第四章-彈性變形、塑性變形、本構(gòu)方程

第四章彈性變形、塑性變形、本構(gòu)方程

§4-1彈性變形與塑性變形的特點

塑性力學的附加假設

§4-2

常用簡化力學模型

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)

§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件

§4-5巖土材料的變形模型與強度準則

§4-6加載準則、加載曲面、加載方式

§4-7

塑性本構(gòu)方程

彈塑性力學第四章彈性變形、塑性變形、本構(gòu)方程(續(xù)1)

本章介紹彈塑性力學基本理論中的本構(gòu)理論。在本構(gòu)理論的研究過程中，涉及到了材料，也就是涉及到物體的物理變形特性。因此，本構(gòu)理論進一步細分為彈性本構(gòu)理論和塑性本構(gòu)理論兩部分。本章本構(gòu)理論的學習可分成以下四部分進行學習。

其一：正確理解彈性變形、塑性變形、本構(gòu)關(guān)系、力學變形模型等概念。熟練掌握材料的彈性變形與塑性變形的特點和常用力學變形模型。這些內(nèi)容涉及教材§4-1§4-2節(jié)。彈塑性力學第四章彈性變形、塑性變形、本構(gòu)方程(續(xù)2)

其二：正確理解應變能、應變比能、彈性參數(shù)、極端各向異性體、正交各向異性體、橫觀各向同性體、各向同性體等概念。了解各向異性材料的彈性本構(gòu)關(guān)系，熟練掌握各向同性材料的彈性本構(gòu)關(guān)系。上述內(nèi)容涉及教材§4-3節(jié)。

其三：正確理解屈服函數(shù)、主應力空間、平面、屈服曲線、屈服條件、強度準則等概念。熟練掌握常用屈服條件及其應用，簡單了解巖土材料的強度準則。這些內(nèi)容涉及教材§4-4、§4-5節(jié)。

其四：正確理解加載、加載準則等概念。簡單了解塑性本構(gòu)關(guān)系。這些內(nèi)容涉及教材§4-6、§4-7節(jié)。彈塑性力學§4-1彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學的附加假設◆彈塑性力學研究的問題一般都是靜不定問題。｛◆靜不定問題的解答1、靜力平衡分析——平衡微分方程2、幾何變形分析——幾何方程3、物理關(guān)系分析——物理方程

◆此即彈塑性力學分析解決問題的基本思路。◆表明固體材料產(chǎn)生彈性變形或塑性變形時應力與應變，以及應力率與應變率之間關(guān)系的物性方程，稱為本構(gòu)方程（關(guān)系）。彈塑性力學§4-1彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學的附加假設（續(xù)1）◆

大量實驗證實，固體受力變形時，應力與應變間的關(guān)系是相輔相成的?！?/p>

固體材料在一定條件下，應力與應變之間各自有著確定的關(guān)系，這一關(guān)系反映著固體材料的變形的客觀特性。彈塑性力學§4-1彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學的附加假設（續(xù)2）

⑴彈性變形特點:①彈性變形是可逆的。物體在變形過程中，外力所做的功以能量（應變能）的形式貯存在物體內(nèi)，當卸載時，彈性應變能將全部釋放出來，物體的變形得以完全恢復；②無論材料是處于單向應力狀態(tài)，還是復雜應力態(tài)，在線彈性變形階段，應力和應變成線性比例關(guān)系；③對材料加載或卸載，其應力應變曲線路徑相同。因此，應力與應變是一一對應的關(guān)系。彈塑性力學§4-1彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學的附加假設（續(xù)3）⑵塑性變形特點:①塑性變形不可恢復，所以外力功不可逆，塑性變形的產(chǎn)生必定要耗散能量（稱耗散能或形變功）。②在塑性變形階段，其應力應變關(guān)系是非線性的。由于本構(gòu)方程的非線性，所以不能使用疊加原理。又因為加載與卸載的規(guī)律不同，應力與應變之間不再存在一一對應的關(guān)系，即應力與相應的應變不能唯一地確定，而應當考慮到加載路徑（或加載歷史）。③在載荷作用下，變形體有的部分仍處于彈性狀態(tài)稱彈性區(qū)，有的部分已進入了塑性狀態(tài)稱塑性區(qū)。在彈性區(qū)，加載與卸載都服從廣義虎克定律。但在塑性區(qū)，加載過程服從塑性規(guī)律，而在卸載過程中則服從彈性的虎克定律。并且隨著載荷的變化，兩區(qū)域的分界面也會產(chǎn)生變化。④依據(jù)屈服條件，判斷材料是否處于塑性變形狀態(tài)。彈塑性力學§4-1彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學的附加假設（續(xù)4）◆具強化性質(zhì)的固體材料，隨著塑性變形的增加，屈服極限在一個方向上提高，而在相反的方向上降低的效應，稱為包辛格效應。◆

