中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸專題

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中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸專題《四邊形》

1.【習(xí)題再現(xiàn)】

課本中有這樣一道題目：

如圖1,在四邊形48CD中，E、F,例分別是彳8,CD,劭的中點(diǎn)，AD=BC.求證：乙EFM

=/用＜(不用證明)

【習(xí)題變式】

(1)如圖2,在“習(xí)題再現(xiàn)”的條件下，延長(zhǎng)私BO,EF,AD與EF交干息N,BC與EF

交于點(diǎn)2求證：/ANE=NBPE.

(2)如圖3,在△加。中，AOAB,點(diǎn)，在4C上，AB=CD,￡,尸分別是m4?的中點(diǎn)，

連接)并延長(zhǎng)，交外的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接GO,4EFC=60°.求證：4AGD=90；

解：(1),:F、〃分別是緲，8。的中點(diǎn),

：?MF〃BP、MF[BC,

/MFE=4BPE.

加分別是48,劭的中點(diǎn),

?-ME//AN.ME-yAD,

/./MEF=4ANE.

'：AD=BC,

：.ME=MF,

ZEFM=NFEM,

/./ANE=4BPE.

（2）連接劭，取劭的中點(diǎn)小連接￡77,FH.

?-HF//BG,HF=4AB,

乙

/.，HFE=/FGA.

E分別是劭，死的中點(diǎn)，

--HE//AC,HE^CD,

乙

HEF=￡EFC=60。.

,:AB=CD,

：.HE=HF,

:?/HFE=NEFC=60",

「?N46尸=60°,

'：ZAFG=ZEFC=60°,

.?.△彳尸夕為等邊三角形.

：.AF=GF,

<AF=FD、

；?GF=FD,

：.ZFGD=^FDG=30°,

/.Z.AGD=60°+30°=90°.

2.(1)問題：如圖1,在Rt△加。中，N847=90°,AB=AC,。為8c邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)8,

。重合)，連接加，過點(diǎn)4作4RM。，并滿足〃?={￡?,連接CE則線段劭和線段宏的

數(shù)量關(guān)系是BD=CE,位置關(guān)系是BD工CE.

（2）探索：如圖2,當(dāng)。點(diǎn)為仍邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)&C重合），Rt△48c與RtZk/l”均

為等腰直角三角形，/BAC=4DAE=90°、AB=AC,AD=AE.試探索線段防、C?、芯

之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)拓展：如圖3,在四邊形片員M中，Z.ABC=Z.ACB=ZADC=45°,若BD=3,CD=1,

請(qǐng)直接寫出線段初的長(zhǎng).

圖3

解：(1)問題：在中，AB=AC,

ZB=ZACB=45°,

'：4BAC=4DAE=9N,

:.乙BAC-乙DAC=乙DAE-乙DAC、即N外。

在△847和中，

rAB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

:.△BAgXCAE(SIS,

故答案為：BD=CE、BD1.CE；

(2)探索：結(jié)論：DU=BG+4,

理由是：如圖2中，連接&?.

?:Z.BAC=4DAE=9b°,

:?/BAD=￡CAE、

在△/Id。和如中，

'AB=AC

,?,<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

?.?△外屋(SIS,

：.BD=CE,4B=4ACE=45",

:/BCE=/AC濟(jì)NACE=450+45°=90°,

:.D戶=c^+cC、

:、DE=B0+C0\

則△加G是等腰直角三角形，

404450,

?；NADC=45°,

/.ZGDC=90°,

同理得：△縱陷

*'?CG=BD=3,

RtACGD中,,:CD=\、

22=22=2

?*-DG=7CG-CDV3-1V2?

???△加G是等腰直角三角形，

：.AD=AG=2.

3.如圖1,正方形483的邊3在正方形&76尸的邊結(jié)上，連接桀、DG.

(1)能和。G的數(shù)量關(guān)系是BE=DG,%和DG的位置關(guān)系是8RLDG；

(2)把正方形"G尸繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，如圖2,(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，寫出證明

過程，若不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)設(shè)正方形彳8勿的邊長(zhǎng)為4,正方形FCG尸的邊長(zhǎng)為3?正方形ECGF統(tǒng)點(diǎn)、。旋轉(zhuǎn)

過程中，若4C、￡三點(diǎn)共線，直接寫出DG的長(zhǎng).

圖1圖2

解：（1）BE=DG.BEA.DG；理由如下：

???四邊形力優(yōu)。和四邊形CEFG為正方形,

：.CD=BC,CE=CG、￡BCE=/DCG=qN,

'BC二DC

在和△OGC中，ZBCE=ZDCG,

CE=CG

:.△BE8XDGC（弘S,

：.BE=DG；

如圖1,延長(zhǎng)GZ?交敏于點(diǎn)//,

圖1

'：^BEC^^DGC,

NDGC=NBEC,

/.ZDGC+ZEBC=ZBEOZEBC=9Q°,

N8//490。，

即BE-LOG；

故答案為：BE=DG、BELDG.

（2）成立，理由如下：如圖2所示：

同(1)得：△DCG^MCE(SAS、

：.BE=DG,ZCDG=ZOBE.

