2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.8-空間距離問題-專項訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.8-空間距離問題-專項訓(xùn)練【A級基礎(chǔ)鞏固】1．已知平面α的一個法向量為n＝(－2，－2，1)，點A(－1，3，0)在平面α內(nèi)，則點P(－2，1，4)到平面α的距離為()A．10 B．3C．eq\f(8,3) D．eq\f(10,3)2．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，則點A到直線BC的距離為()A．eq\f(2\r(2),3) B．1C．eq\r(2) D．2eq\r(2)3．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則A1A到平面B1D1DB的距離為()A．eq\r(2) B．2C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(3\r(2),2)4．已知空間直角坐標(biāo)系Oxyz中有一點A(－1，－1，2)，點B是平面xOy內(nèi)的直線x＋y＝1上的動點，則A，B兩點間的最短距離是()A．eq\r(6) B．eq\f(\r(34),2)C．3 D．eq\f(\r(17),2)5．設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是________．6．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若BB1＝2eq\r(2)，AB＝2，則點C到直線AB1的距離為________．7．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長均為4，N是CC1的中點．(1)求點N到直線AB的距離；(2)求點C1到平面ABN的距離．8．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)AA1＝2，BC1＝2eq\r(3)，M為線段AB上的動點．(1)證明：BC1⊥CM；(2)若E為A1C1的中點，求點A1到平面BCE的距離．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．在棱長均為a的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是側(cè)棱CC1的中點，則點C1到平面AB1D的距離為()A．eq\f(\r(2),4)a B．eq\f(\r(2),8)aC．eq\f(3\r(2),4)a D．eq\f(\r(2),2)a2．已知△ABC是面積為eq\f(9\r(3),4)的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為()A．eq\r(3) B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)3．已知棱長為1的正方體ABCD-EFGH，若點P在正方體內(nèi)部且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))，則點P到AB的距離為________．4．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E是線段AB的中點．若P是線段BC上的動點，則點P到平面B1DE的距離的取值范圍為________．5．在如圖所示多面體中，平面EDCF⊥平面ABCD，EDCF是面積為eq\r(3)的矩形，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2.(1)證明：BD⊥EA；(2)求點D到平面ABFE的距離．參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】1．解析：eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，2，－4)，點P到平面α的距離d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－2－4－4|,\r(4＋4＋1))＝eq\f(10,3).答案：D2．解析：因為A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，2，－2)，所以點A到直線BC的距離為d＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|eq\r(1－(cos〈\o(AB,\s\up6(→))，\o(BC,\s\up6(→))〉)2)＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)))\s\up12(2))＝1×eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,1×3)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(2),3).答案：A3．解析：由正方體性質(zhì)可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距離就是點A1到平面B1D1DB的距離，連接A1C1，交B1D1于O1(圖略)，A1O1的長即為所求，由題意可得A1O1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\r(2).答案：A4．解析：因為點B是平面xOy內(nèi)的直線x＋y＝1上的動點，所以可設(shè)點B(m，1－m，0)，由空間兩點之間的距離公式得，|AB|＝eq\r((－1－m)2＋[－1－(1－m)]2＋(2－0)2)＝eq\r(2m2－2m＋9)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(17,2))，所以當(dāng)m＝eq\f(1,2)時，|AB|的最小值為eq\r(\f(17,2))＝eq\f(\r(34),2)，即A，B兩點間的最短距離是eq\f(\r(34),2).答案：B5．解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，所以eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(2，0，0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2，0，2)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0).設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2z＝0，,2x＋2y＝0，))令x＝1，則n＝(1，－1，－1)，所以點D1到平面A1BD的距離d＝eq\f(|\o(D1A1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)6．解析：設(shè)AC的中點為O，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B1(0，eq\r(3)，2eq\r(2))，C(－1，0，0)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，2eq\r(2))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，所以點C到直線AB1的距離為eq\r(\o(AC2,\s\up6(→))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(AB1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB1,\s\up6(→))|)))\s\up12(2))＝eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2\r(3))))\s\up12(2))＝eq\f(\r(33),3).答案：eq\f(\r(33),3)7．解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(2eq\r(3)，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4).