包辛格效應導致材料物理力學性質(zhì)具有各向異性。◆由于這一效應的數(shù)學描述比較復雜,一般塑性理論（在本教程）中都忽略它的影響。⑶包辛格效應:彈塑性力學§4-1彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學的附加假設（續(xù)5）⑷

塑性力學附加假設:為研究塑性力學需要，對材料提出如下附加假設：①球應力引起了全部體變（即體積改變量），而不包含畸變（即形狀改變量），體變是彈性的。因此，球應力不影響屈服條件；②偏斜應力引起了全部畸變，而不包括體變，塑性變形僅是由應力偏量引起的。因此，在塑性變形過程中材料具有不可壓縮性（即體積應變?yōu)榱悖?；③不考慮時間因素對材料性質(zhì)的影響，即認為材料是非粘性的。

◆

這些附加假設都是建立在一些金屬材料的實驗基礎上的，前兩條對巖土材料不適應。彈塑性力學§4-2

常用簡化力學模型◆

變形力學模型是在大量實驗的基礎上，將各種反映材料力學性質(zhì)的應力應變曲線，進行分析歸類抽象總結(jié)后提出的?！?/p>

對不同的固體材料，不同的應用領域，可采用不同的變形體力學模型。★

確定力學模型時應注意：

①必須符合材料的實際情況；

②模型的數(shù)學表達式應足夠簡單。彈塑性力學§4-2

常用簡化力學模型（續(xù)1）不同的固體材料，力學性質(zhì)各不相同。即便是同一種固體材料，在不同的物理環(huán)境和受力狀態(tài)中，所測得的反映其力學性質(zhì)的應力應變曲線也各不相同。盡管材料力學性質(zhì)復雜多變，但仍是有規(guī)律可循的，也就是說可將各種反映材料力學性質(zhì)的應力應變曲線，進行分析歸類并加以總結(jié)，從而提出相應的變形體力學模型。彈塑性力學§4-2

常用簡化力學模型（續(xù)2）

在確定力學模型時，要特別注意使所選取的力學模型必須符合材料的實際情況，這是非常重要的，因為只有這樣才能使計算結(jié)果反映結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中的真實應力及應力狀態(tài)。另一方面要注意所選取的力學模型的數(shù)學表達式應足夠簡單，以便在求解具體問題時，不出現(xiàn)過大的數(shù)學上的困難。關(guān)于彈塑性力學中常用的簡化力學模型分析如下：彈塑性力學§4-2

常用簡化力學模型（續(xù)3）◆

理想彈塑性力學模型

理想彈塑性力學模型亦稱為彈性完全塑性力學模型，該模型抓住了韌性材料的主要變形特征。其表達式為：（4-2）彈塑性力學§4-2

常用簡化力學模型（續(xù)4）◆

理想線性強化彈塑性力學模型

理想線性強化彈塑性力學模型亦稱為彈塑性線性強化材料或雙線性強化模型。其數(shù)學表達式為：彈塑性力學§4-2

常用簡化力學模型（續(xù)5）◆理想剛塑性力學模型

理想剛塑性力學模型亦稱剛性完全塑性力學模型，特別適宜于塑性極限載荷的分析。其表達式為:（4--4）彈塑性力學§4-2

常用簡化力學模型（續(xù)6）◆

理想線性強化剛塑性力學模型

理想線性強化剛塑性力學模型，其應力應變關(guān)系的數(shù)學表達式為：（4--5）彈塑性力學§4-2

常用簡化力學模型（續(xù)7）◆冪強化力學模型

為了避免在處的變化，有時可以采用冪強化力學模型。當表達式中冪強化系數(shù)n分別取

0或1時，就代表理想彈塑性模型和理想剛塑性模型。其應力應變關(guān)系表達式為：（4--6）彈塑性力學§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)大量的試驗研究結(jié)果表明，在許多工程材料的彈性范圍內(nèi)，單向的應力與應變之間存在著線性關(guān)系。若取過某點的x方向為單軸向力方向，則簡單拉(壓)時的虎克定律為：