,：Z.DME=Z.BMC,iCB&4BMC=q00,

:,乙CD*4DME=90",

/.ZDOB=9QV,

：.BELDG\

(3)由(2)得：DG=EB,分兩種情況:

①如圖3所示：

圖3

?.?正方形四切的邊長(zhǎng)為4,正方形"G尸的邊長(zhǎng)為3&,

：.ACLBD,BD=AC=^B=^[2i0A=0C=0B=^A0=2^CE=3?,

：.AE=AC-CE=?,

：.OE=OA-AE=血,

在RtZ\88中，由勾股定理得：DG=BE=^（2V2）2+（V2）2=V10；

②如圖4所示：

宏=西■a=2揚(yáng)3/=5加,

在Rt△坑厲中，由勾股定理得：DG=8E=yj（2V2）2+（5\/2）2=V58；

綜上所述，若4C、￡三點(diǎn)共線，，G的長(zhǎng)為Jm或倔.

4.如圖，在△48。中，NB=90；AB=6cm,BC=8cm,動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿）方向勻

速運(yùn)動(dòng)，速度為2c/s；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)￡從點(diǎn)彳出發(fā)，沿彳8方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1M/S；

當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)。，￡運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t（s）（0V七V5）.過

點(diǎn)。作048。于點(diǎn)尸，連接?！闑F.

（1）亡為何值時(shí)，DE1AC?

（2）設(shè)四邊形力行。的面積為S,試求出S與t之間的關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻右使得S四邊形熊的S△攸=17：24,若存在，求出士的值；若不

存在，請(qǐng)說明理由；

（4）當(dāng)t為何值時(shí)，//。￡=45°?

AC=VAB2+BC2=V62+82=10（而一

若0E工AC,

/.Z￡ZZ4=90°,

：.Z.EDA=Z.B,

'：N/=Z/4,

:.XADEsXABC、

.AEADt10_2t

——=—,即Bn：—=------

ACAB106

??T

13

Rf)

.?.當(dāng)亡=22s時(shí)，DE工AC；

xo

(2)?:DF1BC,

/.ZDFC=9Qa,

4DFC=￡B,

'：4C=NC,

:.XCDFsXCAB、

.CFCDHnCF2t

BCAC810

o

???CF=g,

D

O

.?.8尸=8_看3

D

BE=AB-AE=6-t,

11o

,,S=S4-XF=1XAB-BC-^X6X8--X(8-—t)X(6-t)=-

ABe225

DD

（3）若存在某一時(shí)刻t,使得S四邊形AEFC-s△例=17：24,

根據(jù)題意得：-"等「怎嗎X6X8,

解得：22=3（不合題意舍去）,

乙乙

???當(dāng)亡=殍時(shí),

S四邊形AEFC'5小血=17：24；

（4）過點(diǎn)日乍日〃?〃與點(diǎn)K如」圖所示:

則/日"=/8=90°,

Z/I=Z/I,

:.XAE妙XACB、

.AE=EM=AMpn_t_=EM=AM

,*AC-BC-AB'IO-"8T'

43

55

212

,,.DM=W-2t-^rt=W--t,

55

在RtZk/O中，當(dāng)0M=搬時(shí),N4DE=45",

二10-尋=告，

bo

5.我們定義：如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且項(xiàng)角的頂點(diǎn)互相重合，則稱此圖形為“手

拉手全等模型”.因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，形象的可以看作兩雙手，所以通常稱為“手拉

手模型”.例如，如圖(D,△力員?與△?!宏都是等腰三角形，其中N84?=N%6則4

ABD^lXACE(S4S)

B

(1)熟悉模型：如圖(2),已知宓與△/!蛇都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且

2BAC=4DAE,求證：BD=CE;

(2)運(yùn)用模型：如圖(3),P為等邊△48C內(nèi)一點(diǎn)，且〃：PB,PC=3：4：5,求/APB

的度數(shù).小明在解決此問題時(shí)，根據(jù)前面的“手拉手全等模型”，以加為邊構(gòu)造等邊△

BPM、這樣就有兩個(gè)等邊三角形共頂點(diǎn)區(qū)然后連結(jié)CK通過轉(zhuǎn)化的思想求出了N4%的

度數(shù)，則/初8的度數(shù)為150度;

(3)深化模型：如圖(4),在四邊形AB破中,4?=4,CD=3、￡ABC=4ACB=￡ADC

=45°,求劭的長(zhǎng).

