北京市延慶區(qū)2024屆高考一模數(shù)學(xué)試題

北京市延慶區(qū)2024屆高考一模數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三總分評(píng)分一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題中選出符合題目要求的一項(xiàng).1．已知集合A={?x|x<3}，B={?1，?2?，3}A．(?∞，?3) C．{?1，?2?} D．{?1，?2?，3}2．若復(fù)數(shù)z滿足z?i=21?i，則A．?1?i B．?1+i C．1?i D．1+i3．在(2x?1xA．40 B．??40 C．80 D．??804．已知拋物線?C：?y2=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上．若M到直線x=?4A．4 B．5 C．6 D．75．已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P滿足AP=12A．4 B．5 C．6 D．86．“sin2θ>0”是“θA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知函數(shù)f(x)A．(0，1) C．(?∞，0) 8．設(shè)a=log32，b=log96，c=12A．a(chǎn)>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．b>a>c9．在等邊△ABC中，AB=2，P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PA=1，Q為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PQ長度的最大值是（）A．3?1 B．3+1 C．3+210．已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，A．18 B．14 C．π16二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．已知雙曲線C：y2a2?x12．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知∠B=60°，sinA=3sinC，b=7，則c=13．已知函數(shù)f(x)=xα(14．北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板(不含天心石)3402塊，則上層有扇形石板塊．15．已知函數(shù)f(x)=x①存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)②存在實(shí)數(shù)a<0，使得函數(shù)f(x)③存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)④存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．已知函數(shù)f(x)=2sin（1）求a的值；（2）將f(x)的圖象向右平移π3個(gè)單位得到17．第十四屆全國冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)雪橇項(xiàng)目比賽于2023年12月16日至17日在北京延慶舉行，賽程時(shí)間安排如下表：12月16日星期六9：30單人雪橇第1輪10：30單人雪橇第2輪15：30雙人雪橇第1輪16：30雙人雪橇第2輪12月17日星期日9：30單人雪橇第3輪10：30單人雪橇第4輪15：30團(tuán)體接力（1）若小明在每天各隨機(jī)觀看一場比賽，求他恰好看到單人雪橇和雙人雪橇的概率；（2）若小明在這兩天的所有比賽中隨機(jī)觀看三場，記X為看到雙人雪橇的次數(shù)，求X的分布列及期望E(（3）若小明在每天各隨機(jī)觀看一場比賽，用“ξ1=1”表示小明在周六看到單人雪橇，“ξ1=0”表示小明在周六沒看到單人雪橇，“ξ2=1”表示小明在周日看到單人雪橇，“18．如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面ADD（1）求證：D1B//（2）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，使二面角D?C1E?條件①：C1條件②：D1條件③：AD⊥C注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19．已知橢圓E：x2a2+y2b2=1?(a>b>0（1）求E的方程；（2）設(shè)P為第二象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線PD與直線BC交于點(diǎn)M，直線BP與直線CD交于點(diǎn)N，求證：MN⊥BD．20．已知函數(shù)f(x)=?ln（1）若曲線y=f(x)的一條切線方程為y=x?1，求a的值；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)上為增函數(shù)，求（3）若?x∈(1e2，+∞)21．已知數(shù)列{an}（1）若數(shù)列{an}為1（2）若an=2n，是否存在i?，?j∈N（3）若an=n，把集合T中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為b1，b

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)锳={x|x<3},B={1,2,故答案為：B【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算即可求解.2．【答案】C【解析】【解答】因?yàn)閦?i=21?i，

所以故答案為：C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.3．【答案】D【解析】【解答】設(shè)(2x?1x)5的通項(xiàng)是Tk+1，

則Tk+1=C5k(2x)5?k(?1故答案為：D【分析】求出二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，并化簡合并，令5?2k=3即可求解.4．【答案】B【解析】【解答】由拋物線?C:?y2=8x因?yàn)镸到直線x=?4的距離為7，所以M到拋物線準(zhǔn)線x=?2的距離為5，根據(jù)拋物線定義知，|MF|等于M到拋物線準(zhǔn)線x=?2的距離，