由于這種關(guān)系反映出來的材料變形屬性，應不隨應力狀態(tài)的不同而變化，因而人們認為，對于各種復雜應力狀態(tài)也應有性質(zhì)相同的關(guān)系，故可將上述應力應變線性比例關(guān)系推廣到一般情況，即在彈性變形過程中，任一點的每一應力分量都是六個獨立的應變分量的線性函數(shù)；反之亦然。這種形式的應力應變關(guān)系，稱為廣義虎克定律或彈性本構(gòu)方程，表達為數(shù)學形式則為：

彈塑性力學§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)1）式中Cmn稱為彈性常數(shù)，與位置坐標無關(guān)。（4-8）⑴

廣義虎克定律一般表達式：假設物體中沒有初應力，對于均勻的理想彈性體的應力應變關(guān)系下：彈塑性力學◆廣義虎克定律張量表達式：（4-9）◆

廣義虎克定律式（4-8）中36個彈性常數(shù)是否彼此無關(guān)？◆

彈性常數(shù)針對各種不同的研究對象；它們之間的關(guān)系是什么？◆式（4-8）若采用矩陣表達式,則為：{σ}=[D]{ε}{σ}稱為應力列陣；{ε}稱為應變列陣；[D]稱為彈性矩陣。§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)2）彈塑性力學⑵彈性應變能函數(shù):◆

彈性體的實功原理：若對于靜荷載作用下產(chǎn)生彈性變形過程中不計能量耗散，則據(jù)功能原理：產(chǎn)生此變形的外力在加載過程中所作的功將以一種能量的形式被積累在物體內(nèi)，此能量稱為彈性應變能，或稱彈性變形能。并且物體的彈性應變能在數(shù)值上等于外力功。這就是實功原理，也稱變形能原理。若彈性應變能用U表示，外力功用We表示，則有：

（4--10）若以Wi表示內(nèi)力功，則有：（4--11）（a）且：§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)3）

彈塑性力學⑶、彈性體中的內(nèi)力功和應變能：物體內(nèi)代表一點的微分體，在變形時存在有剛性位移與變形位移兩部分。但由于內(nèi)力是平衡力系，在微分體的剛體（性）位移上不作功，則只須討論應力對微分體引起應變所作的內(nèi)力功（亦稱形變功）?！?-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)4）首先考察單元體上外法線與x軸相平行的微截面上拉力（或壓力）所作的功如圖4-8(a)所示。彈塑性力學

同理可得：

于是拉力所作的內(nèi)力功為：同理可得：

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)5）彈塑性力學則彈性體由零應變狀態(tài)加載至某一應變狀態(tài)的過程中，彈性體整個體積的內(nèi)力功為：（4—12）于是從零應變狀態(tài)到達某一應變狀態(tài)的過程中，積累在彈性體單位體積內(nèi)的應變能為：

（4—14）

（4—13）§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)6）（4—13）彈塑性力學⑷、彈性勢能函數(shù):有勢力在勢力場（彈性體）中，由于質(zhì)點位置的改變（變形）有做功的能力，這種能稱為勢能。這種勢能顯然就是上述應變能。勢能是質(zhì)點坐標的連續(xù)函數(shù)，故我們把應變能亦稱為應變能函數(shù)，或彈性勢能函數(shù)。

對于理想彈性體，在每一確定的應變狀態(tài)下，都具有確定的應變值。彈性勢能函數(shù)與應變過程無關(guān)。在加、卸載的過程中：

（b）§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)7）彈塑性力學上式表明：應力分量等于彈性勢函數(shù)對相應的應變分量的一階偏導數(shù)。適用于一般彈性體。其縮寫式為：

彈性勢能函數(shù)是坐標的單值連續(xù)函數(shù)，故必為全微分，即：

（4—19）

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)8）（4—17）

（4—18）

彈塑性力學⑸、彈性常數(shù)間的關(guān)系:①、極端各向異性體:對極端各向異性體，獨立的彈性常數(shù)只有21個。

變形過程中，積累在單位體積內(nèi)的應變能為：

（4—21）

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)9）（4—20）

彈塑性力學②、正交各向異性體:正交各向異性體：過物體內(nèi)一點具有三個互相正交的彈性對稱面，在每個對稱面兩側(cè)的對稱方向上彈性性質(zhì)相同，但在三個互相正交方向的彈性性質(zhì)彼此不同?！?-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)10）應變能的值只取決于彈性常數(shù)及最終的應變狀態(tài)，應該與坐標軸的指向無關(guān)。彈塑性力學