(1)證明：丁/84?=/%￡

；.￡BAO4CAD=4DA8乙CAD、即/縱。=/〃￡

'AB=AC

在△外。和中，ZBAD=ZCAE,

AD=AE

:ZA咯XCAE(SAS),

：.BD=CE}

(2)解：以8。為邊構(gòu)造等邊/附連接CK如圖(3)所示：

???△力儀?與48掰都是等邊三角形，

:.AB=BC,BP=BM=PM、2ABC=/PBM=/BMP=b0。,

/.Z.ABC-Z.PBC=Z.PBM-Z.PBC,即NABP=/則

rAB=BC

在△48。和△笫粉中，ZABP=ZCBM,

BP=BM

:.△AB2XCBM($1S,

：.AP=CM,/APB=/CMB,

'.'PA：PB：PC=3：4：5,

:.CM：PM：PC=3z4：5,

.?."=演+戰(zhàn)，

△。施是直角三角形，

Z/W=90°,

：.NCMB=NBM田/PMC=6T+90°=150°,

「?N/1%=150°,

故答案為：150；

(3)解：過點(diǎn)彳作8LL4?,且力￡=/10,連接DE,如圖(4)所示:

則然是等腰直角三角形，ZE4P=90°,

.,.如=&47=4班，N￡ZZ4=45。,

?；NADC=45°,

:./EDC=g0+45°=90°,

22=

在Rt△。紙中，^=7DE-K：D7(4V2)2+32=V41，

?：ZACB=ZABC=45°,

二.N分67=90°,AB=AC,

,：/BA84CAD=4EAM/CAD、即/外。

rAB=AC

在△為1〃和尸中，ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：.^BAD^/\CAE(%S,

：.BD=CE=4^\.

E

6.(1)某學(xué)校“學(xué)習(xí)落實(shí)”數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)題目

如圖，在-ZUd。中，點(diǎn)。在線段8c上，/840=30：N047=75°,AO=M，B0'co

=2：1,求彳8的長(zhǎng)經(jīng)過數(shù)學(xué)小組成員討論發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)8作8?！ㄡ?。交40的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

D、通過構(gòu)造△力外就可以解決問題(如圖2〉

請(qǐng)回答：^ADB=750,AB=3y

(2)請(qǐng)參考以上解決思路，解決問題：

如圖3在四邊形四切中對(duì)角線〃1與劭相交于點(diǎn)0,ACA.AD,AO=近,4ABC=工ACB

=75°,BOx00=2：1,求。。的長(zhǎng)

D

圖1圖2圖3

解：(1)如圖2中，過點(diǎn)8作8?！ā?，交40的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

?；BD〃AC、

4ADB=/0AC=75。.

,//.BOD=Z.COA,

??.△8①s△0，

?OD=OB=9

…OAOC-

又YAg班,

：.OD=2AO=2^

：.AD=AO^OD=3\[2-

VZ^P=30°,N4?6=75°,

「'NX8p=180°-/BAD-/ADB=150=NADB、

'.AB=>4P=3A/3；

故答案為75,3立.

（2）如圖3中，過點(diǎn)8作維〃交4C于點(diǎn)E

圖3

,：ACX.AD,BE//AD,

：.ZDAC=ZBEA=90Q.

,/Z.AOD=Z.EOB,

:、△AOMXEOB、

.BO=EO=BE=2

,QD-AO-AD-

,：BO：00=1：3,

：.E0=2M，

：.AE=3yf3.

?:乙ABACACB=75°,

/.ZBAC=30°,AB=AC,

：.AB=2BE.

在中，B必+AE=A）,即（4/）2+B^=（2BE）2,

解得：BE=3,

：.AB=^AC=6yAD=^

o

在Rt△勿。中，〃+雨=切，即6?+喘）2=況

乙

解得：緲=盟豆（負(fù)根已經(jīng)舍棄）.

2

7.正方形力成力中，回4,點(diǎn)、日尸分別在四、8c邊上（不與點(diǎn)48重合）.

圖1圖2圖3備用圖

（1）如圖1,連接CE、作DMLCE、交必于點(diǎn)M.若BE=3,則DM=5；

（2）如圖2,連接EF,將線段）繞點(diǎn)廠順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)G；

再將線段尸G繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)〃；依此操作下去…，

①如圖3,線段中經(jīng)過兩次操作后拼得△"，，其形狀為等邊三角形，在此條件下,

求證：AE=CF\

②若線段）經(jīng)過三次操作恰好拼成四邊形EFGH,

（3）請(qǐng)判斷四邊形爐◎?的形狀為正方形，此時(shí)命與斯的數(shù)量關(guān)系是AE=BF；

（4）以1中的結(jié)論為前提，設(shè)的長(zhǎng)為x,四邊形￡FG//的面積為匕求y與x的函數(shù)

關(guān)系式及面積y的取值范圍.

解：（1）如圖1中，

D

“MJ

圖1

???四邊形48CZ?是正方形，

N8=NZ?加90°,

,:BE=3,80=4,

???CE=7BE2+BC2=732+42=5，

,：DMLEC,

：./DMONMCE=9Q0,/椒巧N煙=90°,

：.Z.DMC=Z.CEB,

,:BC=CD,

:.XBCE9XCDM{AAS\

：.DM=EC=5.

故答案為5.

(2)如題圖3,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知&?="=￡?￡則△龍尸為等邊三角形.

故答案為等邊三角形.

(2)①四邊形&'G"的形狀為正方形，此時(shí)彳￡=8尸.理由如下：

依題意畫出圖形，如答圖1所示：連接用、FH,悴州工BC千N,GALLA8于M.

圖2

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，EF=FG=GH=HE,

..?四邊形仔是菱形，

由△EGgXFHN、可知&?=/7/,

二?四邊形行"0/的形狀為正方形.

/.N陽=90°

VZ1+Z2=90°,N2+N3=90°,

/.Z1=Z3.

