鋒”志愿活動，按年齡分組：第1組[25,30)，第2組[30,35)，第3組[35,40)，第4組[40,45)，第5組[45,50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)下表是年齡的頻率分布表，求正整數a，b的值；區(qū)間[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]人數5050a150b(2)現在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中隨機抽取2人參與社區(qū)宣揚溝通活動，求至少有1人年齡在第3組的概率．[解析](1)由題設可知，a＝0.08×5×500＝200，b＝0.02×5×500＝50.(2)由于第1,2,3組共有50＋50＋200＝300人，利用分層抽樣在300名同學中抽取6名同學，每組抽取的人數分別為：第1組的人數為6×eq\f(50,300)＝1，第2組的人數為6×eq\f(50,300)＝1，第3組的人數為6×eq\f(200,300)＝4，所以第1,2,3組分別抽取1人，1人，4人．設第1組的1位同學為A，第2組的1位同學為B，第3組的4位同學為C1，C2，C3，C4，則從六位同學中抽兩位同學有：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共15種可能．其中2人年齡都不在第3組的只有(A，B)1種可能，所以至少有1人年齡在第3組的概率為1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).(理)(2021·福建寧化一中段測)某校為了解高一班級期中考試數學科的狀況，從高一的全部數學試卷中隨機抽取n份試卷進行分析，得到數學成果頻率分布直方圖如下圖，其中成果在[70,80)的人數為15，規(guī)定成果≥80分為優(yōu)秀．(1)求樣本中成果優(yōu)秀的試卷份數，并估量該校高一班級期中考試數學成果的優(yōu)秀率；(2)從樣本成果在[50,60)和[60,70)這兩組中隨機抽取2名同學，求抽取的2名同學中不及格(成果<60分為不及格)的人數ξ的分布列及數學期望．[解析](1)由頻率分布直方圖可得[70,80)的頻率：0.030×10＝0.30，所以，n＝15÷0.30＝50，∴第四組[80,90)的頻數：0.024×10×50＝12；第五組[90,100]的頻數：0.016×10×50＝8；所以，樣本中優(yōu)秀的試卷份數為20，樣本的優(yōu)秀率＝eq\f(12＋8,50)＝40%，∴估量該校高一班級期中考試數學成果的優(yōu)秀率為40%.(2)第一組[50,60)的頻數：0.012×10×50＝6；其次組[60,70)的頻數：0.018×10×50＝9；ξ的全部可能取值為0,1,2.依題意，得P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,9),C\o\al(2,15))＝eq\f(12,35)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,9),C\o\al(2,15))＝eq\f(18,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,15))＝eq\f(1,7).∴ξ的分布列為ξ012Peq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(1,7)∴E(ξ)＝0×eq\f(12,35)＋1×eq\f(18,35)＋2×eq\f(1,7)＝eq\f(4,5).20．(本小題滿分12分)(文)(2022·廣東執(zhí)信中學期中)某校高三文科分為五個班．高三數學測試后，隨機地在各班抽取部分同學進行成果統(tǒng)計，各班被抽取的同學人數恰好成等差數列，人數最少的班被抽取了18人．抽取出來的全部同學的測試成果統(tǒng)計結果的頻率分布條形圖如圖所示，其中120～130(包括120分但不包括130分)的頻率為0.05，此分數段的人數為5人．(1)問各班被抽取的同學人數各為多少人？(2)在抽取的全部同學中，任取一名同學，求分數不小于90分的概率．[解析](1)由頻率分布條形圖知，抽取的同學總數為eq\f(5,0.05)＝100人．∵各班被抽取的同學人數成等差數列，設其公差為d，由5×18＋10d＝100，解得d＝1.∴各班被抽取的同學人數分別是18人，19人，20人，21人，22人．(2)在抽取的同學中，任取一名同學，則分數不小于90分的頻率為0.35＋0.25＋0.1＋0.05＝0.75.用頻率作為概率的估量值知所求概率約為0.75.(理)(2021·洛陽市期中)某旅行社為3個旅游團供應甲、乙、丙、丁共4條旅游線路，每個旅游團任選其中一條．(1)求恰有2條線路沒有被選擇的概率；(2)設選擇甲旅行線路的旅游團數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．