∵N是CC1的中點，∴N(0，4，2).(1)eq\o(AN,\s\up6(→))＝(0，4，2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，2，0)，則|eq\o(AN,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4.設(shè)點N到直線AB的距離為d1，則d1＝eq\r(20－4)＝4.(2)設(shè)平面ABN的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝2\r(3)x＋2y＝0，,n·\o(AN,\s\up6(→))＝4y＋2z＝0，))令z＝2，則y＝－1，x＝eq\f(\r(3),3)，即n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－1，2)).易知eq\o(C1N,\s\up6(→))＝(0，0，－2)，設(shè)點C1到平面ABN的距離為d2，則d2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(C1N,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\f(－4,4\r(3)),3)))＝eq\r(3).8．(1)證明：因為AB⊥平面BB1C1C，C1B?平面BB1C1C，所以AB⊥C1B.在△BCC1中，BC＝2，BC1＝2eq\r(3)，CC1＝AA1＝4，所以BC2＋BCeq\o\al(2,1)＝CCeq\o\al(2,1)，所以CB⊥C1B.因為AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，所以C1B⊥平面ABC.又因為CM?平面ABC，所以C1B⊥CM.(2)解：由(1)知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則B(0，0，0)，C(2，0，0)，C1(0，2eq\r(3)，0)，A1(－2，2eq\r(3)，4)，E(－1，2eq\r(3)，2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，0，0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－1，2eq\r(3)，2).設(shè)平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝0，,－x＋2\r(3)y＋2z＝0.))令y＝eq\r(3)，則n＝(0，eq\r(3)，－3).又因為eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(4，－2eq\r(3)，－4)，故點A1到平面BCE的距離d＝eq\f(|0×4＋(－2\r(3))×\r(3)＋(－4)×(－3)|,2\r(3))＝eq\r(3).INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．解析：以A為空間直角坐標(biāo)原點，以垂直于AC的直線為x軸，以AC所在直線為y軸，以AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．由ABC-A1B1C1是棱長均為a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點，故A(0，0，0)，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)，\f(a,2)，a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，a，\f(a,2)))，C1(0，a，a)，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)，\f(a,2)，a))，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(a,2)))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，a，\f(a,2)))，設(shè)平面AB1D的法向量是n＝(x，y，z)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB1,\s\up6(→))＝\f(\r(3)a,2)x＋\f(a,2)y＋az＝0，,n·\o(AD,\s\up6(→))＝ay＋\f(a,2)z＝0，))取n＝(eq\r(3)，1，－2)，故點C1到平面AB1D的距離d＝eq\f(|\o(DC1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(a,\r(3＋1＋4))＝eq\f(\r(2),4)a.答案：A2．解析：如圖所示，過球心O作OO1⊥平面ABC，則O1為等邊三角形ABC的中心．設(shè)△ABC的邊長為a，則eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(9\r(3),4)，解得a＝3，∴O1A＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3＝eq\r(3).設(shè)球O的半徑為r，則由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2.在Rt△OO1A中，OO1＝eq\r(OA2－O1A2)＝1，即O到平面ABC的距離為1.答案：C3．解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(1，0，0)＋eq\f(1,2)(0，1，0)＋eq\f(2,3)(0，0，1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3))).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量的模為eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4)，∴點P到AB的距離為eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))\s\up12(2))＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)4．解析：以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，E(2，1，0)，B1(2，2，2)，設(shè)P(a，2，0)(0≤a≤2)，則eq\o(DP,\s\up6(→))＝(a，2，0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2，1，0)，eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(2，2，2)，設(shè)平面B1DE的法向量為n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(DE,\s\up6(→))·n＝0，,\o(DB1,\s\up6(→))·n＝0，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,2x＋2y＋2z＝0.))令x＝1，則y＝－2，z＝1，則n＝(1，－2，1).設(shè)點P到平面B1DE的距離為h，所以h＝eq\f(|\o(DP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|a－4|,\r(6))＝eq\f(\r(6),6)(4－a)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(6),3)))，所以點P到平面B1DE的距離的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(6),3))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(6),3)))5．(1)證明：因為平面EDCF⊥平面ABCD，且平面EDCF∩平面ABCD＝CD，ED⊥DC，ED?平面EDCF，所以ED⊥平面ABCD.又BD?平面ABCD，所以ED⊥BD.在四邊形ABCD中，作DM⊥AB