?/Z3+Z4=90°,Z2+Z3=90°,

/.Z2=Z4.

在〉A(chǔ)EH與叢BFE中,

—

<EH=EF,

Z2=Z4

:、△AEgXBFE{ASA}

：.AE=BF.

故答案為正方形，AE=BF.

(4)利用①中結(jié)論，易證△〃//、4BFE、4CGF、△ZWG均為全等三角形，

BF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4-x.

「?V=S正方形彳sc。-4s%明=4X4—4X卷x(4—x)=24-8K'16.

“=2/-8班16(0<x<4)

,?,=2?-8/16=2(x-2)2+8,

.??當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值8；當(dāng)x=0時(shí)，y=16,

??.V的取值范圍為：8WyV16.

8.已知：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形)8c的頂點(diǎn)8的坐標(biāo)是(6,4).

圖1圖2圖3

(1)直接寫出力點(diǎn)坐標(biāo)(6,0),C點(diǎn)坐標(biāo)(0,4)；

(2)如圖2,。為宓中點(diǎn).連接8。AD,如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)。(m,1),且四邊

形力”的面積是面積的2倍，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖3,動(dòng)點(diǎn)材從點(diǎn)C出發(fā)，以每鈔1個(gè)單位的速度沿線段C8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N

從點(diǎn)4出發(fā).以每秒2個(gè)單位的速度沿線段40運(yùn)動(dòng)，當(dāng)力到達(dá)。點(diǎn)時(shí)，M,/V同時(shí)停止運(yùn)

動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是七秒(t>0),在M,力運(yùn)動(dòng)過程中.當(dāng)價(jià)=5時(shí)，直接寫出時(shí)間t的值.

解：(1)二.四邊形"能是長(zhǎng)方形，

：.AB//OC,BC//OA,

,:B(6,4),

：,A(6,0),C(0,4；,

故答案為：6,0,0,，；

(2)如圖2,

由(1)知，A(6,0),C(0,4),

=

OA—b30C4,

???四邊形)8c是長(zhǎng)方形，

:?S長(zhǎng)方形06*=6X4=24，

連接AC.

..YC是長(zhǎng)方形78C的對(duì)角線，

***&<MC=長(zhǎng)方畛OA3C=12,

丁點(diǎn)。是0C的中點(diǎn)，

???四邊形。4加的面積是△/瓦?面積的2倍，

二?S四邊形"m=2/硬=24,

,S四邊形以陀=6+￡^慚=24,

,，S△慚=18,

.??點(diǎn)。是。C的中點(diǎn)，且00=4,

OD=—^-OC=2,

乙

'.'P(/77,1),

「?S△明?妙\m\=￡x2|m|=18,

.,.m=18(由于點(diǎn)夕在第二象限，所以，m小于0,舍去)或榕-18,

:?P(-18,1)；

(3)如圖3,

由(2)知，04=6,00=4、

???四邊形"宓是長(zhǎng)方形，

：.4A0C=40CB=9G,BC=6,

由運(yùn)動(dòng)知，CM=t,AN=2t,

：.0N=0A-AN=6-2t,

過點(diǎn)〃作的AL"于小

：.^0HM=9^=4A0C=40CB、

二.四邊形0GW是長(zhǎng)方形，

：.MH=0C=^,0H=CM=t,

：.HN=\0N-CM\=6-2t-t|=|6-3t|,

在Rt△他V中，W=5,根據(jù)勾股定理得，麻=麻-麻，

A|6-3t|2=52-42=9,

t=1或t=3,

即：t的值為1或3.

圖3

4

問題情境

數(shù)學(xué)課上，李老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1,點(diǎn)戶是正方形力8CD內(nèi)一點(diǎn)，21=1,PB

=2,%=3.你能求出N4陽的度數(shù)嗎？

(1)小敏與同桌小聰通過觀察、思考、討論后，得匕了如下思路:

思路一：將繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△8P4連接中\(zhòng)求出的度數(shù);

思路二：將△/!多繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△C/8,連接求出N4多的度數(shù).

請(qǐng)參考以上思路，任選一種寫出完整的解答過程.

類比探究

(2)如圖2,若點(diǎn)P是正方形48CZ?外一點(diǎn)，PA=3,PB=1,PCRIl，求陽的度數(shù).

拓展應(yīng)用

(3)如圖3,在邊長(zhǎng)為力的等邊三角形四C內(nèi)有一點(diǎn)0,NAOC=90。,N800=120。，

則ZUOC的面積是《.

解：(1)思路一，如H1,將△8%繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到連接物，

圖1

則△笫"，AP'=CP=3,BP=BP=2、NW=90°

/.ZBPP'=45°,

根據(jù)勾股定理得，P'P=V2BP=2V2,

'：AP=]t

戶+步/=1+8=9,

又,?,f'4=32=9,

HP=P'及、

「.△/I所'是直角三角形，且/初匠=90°,

A^APB=ZAPP'+ZBPP,=900+45°=135°.

思路二、同思路一的方法.