正交各向異性體獨立的彈性常數(shù)只有9個。則其相應的應力應變關(guān)系為：

其單位體積應變能為：（4—22）

（4—23）

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)11）彈塑性力學有一類正交各向異性體，其特點是在平行于某一平面的所有各個方向(即所謂橫向)都具有相同的彈性，我們將這類正交異性體稱為橫觀各向同性體。許多成層的巖石就屬于這一類。③、橫觀各向同性體:

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)12）（4—24）（4—25）彈塑性力學§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)13）對比材料力學的公式，則式(4-25)可寫成：（4—26）由于在平面內(nèi)各向同性，故由材料力學的證明知：（4—27）對于橫觀各向同性體，獨立的彈性常數(shù)只有5個，它們是：。

彈塑性力學§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)14）④、各向同性體:所謂各向同性體：是指過物體內(nèi)一點沿任何方向上的物理力學性質(zhì)均相同的物體。其獨立的彈性常數(shù)只有兩個。

各向同性體兩個獨立的彈性常數(shù)通常取為：

彈性模量E和泊桑比υ

★各向同性彈性體的本構(gòu)方程:（4—28）（4—29）A.用應力表達應變的廣義虎克定律:彈塑性力學B.用應變表達應力的廣義虎克定律：上式中λ稱為拉梅常數(shù)。（4—33）

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)15）剪切彈性模量G，楊氏彈性模量E，泊松(Poisson)比三者間的關(guān)系為：（4—30）（4—33）彈塑性力學C．用球應力與應力偏量表示的廣義虎克定律：

（4—38）

此式說明各向同性彈性體的本構(gòu)方程也可表示為：應變球張量與應力球張量成正比，應變偏張量與應力偏張量成正比。§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)16）若將式(4-31)中各彈性系數(shù)代人式(4-23)，即可得各向同性體的應變比能為：

（4—34）

彈塑性力學體積彈性模量K剪切彈性模量G>0

彈性模量E>0

拉梅常數(shù)λ>0

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)17）泊桑比

0<

<0.5彈塑性力學

例4—1

當泊松比υ=0.5時，為什么表示材料不可壓縮性，即體積不變。此時的剪切彈性模量G與拉壓彈性模量E有什么關(guān)系？解：設υ=0.5，由式（4—38）第一式及式（4—37），所以，體積應變:說明材料體積不變，即材料有不可壓縮性。又由式（4—30），得:§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)18）彈塑性力學§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應變能函數(shù)（續(xù)19）

A、球應力（平均正應力）引起了單元體全部體變而不包括畸變；體變是彈性的。B、偏應力引起了單元體全部畸變而不包括體變。塑性變形僅是由應力偏量引起的。事實上，由于應力狀態(tài)中發(fā)生體變的球應力始終存在、發(fā)生彈性畸變的偏應力也始終存在，因此整個變形階段彈性變形是始終存在的。當應力超過屈服極限而發(fā)生塑性變形時，始終還伴隨著彈性變形，故而這個變形階段稱為彈塑性階段。上述的兩點討論有助于我們對塑性變形的研究，

★應力張量和應變張量分解的物理意義：彈塑性力學§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件1、屈服函數(shù):

判斷材料是處于彈性狀態(tài)還是已經(jīng)進入到塑性狀態(tài)，進行這一判斷所依據(jù)的準則就稱為屈服條件，又稱塑性條件。當材料處于簡單應力狀態(tài)時，當應力達到屈服極限材料便處于塑性狀態(tài)。即便是對那些應力應變曲線上彈塑性階段分界不明顯的材料，也可采用屈服極限。彈塑性力學提出問題:

在復雜應力狀態(tài)下材料的屈服條件如何確立呢？

一點的應力狀態(tài)通常是由六個獨立的應力分量所確定。作為判斷材料是否進入塑性狀態(tài)的標準，應該考慮到所有這些應力分量的貢獻。固體材料破壞的基本類型只有兩類：（1）材料屈服流動、強化，產(chǎn)生較大的塑性變形，最終導致剪切斷裂；（2）材料幾乎不產(chǎn)生塑性變形，就導致脆性斷裂；§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)1）彈塑性力學§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)2)★

對于同一種材料，無論它處于何種應力狀態(tài)，當導致它產(chǎn)生某種破壞的這一共同的因素達到某一個極限值時，材料就會產(chǎn)生相應的破壞?！?/p>

因此，我們希望通過材料的簡單力學試驗來確定這個因素的極限值?！?/p>

人們根據(jù)材料破壞的現(xiàn)象，總結(jié)材料破壞的規(guī)律逐漸認識到：不管固體材料產(chǎn)生破壞（脆性斷裂或塑性屈服→剪切斷裂）的表面現(xiàn)象多么復雜，對應某種破壞形式都具有共同的某一決定強度的因素。彈塑性力學