[解析](1)恰有2條線路沒有被選擇的概率為P＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3)A\o\al(2,2),43)＝eq\f(9,16).(2)ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(33,43)＝eq\f(27,64)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·32,43)＝eq\f(27,64)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·3,43)＝eq\f(9,64)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,43)＝eq\f(1,64).所以ξ的分布列為：ξ0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)所以E(ξ)＝0×eq\f(27,64)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(9,64)＋3×eq\f(1,64)＝eq\f(3,4).21．(本小題滿分12分)(文)(2021·韶關市十校聯考)對某校全體老師在教學中是否經常使用信息技術實施教學的狀況進行了調查，得到統(tǒng)計數據如下：老師年齡5年以下5年至10年10年至20年20年以上老師人數8103018經常使用信息技術實施教學的人數24104(1)求該校老師在教學中不經常使用信息技術實施教學的概率．(2)在教齡10年以下，且經常使用信息技術教學的老師中任選2人，其中恰有一人教齡在5年以下的概率是多少？[解析](1)該校老師總人數為66人，其中經常使用信息技術教學的老師有20人，不經常使用信息技術實施教學的有46人，所以該校老師在教學中不經常使用信息技術實施教學的概率P＝eq\f(46,66)＝eq\f(23,33).(2)在教齡10年以下且經常使用信息技術教學的老師中，教齡在5年以下的有2人分別記為A1，A2；教齡5年至10年的有4人分別記為B1，B2，B3，B4，從這6人中任選2人的狀況有：(A1A2)，(A1B1)，(A1B2)，(A1B3)，(A1B4)，(A2B1)，(A2B2)，(A2B3)，(A2B4)，(B1B2)，(B1B3)，(B1B4)，(B2B3)，(B2B4)，(B3B4)，共15種設其中恰有一人教齡在5年以下為大事A，則大事A包含的基本大事有8種．所以P(A)＝eq\f(8,15).答：在教齡10年以下，且經常使用信息技術教學的老師中任選2人，其中恰有一人教齡在5年以下的概率是eq\f(8,15).(理)(2021·豫南九校聯考)某市為“市中同學學問競賽”進行選拔性測試，且規(guī)定：成果大于或等于90分的有參賽資格，90分以下(不包括90分)的則被淘汰．現有500名同學參與測試，參與測試的同學成果的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求獲得參賽資格的同學人數，并且依據頻率分布直方圖，估算這500名同學測試的平均成果；(2)若學問競賽分初賽和復賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機會，累計答對3題或答錯3題即終止答題，答對3題者方可參與復賽．已知同學甲答對每一個問題的概率都相同，并且相互之間沒有影響，已知他連續(xù)兩次答錯的概率為eq\f(1,9)，求甲在初賽中答題個數ξ的分布列及數學期望E(ξ)．[解析](1)由頻率分布直方圖得，獲得參賽資格的人數為500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人．設500名同學的平均成果為eq\o(x,\s\up6(－))，則eq\o(x,\s\up6(－))＝(40×0.0065＋60×0.0140＋80×0.0170＋100×0.0050＋120×0.0043＋140×0.0032)×20＝78.48分．(2)設同學甲答對每道題的概率為P(A)，則(1－P(A))2＝eq\f(1,9)，∴P(A)＝eq\f(2,3).同學甲答題個數ξ的可能值為3,4,5，則P(ξ＝3)＝(eq\f(2,3))3＋(eq\f(1,3))3，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,3))(eq\f(2,3))3＋Ceq\o\al(1,3)(eq\f(2,3))(eq\f(1,3))3＝eq\f(10,27)，P(ξ＝5)＝Ceq\o\al(2,4)(eq\f(1,3))2(eq\f(2,3))2＝eq\f(8,27).所以ξ的分布列為ξ345Peq\f(1,3)eq\f(10,27)eq\f(8,27)Eξ＝eq\f(1,3)×3＋eq\f(10,27)×4＋eq\f(8,27)×5＝eq\f(107,27).22．(本小題滿分14分)(文)某中學對高二甲、乙兩個同類