(2)如圖2,將48必繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到連接外

圖2

則△48P@AG8P,AP'=CP=Vli，BP,=BP=1,4PBp,=90°

：.Z.BPP'=45°,

根據(jù)勾股定理得，PP'=V2BP=V2,

'：AP=3,

丁?/1.+U尸=9+2=11,

22=

又.?￥'A=(VH)IL

:?A八PP=P丸

「?△/I”'是直角三角形，且/初P=90°,

/.Z.APB=Z.APP'-Z.BPP'=90°-45°=45°

(3)如圖，將△480繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△及當(dāng)連接如.

圖3

則△膽儂明ZAO8=ZBEC=360°-90°-120°=150°,

..?△仇龍是等邊三角形，

ZBEO=ZBOE=6Q°,

OEC=9G,N0312OU-60”=60”,

.,.sin60°=*=立，沒Egyf^k,OC=2k、貝I]a=物道〃，

OC2

,；NAOC=90°,

/.OR+OG=AG、

...3"+4"=7,

或-1(舍棄)，

「?)=&,00=2,

???S△松=費(fèi)?0A-0a&X2=爪.

故答案為加.

10.如圖1,在矩形加3中，點(diǎn)。是比邊上一點(diǎn)，連接社交對(duì)角線8。于點(diǎn)￡,BP=BE.作

線段”的中垂線制分別交線段叫DB,AP,48于點(diǎn)的，G,F,N.

(1)求證：2BAP=LBGN、

(2)若AB=6,BC=8,求獸；

Er

(3)如圖2,在(2)的條件下，連接CF,求tanN的＜的

(1)證明：如圖1中,

???四邊形四切是矩形,

/.Z.ABC=W,

2BAP=4APB=W

?；BP=BE,

：.4APB匕BEP=4GEF、

??.的V垂直平分線段彳尺

/.ZGFE=9Q°,

N8GmNG￡F=90°,

/.4BAP=4BGN.

(2)解：?..四邊形彳比。是矩形，

4BAD=4ABP=9G,AD//BC,AD=BC=8,

BD=22=22=

,?VAB+ADV6+810，

：AD//BC,

\4DAE=tAPB、

：￡APB=/BEP=/DEA、

?.ZDAE=ZDEA,

??%=〃上=8,

：.BE=BP=BD-P￡=10-8=2,

VAB2+BP2=762+22=2VW，

???郴垂直平分線段4。，

.\AF=PF=yflQ1

'：PB//AD,

.PE=PB=_2=1

*,AE_AD__8-T

：.PE=LPA=仝叵,

55

：.EF=PF-PE=V10-

55

.PE_5_2

"EF3同3,

5

(3)解：如圖3中，連接4/,MP.設(shè)加北

???四邊形彳&切是矩形，

：.AADM=^MCP=9^,AB=CD=6,AD=BC=8,

?.?椒垂直平分線段彳只

：.MA=MP,

.*,8?+(6-x)2=62+X2,

Y4PFM=4PCM=W,

F,M,。四點(diǎn)共圓,

ZCFM=NCPM,

uo

.'.tanZ6y^=tanZCFM=-C^-=3

CP—9

0

11.在利用構(gòu)造全等三角形來解決的問題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在

△48。中，48=8,力仁6,點(diǎn)。是8c邊上的中點(diǎn)，怎洋求力。的取值范圍呢？我們可以延

長(zhǎng)4。到點(diǎn)E,使AD=DE,然后連接維（如圖①），這樣，在和中，由于

'AD=DE

*ZADC=ZEDB,^LADC^^EDB.：.AC=EB,接下來，在△?!國中通過熊的長(zhǎng)可求出

BD=CD

加的取值范圍.

請(qǐng)你回答：

（1）在圖①中;中線力。的取值范圍是一1V4?V7.

（2）應(yīng)用上述方法，解決下面問題

①如圖②，在△加C中，點(diǎn)。是比邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是48邊上的一點(diǎn)，作DF工DE交AC

邊于點(diǎn)R連接行；若BE=4,CF=2、請(qǐng)直接寫出所的取值范圍.

②如圖③，在四邊形府切中，N8CD=150°,NA0C=3Q：點(diǎn)、E是AB中點(diǎn)、，點(diǎn)F在0C

上，且滿足仇DF=AD,連接照ED、請(qǐng)判斷結(jié)與功的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)

論.

解：（1）延長(zhǎng)力。到點(diǎn)￡使的=0￡,連接8&如圖①所示:

丁點(diǎn)。是外邊上的中點(diǎn)，

?*-BD=CD,

rAD=DE

在△4DC和△08中，ZADC=ZEDB,

BD=CD

:.△ADaXEDB(SIS,

:.AC=EB=6,

在A/l配■中，AB-BE<AE<AB^BE,

」.8-6V心：8+6,即2V心C14,

.*.1</IP<7,

故答案為：1V4X7；

(2)①延長(zhǎng)口到點(diǎn)兒使&?=ZW,連接CMFN,如圖②所示:

丁點(diǎn)。是8c邊上的中點(diǎn)，

：.BD=CD,

rCD=BD

在△M?C和△￡Z?8中，中，ZCDN=ZBDE,

DN=ED

：.^NDC^/\EDB(SAS,、

:.BE=CN=A、

,:DF工DE,ED=DN、

：.EF=FN,

在AMV中，CN-CF<FN<Cf^CF,

.,.4-2</W<4+2,即2V/WV6,

.,.2<EF<6；

②C￡L￡P(guān)；理由如下：

延長(zhǎng)紙與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,如圖③所示：

???點(diǎn)￡是48中點(diǎn),

：.BE=AE,

,：ZBCD=}5Q°,NAOC=30°,

：.DG//BC,

：.ZGAE=ZCBE、

rZGAE=ZCBE

在△〃三和的中，，AE=BE,

ZAEG=ZBEC

:.XGAE@XCBE(ASX,

：.GE=CE,AG=BC,

'：BC=CF,DF=AD、

：.CR-DF=BOAD=AG^-AD,即：CD=GD,

,/GE=GE,

/.CELED.

"G

圉③

圖②

12.如圖，在平行四邊形48CZ?中，ABLAC,對(duì)角線4C、8D相交于點(diǎn)。，將直線4C繞點(diǎn)0

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Q（0°<a^90°）,分別交線段打?、4?于點(diǎn)6F、已知府=1,

BC=V5,連接既

」（1）如圖①，在旋轉(zhuǎn)的過程中，請(qǐng)寫出線段力尸與&7的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）如圖②，當(dāng)a=45°時(shí)，請(qǐng)寫出線段既與詼的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）如圖③，當(dāng)a=90°時(shí)，求ABO尸的面積.

解：(1)AF=CE\理由如下：

???四邊形四緲是平行四邊形，

S.AD//BC,AO=CO,

Z.FAO=Z.ECO.

rZFAO=ZECO

.?.在△川■0與△C&?中，AO=CO

ZAOF=ZCOE

:?△4■也△經(jīng)。（A5Z；,

：.AF=EC}

(2)BF=DF：理由如下：

'：ABLAC,

ZBAC=9Q°,

AC22=22=

=7BC-AB7(V5)-12，

???四邊形/18G。是平行四邊形，

：.BO=DO,A0=CO=^-AG=\,

乙

=

*'tABAOy

又

；.N40B=45°,

a=45°,4A0F=4Q,

:/BOF=NAO濟(jì)NA0F=450+45°=90°,

,\EF±BD,

,:BO=DO,

：.BF=DF；

(3),SABAC,

：.ZCAB=9QC,

：.￡CAB=/.AOF=a=90°,

：.AB//EF,

???四邊形48CZ?是平行四邊形，

:?AF〃BE、

???四邊形彳配?尸是平行四邊形，

:.AB=EF='、

由(1)得：△力兄匕△b0,

：.0F=0E=EF=±,

22

由⑵得：47=1,

'.,AB//EF,AO工EF,

^BOF=^￡xMF=0^=~^'X1

乙乙乙士

13.綜合與實(shí)踐

（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,ZUCB和△仇江均為等邊三角形，點(diǎn)4。，萬在同一直線上，連接8￡請(qǐng)寫出N

%'8的度數(shù)及線段4?,州之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）類比探究

如圖2,△力緲和均為等腰直角三角形，NACB=NDCE=9Q",點(diǎn)、A,D,E在同一

直線上，CM為△"在中“邊上的高，連接

填空：①N/IE8的度數(shù)為90°；

②線段CMAE.船之間的數(shù)量關(guān)系為AE=BR2CM.

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，若死=4,CM=3,則四邊形48&?的面積為35.

解：（1）ZAEB=6Q°,AD=BE,理由如下：

???△力緲和△。比均為等邊三角形，

/.CA=CB,CD=CE、/ACB=4DCE=&}0.

Z.ACD=Z.BCE.

'AC=BC

在△4?。和48b中，，NACD=NBCE,

,CD=CE

：.^ACD^/\BCE（SAS；.

：.Z.ADC=BEC.AD=BE、

??,△A宏為等邊三角形，

4CDE=￡CED=60°.

???點(diǎn)4D,E在同一直線上，

；?NMC=120°.

；?N8EC=120°.

/AEB=/BEC-/CED=bO'.

(2)猜想：①//加90°,⑦AE=B&2CM.理由如下:

?.?△4笫和△。綏均為等腰直角三角形，

，CA=CB、CD=CE、4ACB=NDCE=9G.

/.Z.ACD=/LBCE.

'AC=BC

在和48宏中，，NACD=NBCE,

CD=CE

:.MAC恒XBCE(%S.

：.AD=BE,ZADC=/.BEC.

龍為等腰直角三角形，

；?4CDE=4CED=45°.

.??點(diǎn)4D、萬在同一直線上，

「?N4%=135°.

N8&?=135°.

：.4AEB=NBEC-ZCED=90°.

,/CD=CE,CMA.DE,

：.DM=ME.

'：^DCE=9Q0,

：.DM=ME=CM.

：.AE=AD^DE=BE^2CM.

故答案為：90°,AE=B&2CM,?

(3)由(2)得：4AEB=90°,AD=BE=4,

,?,△￡?龍均為等腰直角三角形，緲為△。/中然邊上的高，

J.CMLAE,DE=2CM=6,

：.AE=A比DE=4+6=10,

二四邊形彳88的面積=笫的面積+△/＞的的面積CM^—AEXBE=—X10X3+—

乙乙乙乙

X10X4=35；

故答案為：35.