現(xiàn)在的問題就是：考慮如何根據(jù)簡單受力狀態(tài)的試驗結(jié)果（上述極限值），去建立材料在復雜應力狀態(tài)下（即與所有的應力分量都相關(guān)的）判別材料變形狀態(tài)的關(guān)系——屈服條件。

在一般情況下，屈服條件與所考慮的應力狀態(tài)有關(guān)，或者說屈服條件是該點六個獨立的應力分量的函數(shù)，即為：（4—40）上式中的稱為屈服函數(shù)。

§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)3）彈塑性力學§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)4）2、主應力空間：（4—41）

對于各向同性材料來說，坐標軸的轉(zhuǎn)動不應當影響材料的屈服。因而可以取三個應力主軸為坐標軸。此時，屈服函數(shù)式（4—40）可改寫為：若球應力狀態(tài)只引起彈性體積變化，而不影響材料的屈服。則可認為屈服函數(shù)為：（4—42）因此，屈服函數(shù)就轉(zhuǎn)化為用應力偏量表示的函數(shù)，而且可以在主應力所構(gòu)成的空間，即主應力空間來討論。彈塑性力學

主應力空間是一個三維空間，物體中任意一點的應力狀態(tài)都可以用主應力空間中相應點的坐標矢量來表示，如圖所示。因此，我們在這一主應力空間內(nèi)可以形象地給出屈服函數(shù)的幾何圖象，而直觀的幾何圖形將有助于我們對屈服面的認識?！?-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)5）彈塑性力學§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)6）⑴．球應力狀態(tài)：或稱靜水應力狀態(tài)，即應力偏量為零：

在主應力空間中，其軌跡是經(jīng)過坐標原點并與三坐標軸夾角相同的等傾斜直線

on。

彈塑性力學

⑵．平均應力為零：即，應力偏量不等于零。在主應力空間中，它的軌跡是一個通過坐標原點并與on直線相垂直的平面，稱它為π平面。

§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)7）彈塑性力學⑶．應力偏量為常量：即為常數(shù))。它在主應力空間中的軌跡是與on線平行但不經(jīng)過坐標原點的直線L

。⑷．平均應力為常量：即：（C為常量）。其在主應力空間的軌跡為一個與on直線正交但不通過坐標原點，也即和π平面相平行的平面?！?-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)8）彈塑性力學§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)9）在主應力空間中，坐標原點附近的彈性區(qū)是被塑性區(qū)包圍著的。作為彈性區(qū)與塑性區(qū)交界的曲面，稱之為屈服面。它是屈服條件式（4—41）在主應力空間中的軌跡。屈服面的概念是拉伸（或壓縮）應力應變曲線的屈服極限概念的推廣。彈塑性力學

若我們認為球應力（靜水壓力）狀態(tài)不影響材料的屈服，則上述屈服面必定是一個與坐標軸呈等傾斜的柱體表面，其母線垂直于平面。曲線C就稱為屈服曲線或屈服軌跡?！?-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)10）彈塑性力學3、屈服曲線及其在π平面內(nèi)的重要性質(zhì):

(2)．屈服曲線與任一從坐標原點出發(fā)的向徑必相交一次，且僅有一次。(3)．屈服曲線對三個坐標軸的正負方向均為對稱。(1)．屈服曲線是一條封閉曲線，而且坐標原點被包圍在內(nèi)。(4)．屈服曲線對坐標原點為外凸曲線，也即屈服曲面為外凸曲面。§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)11）彈塑性力學4.討論屈服曲線的可能位置：

一切滿足各向同性、不計包辛格效應、與球應力狀態(tài)無關(guān)、并且外凸等條件的可能的屈服軌跡一定位于正六邊形

ABCDEFA與之間。并且只有外凸的曲線才是可能的屈服軌跡?！?-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)12）彈塑性力學5、常用屈服條件:

歷史上（從十九世紀中葉開始）曾經(jīng)先后提出許多不同形式的屈服條件，如最大正應力條件（G.Galileo）、最大彈性應變條件（B.Saint—Venant）、彈性總能量條件（E.Beltrami）、最大剪應力條件（H.Tresca）、歪形能條件（R.Von

Mises）、Mohr條件（O.Mohr）、……等等。經(jīng)過許多實驗檢驗，證明符合工程材料特征，又便于在工程中應用的常用屈服條件有以下兩種：§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)13）彈塑性力學（1）．Tresca屈服條件（最大剪應力條件）:1864年，法國工程師屈雷斯卡（H.Tresca）在作了一系列金屬擠壓實驗的基礎上，發(fā)現(xiàn)在變形的金屬表面有很細的痕紋，而這些痕紋的方向很接近于最大剪應力的方向，因此他認為金屬的塑性變形是由于剪切應力引起金屬中晶格滑移而形成的。(指絕對值)達到某一極限值時，材料便進入塑性狀態(tài)。當

Tresca指出：在物體中，當最大剪應力(指絕對值)達到某一極限值時，材料便進入塑性狀態(tài)。即：§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)14）（4—43）彈塑性力學§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)15）（4—43）通過簡單受力狀態(tài)的試驗來測定。如采用單向拉伸試驗和純剪切試驗可測得：（4—48）（4—49）最大剪應力的假設和實驗結(jié)果比較一致，因而一般是被接受的。但在使用Tresca條件時，主應力的大小和次序應該知道，因為這樣才能求出最大剪切應力，使用Tresca條件是很方便的。彈塑性力學§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)16）

Tresca屈服條件在主應力空間中的幾何軌跡，相當于圖4-18(a)中所示正六角柱體。該柱體與平面的截跡如圖4-18(b)所示。該柱體與平面的截跡，則為一等邊等角的六邊形，如圖4-18(c)所示。彈塑性力學

Tresca最大剪應力屈服條件忽略了中間主應力對材料屈服的貢獻，這是它的不足之處。德國力學家米塞斯（R.VonMises）注意到了這個問題。

§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)17）米塞斯（R.VonMises）（1913年）指出：在等傾面上，Tresca條件六邊形的六個頂點是由實驗得到的，但是連接六個頂點的直線段卻包含了假定（認為中間主應力不影響屈服），這種假定是否合適，需經(jīng)實驗證明。彈塑性力學

Mises認為：用一個圓來連接這六個頂點似乎更合理，并且可避免因曲線不光滑而造成的數(shù)學上的困難。因此，Mises屈服條件在主應力空間中的軌跡是外接于Tresca六角柱體的圓柱體，如圖所示?！?-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)18）彈塑性力學§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)19）

Mises屈服條件在主應力空間中的軌跡是外接于Tresca六角柱體的圓柱體，如圖4-19(a)所示，該圓柱體垂直于正八面體斜面或平面。

彈塑性力學§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)20）于是Mises提出了另一個屈服條件——畸變能條件，即認為當物體內(nèi)某一點的應力狀態(tài)對應的畸變能達到某一極限數(shù)值k時，該點處材料便屈服?？赏频没兡苊芏裙綖椋汗蔒ises條件可寫為：（4—52）（4—51）式中k為表征材料屈服特征的參數(shù)。彈塑性力學§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)21）通過簡單受力狀態(tài)的試驗來測定k

。若采用單向拉伸試驗和純剪切試驗可測得：和則：（4—53）（4—54）彈塑性力學★

Hencky認為：當韌性材料的形狀改變能密度達到一定數(shù)值k′時，材料便開始屈服。（4—55）

§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)22）故Mises條件也可寫為：彈塑性力學★

1937年納達依（A.Nadai）認為當八面體剪應力達到一定數(shù)值時，材料便開始屈服。即：（4—56）

★

1952年諾沃日洛（В.Б.Новожипов）又對Mises條件的物理意義用剪應力的均方值給了又一個解釋。以上各種屈服條件的解釋雖然表達形式不同，但實際上它們之間是存在有內(nèi)在聯(lián)系的?！?-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)23）彈塑性力學6．Tresca屈服條件與Mises屈服條件的比較：通過實驗驗證：一般認為Mises條件比Tresca條件更符合實驗結(jié)果。而在實際使用中各有優(yōu)缺點：Tresca條件是主應力分量的線性函數(shù)，因而對于已知主應力方向及主應力間的相對值的一類問題，是比較簡便的。而Mises條件則顯然復雜得多。但是從理論上講，最大剪應力條件忽略了中間主應力對屈服的影響，似有不足。而畸變能條件則克服了這一缺點。§4-4