D

AB

圖2

14.如圖，正方形6M8c的邊長(zhǎng)為8,"為"上一點(diǎn)，0P=2,。為。C邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分

別以為邊在正方形"外內(nèi)部作等邊三角形。陽和等邊三角形PQE.

(1)證明：DE=OO\

(2)直線口與0C交于點(diǎn)尸，點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過程中.

①N&C的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求出這個(gè)角的度數(shù)；若改變，說明理由；

②連結(jié)悲，求命的最小值.

備用圖

(1)證明：如圖1中，

圖1

???△OPD和△HE是等邊三角形,

：.PO=PD.PQ=PE、40PD=4QPE=bO°,

：.Z.OPQ=Z.DPE,

△OPglXDPE(SIS),

：.DE=OQ.

(2)①???△0"儂△》石

N￡P(guān)P=N/W=90°,

,/，DOP=40DP=60°

，￡FDO=/FD0=3N,

，4EFC=4F0O/FDO=60".

②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，以夕。為邊作正三角形以比

圖2

?.?/￡360°為定值，

點(diǎn)￡的運(yùn)動(dòng)路徑為線段DM,

過點(diǎn)P作以垂足為小

.?.當(dāng)4RL好時(shí)，然的值最小

VZ.PDE=ADEH=Z.PHE=W,

二.四邊形"陽/是矩形，

ZP/W=90°,EH=PD=2、

：.EH=DP=2,

在△的中，N4/P=90。,N例1=30°

：.AH=^PA=3,

:.AE=EH^AH=2+3=5.

15.我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂直四邊形.

(1)如圖1,在四邊形四緲中，AB=AD,CB=CD,問四邊形力及力是垂直四邊形嗎？請(qǐng)

說明理由；

(2)如圖2,四邊形初必是垂直四邊形，求證：/如■初=力夕+切；

(3)如圖3,Rt△加C中，NA第=90°,分別以〃、48為邊向外作正方形4G&?和正方

形力8"，連接BG、GE,已知彳片4,BC=3,求GE長(zhǎng).

(1)解：四邊形四必是垂直四邊形；理由如下：

,：AB=AD,

..?點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，

CB=CD,

???點(diǎn)C在線段劭的垂直平分線上，

直線彳。是線段劭的垂直平分線，

：.ACLBD,即四邊形四⑺是垂直四邊形；

(2)證明：設(shè)ACX8。交于點(diǎn)E,如圖2所示：

'：ACLBD,

：.Z.AED=ZAEB=Z.BEC=ZCED=9Q°,

由勾股定理得：Ad+BC=Ae+DE+BE+CR,AE+C0=AE+BE+DE+CE、

:,AO+BG=AE+CU;

(3)解：連接％、BE,如圖3所示：

???正方形水?&?和正方形ABDE,

：.AG=AC,AB=AE,CG=y[^C=4?,CAG=ZBAE=9Q°,

：.4CABAC=/BAR4BAC、即/外8=/"￡

'AG=AC

在△G/18和中，＜NGAB=NCAE,

AB=AE

AGASHACAE(SIS,

/.4ABG=/AEC、

又,：4AEC+NCE濟(jì)NABE=90°,

:.乙AB*4CE階乙ABE=90°,即CRL8G,

二?四邊形CG劭是垂直四邊形，由(2)得，CG+BE=BC+GJ

'：AC=A,BC=3,

AB=7AC2+BC2=V42+32=5*?BE=&AB=5風(fēng),

；.G￡=CG+BE-BC=(4^2)?+(5盜)7-3?=73,

???^=V73.

A

圖2

精品基耿教育教學(xué)資料，僅供參考，需要可下我使用！

《圓》

1.如圖1,△/劭?jī)?nèi)接于。0,4。是直徑，N84?的平分線交8,于//,交。0于點(diǎn)C,連接

%并延長(zhǎng)，交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡

(1)求證：AE=AD\

(2)若整吾，求管的值；

(3)如圖2,連接笫并延長(zhǎng)，交加的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，若AH=HC,AF=6,求的面

積.

解：(1)是直徑，

^ACD=90°,即4CJ?劭,

劭是N84?的平分線，

故AE=AD-,

(2)笠BE=高?，則設(shè)8￡=3a,AB=2a,AD=AE=5a,

AB2

。交8D于點(diǎn)G,

圖1

做是/外。的平分線，則前布，

則OCA.BD,

故OC//AB.貝I]0C是班的中位線,

11%

貝I]OG=-AB=a,OC=—AD=-

222f

Ra

貝I]CG=OC-。4詈，

乙

AHAB2a.

?-CG//AB,則HCCG3a_=-1;

（3）設(shè)：OG=m、則48=2加,

當(dāng)4/=//C時(shí)，由（2）知，△4/^△夕冶（加S）,

則四=%=2勿，則a=3m,即圓的半徑為3m,

'.AB//CO,則鬻有，即/—四，

ruOC6+3m3m

解得：/77=1,

故48=2,47=6,BE=4、

則^=7AD2-AB2=4V2>

'：EC=DC,

則△緋C的面積=,S△如=￡乂28。3?1X4X4^=4V^

乙乙乙

2.如圖，絲是。。的直徑，M是"的中點(diǎn)，弦CD上A8千點(diǎn)、M,過點(diǎn)。作。EL"交"的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)連接也求/刎

⑵點(diǎn)尸在菽上，NW方=45°,DF交AB千點(diǎn)、N.若DE=^,求/W的長(zhǎng).

B

解：(1)如圖1,連接辦,

圖1

???是。的直徑，于點(diǎn)

.?"8垂直平分CD、

???第是。的中點(diǎn),

*',0M=~^0OEJ

./30M1

…cosZDOM而,

MU乙

N。。460°,

YAO=OD,

是等邊三角形，

Z04/7=60°；

(2)如圖2,連接GF,GN、

E

..."，勿于點(diǎn)加，

.??點(diǎn)〃是G0的中點(diǎn)，

二./18垂直平分CD,

：.NC=ND,

,：ZCDF=45°,

：./NCD=，NDC=45°,

???NM=90°,

；?/CNF=9N,

由(1)可知，N40g60°,

/.ZACD=3QQ,

又丁DELCA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

Z￡=90°,

ZACD=3Q°,DE=、h.

:?CD=2DE=2近,

.,.67V=6Z?*sin45°=2?X孚小

由(1)可知，2CAD=2/0AD=\2Q0,

「?N尸=180°-120°=60°,

在RtZiC川中，F(xiàn)N=-

tan60V3

3.如圖1,銳角AB=AC,00是△?員?的外接圓，連接8。并延長(zhǎng)交4C于點(diǎn)。，

（1）若N8%=30°,求N847的度數(shù)；

（2）如圖2,當(dāng)0°VN84;V60°時(shí)，作點(diǎn)。關(guān)于初的對(duì)稱點(diǎn)￡,連接力旦DE,宏交

A8于F.

①點(diǎn)E在。。上（選填“內(nèi)、”上”、“外”）；

②證明：4AEF=4EAB、

③若△8%為等腰三角形，AD=2,求的長(zhǎng).

解：（1）延長(zhǎng)劭交圓。于點(diǎn)G,連結(jié)CG,如圖:

VBC=BC，

.??N/=NG,

???直徑8G,

：.ZBCG=90°,

,：AB=AC,

：./BCA=4CBA,

設(shè)/她=NG'=a,則N4=N41800-2a,N0GG=9O0-a,

：.NBDC=N佻/0CG=W-2a+90°-a=30°,

?*-a=80°,

/.ZBAC=ZG=]8QD-2X80°=20°；

(2)連結(jié)OC、0E,延長(zhǎng)做交圓。于點(diǎn)楠、連結(jié)CM,如圖:

圖2

①TC、E是關(guān)于8D的對(duì)稱點(diǎn)，

：.OC=OE,

???點(diǎn)E在。0上，

故答案為：上；

②證明：TC、￡是關(guān)于8,的對(duì)稱點(diǎn)，

?■?BC=BE.N2=N3,

N4=N5=NM,

設(shè)NlnN/IHax,貝1]/4=/5=/4180°-2x,Z6=90°-x,

/.Z2=Z3=Z>Z6=270°-3x,

???N4￡F=N￡P(guān)C-NH，=2N3-2N4=2(270°-3x)-2(180°-2x)=180°-2x,

：.Z/l￡F=Z5=180;>-2x,

即N/1￡F=NQ18；

③：4'=/ABO/DBC、

：.BD>DC,

???△8Z?C為等腰三角形，

二?分兩種情況討論：

(I)當(dāng)8Z?=8C時(shí)，Z1=Z2,即x=270°-3x,

解得：x=67.5°,

AZ4=45°<60°,滿足題意，此時(shí)為等腰直角三角形，AE=AD=2,

.,.AE=2；

(II)當(dāng)a=8C時(shí),22=4DBC,即270°-3x=180°-2x,

解得：x=90：

/.Z4=0°,不滿足0°VN縱CV60°；

綜上所述：AE=2.

4.如圖，聲是。0的直徑，點(diǎn)C、。在。0上，皿與8c相交于點(diǎn)￡連接劭，作N8勿?=/

BAD,爐與48的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)尸.

(1)求證：。尸是。。的切線；

(2)箱DF〃BC,求證：47平分N847；

(3)在(2)的條件下，若＞18=10,BD=6,求d的長(zhǎng).

F8是直徑，

/.ZADB=9Q0,

AD8/ODB=q&,

'：OA=OD,

：.NBAD=NAD0、

'：/BDF=/BAD,

:./BDRNODB=9G°,

/.ZODF=90°,

：.ODLDF,

."尸是G)。的切」線；

(2)'：DF//BC,

：./FDB=4CBD、

'-'CD=CD?

：.4CAD=/CBD、旦4BDF=NBA。

/.ZCAD=乙BAD=ZCBD=Z.BDF,

??J。平分/外c；

(3)'.'Aff=WtBD=6,

.,.AD=yjg2_8口