屈服函數(shù)、主應力空間、常用屈服條件（續(xù)24）彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則地質(zhì)或采掘工程中的巖土、煤炭、土壤，結(jié)構(gòu)工程中的混凝土、石料以及工業(yè)陶瓷等材料統(tǒng)稱為巖土材料?；蚩估瓘姸葮O限實驗表明，當應力較低時，試件材料的內(nèi)部裂隙被壓實，在這個階段（OA段），應力的數(shù)值增加不大，而壓縮應變較大；在內(nèi)部裂隙被壓實之后，應力與應變呈現(xiàn)近似線性地增長，在這個階段（AB段）中，伴有體積變化，而B點的應力值稱為屈服強度。隨著應力的增加，材料的微裂紋也在不斷地發(fā)生與擴展，因此應力和應變之間表現(xiàn)出明顯的非線性增長，也表現(xiàn)一定的應變硬化特性（BC段），C點的應力值稱為強度極限（抗壓強度極限）。1、巖土材料的變形特征：彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)1）在C點附近，試件總的體積變化從收縮轉(zhuǎn)入擴脹，即材料出現(xiàn)宏觀裂紋，裂紋的擴展使得材料的變形不斷增加，而應力不斷下降，將這一階段（CD段）稱為應變軟化階段；DE階段則顯示出了材料的剩余強度。

綜上所述，可將巖土材料的應力應變曲線大體分為三段。第l階段（OABC）為應力應變非線性上升；第Ⅱ階段（CD）為應變軟化階段；第Ⅲ階段（DE）為剩余強度階段，在有些材料中并不出現(xiàn)該階段。通常在拉伸情況下，材料的應力應變曲線的變化規(guī)律與壓縮時相似，但表征各階段的應力和應變的數(shù)值與壓縮時有很大的差別。巖土材料的受壓強度比受拉時要高得多。彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)2）在巖石力學和土力學中，模擬三向受力狀態(tài)的試驗被稱為“三軸試驗”。三軸試驗中最常見的是模擬三向受力狀態(tài)的一種特殊情況，即在三個相互垂直方向上保持兩方向上的壓力值相等，而改變另一方向上的壓力的大小。這種試驗可以在三軸實驗機上完成，圖4-23為這種三軸實驗機的主體構(gòu)造原理示意圖。一般圍壓愈低，材料屈服強度也愈低，應變軟化階段也愈明顯，隨著圍壓的增大，屈服強度增大，塑性性質(zhì)也明顯增加。彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)3）一般圍壓愈低，材料屈服強度也愈低，應變軟化階段也愈明顯，隨著圍壓的增大，屈服強度增大，塑性性質(zhì)也明顯增加。彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)4）另一種三軸試驗就是模擬三個相互垂直方向的壓力各自獨立變化。為了和上述三軸試驗相區(qū)別，通常稱之為“真三軸試驗”。真三軸試驗通常是在立方體巖石試件的三組相互正交對應的表面上，獨立地加載來進行的。試驗時要特別注意減小受載巖石試件表面上的摩擦，以使試件獲得三向受力狀態(tài)的良好近似值?？上攵?，進行真三軸試驗要比三軸試驗復雜和困難得多，目前這方面還有許多問題有待解決。彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)5）★通過以上討論和對大量巖土材料的試驗資料的分析，人們認識到，由于巖土材料組成上的不均勻性、缺陷以及有裂隙的分布，使得材料在受載過程中細微裂隙進一步擴展與運動，并導致材料的宏觀強度和剛度的降低。因此，材料的非彈性變形主要是由微裂隙和缺陷的產(chǎn)生與擴展所引起的?！飵r土材料的：

壓硬性：抗剪強度隨壓應力的增高而提高；

剪脹性：在剪應力作用下產(chǎn)生塑性體積應變；

等壓屈服：在各向相等的壓力作用下產(chǎn)生塑性屈服；使得巖土塑性理論與金屬塑性理論有著重要的差異。彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)6）★巖土塑性理論與金屬塑性理論有著重要的差異：在靜水壓力不太大或環(huán)境溫度不太高的工程環(huán)境下，巖土類介質(zhì)表現(xiàn)出應變軟化的特性。巖土材料的壓硬性決定了巖土的剪切屈服與破壞必須考慮平均應力與材料的內(nèi)摩擦性能。材料的彈性系數(shù)與塑性變形無關(guān)是金屬材料的特點，而巖土材料則需考慮彈塑性的耦合。(4)在巖土材料中需考慮奇異屈服面。(5)金屬材料中的正交流動法則在巖土材料中亦不再適用。彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)7）由于影響巖土塑性變形的因素較多，且有些因素是不能忽略的，因此巖土塑性理論中的假設相對較少，主要假設有：

(1)連續(xù)性假設雖然巖土介質(zhì)在肉眼可見的尺度內(nèi)呈現(xiàn)不均勻性和不連續(xù)性，但是在進行工程問題的力學分析時，可作為連續(xù)介質(zhì)巖土力學問題，即在更大的尺度范圍內(nèi)來描述各種力學量時，取其統(tǒng)計平均值。

(2)不計時間與溫度的影響在多數(shù)情況下，可以忽略蠕變與松弛效應，并可略去應變率對變形規(guī)律的影響。在一般工程問題中，溫度的變化是不大的，可以不計溫度的影響。彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)8）2、巖土材料的變形模型：脆塑性模型：

如圖4-25(b)所示，在該模型中，應力達到最大值時產(chǎn)生“跌落”，下降后的應力值稱為剩余強度，數(shù)學表達式為：(4-58)彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)9）線性軟化模型：

如圖4-25(c)所示，將應變軟化過程近似為線性的，即：

(4-59)彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)10）

3、巖土材料的強度準則：對于一般巖土材料來說，隨著靜水壓力的增加，屈服應力和破壞應力都有很大增長。即使在初始各向同性的假定下，也應該對式(4-42)進行修正，而采用的屈服條件形式為：

(4-60)⑴庫倫(C．A．Coulomb)剪切強度準則：巖土力學中的強度準則通?？杀硎鋈缦拢涸诮橘|(zhì)一點單元體的任何微截面上，其剪應力的大小都不能超過某一臨界值。當達到該臨界值時，材料就要產(chǎn)生剪切滑移。在最簡單的情況下，上述的臨界值和破裂面上的正應力之間呈線性關(guān)系，即有：

(4-61)彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)11）

(4-61)上式中：C通常為一常量，是固體材料在微截面上的抗剪強度，在巖石力學中常稱為粘聚力；為內(nèi)摩擦角（在巖土力學中一般取壓應力為正，此時前的負號應改為正號）。彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)12）(4-62)⑵莫爾強度準則：在更一般的情況下，式(4-61)中的將隨的增加而減小，也即：莫爾強度準則可用曲線（如雙曲線、拋物線、擺線等）來表示的增加而變化的情況如圖4-26（b）所示。當我們僅考慮值為常數(shù)的情形時，就是庫倫剪斷裂準則式（4-61），表示的是一對射線，如圖4-6（a）所示。彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)13）

當我們僅考慮值為常數(shù)的情形時，就是庫倫剪斷裂準則式（4-61），表示的是一對射線，如圖4-26（a）所示。莫爾強度準則的包絡線可以通過材料的一系列不同應力狀態(tài)下的試驗，材料產(chǎn)生破壞時的極限應力圓來確定，如圖4-26（b）所示。介質(zhì)應力狀態(tài)的最大應力圓就是極限應力圓。當材料產(chǎn)生剪切滑移時，極限應力圓應與射線或包絡線相切。彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)14）而在庫倫剪切強度準則中，則可用單向抗拉強度與單向抗壓強度來表示粘聚力C和內(nèi)摩擦角它們之間的關(guān)系為：

(4-63)用主應力表示庫倫剪切強度準則，得：(4-64)在庫倫準則中考慮到了材料的抗拉壓強度極限的明顯差異以及靜水壓力對強度準則的影響。彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)15）另一種計及靜水壓力的強度準則是卓柯—普拉格（Drucker—Prager,1952）準則，它是Mises條件的推廣，如上圖4—28所示。在庫倫準則中考慮到了材料的抗拉壓強度極限的明顯差異以及靜水壓力對強度準則的影響。它是Tresca

條件的推廣，如下圖4—27所示。⑶卓柯—普拉格強度準則：彈塑性力學§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續(xù)16）關(guān)于材料的屈服條件或強度準則，除已經(jīng)介紹的Tresca條件、Mises條件、Coulomb準則、Mohr準則和Drucker-Prager準則外，還有選用材料的單拉屈服極限和剪切屈服極限K來表示的雙剪應力屈服條件，還有選用單拉強度極限，單壓強度極限，以及雙壓強度極限來描述的強度準則，以及根據(jù)混凝土破壞包絡面的幾何特性，建議采用以八面體應力表達的強度準則等。彈塑性力學§4-6加載準則、加載曲面、加載方式1、加載準則：在簡單拉伸時，材料經(jīng)過塑性變形后卸載再加載屈服極限提高了，我們就稱這一材料的新屈服點為后繼屈服點，而材料剛開始產(chǎn)生塑性變形時所對應的應力點稱為初始屈服點（即屈服極限）。一