所以故答案為：B【分析】根據(jù)拋物線的定義可知|MF|等于5．【答案】C【解析】【解答】如圖，以A為原點(diǎn)，AB、AD所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示：因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長為2，

則A(0,0)，D(0,2)，點(diǎn)P滿足AP=12故答案為：C.【分析】以A為原點(diǎn)，AB、AD所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，并表達(dá)出AP,→6．【答案】C【解析】【解答】因?yàn)閟in2θ=2sinθcosθ，sin2θ>0

所以2sinθcosθ>0，所以“sin2θ>0”是“θ故答案為：C.【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合二倍角公式，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)即可得解.7．【答案】A【解析】【解答】函數(shù)f(x)=3x?2x?1的導(dǎo)函數(shù)為：f'(x)=3xln3?2，所以存在唯一x0∈(所以當(dāng)x<x0時(shí)，f'(x所以函數(shù)f(x)在(?∞又f(0)所以由f(x)故答案為：A【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的簡單性質(zhì)判斷f'(x)單調(diào)性，再由零點(diǎn)的存在性定理可判斷得存在唯一x0∈(8．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)閍=log32是以3為底的對(duì)數(shù)式，

則化簡b可得，b=log96=lo又3<2<6，函數(shù)y=log3x在(0,+∞)單調(diào)遞增，

則f3故答案為：D【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算可化簡b，再將c化為對(duì)數(shù)式，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.9．【答案】D【解析】【解答】根據(jù)題意，在等邊△ABC中，AB=2，P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PA=1，Q為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，畫出圖形如圖：如圖可知，點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓上，

Q為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)|PQ|=|AQ|+|AP|=|AQ|+1時(shí)，

線段PQ取最大值，而當(dāng)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，|AQ|最大，且最大值為2，此時(shí)線段PQ長度的最大值為2+1=3，故答案為：D.【分析】數(shù)形結(jié)合，由圖可知點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓上，結(jié)合圖形分析即可.10．【答案】A【解析】【解答】在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，

圖1

連接PC，則PC1如圖，在平面ABCD上，分別以AB,AD為

圖2則A(0,由PA≥PC1，得即x2+y設(shè)直線l:2x+2y?3=0與DC,則點(diǎn)P在△CMN內(nèi)部(含邊界)，即滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為△CMN及其內(nèi)部，易知M(12,1)∴滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為△CMN的面積為S△CMN故答案為：A．【分析】數(shù)形結(jié)合，在平面ABCD上，分別以AB,AD為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(11．【答案】y=±【解析】【解答】知雙曲線C：y2a2?x2b2=1的漸近線方程為y=±abx，所以雙曲線的漸近線方程為y=±a故答案為：y=±【分析】根據(jù)雙曲線的離心率、漸近線方程以及c212．【答案】1；3【解析】【解答】因?yàn)椤螧=60°，b=7，

在△ABC中，由余弦定理可得：b2=a2所以7=9c2+所以a=3c=3，

所以S△ABC故答案為：1；33【分析】利用正弦定理、余弦定理可求得c，再根據(jù)三角形面積公式求解即可.13．【答案】23【解析】【解答】令α=23，則f(x)且f(?x)=(?x)23=3(?x)2=f(x)，

故f故答案為：23【分析】用特殊值法，令α=214．【答案】405【解析】【解答】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為{an}，則{an設(shè)每層有k環(huán)，則n=3k，Sn所以Sn=na即n2+n?756=0，解得n=27或所以k=9，則S9即上層有扇形石板405塊.故答案為：405．【分析】理解題意，記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為{an}，則{an}是等差數(shù)列，且公差為d=9，a1=9，設(shè)每層有15．【答案】①③【解析】【解答】根據(jù)題意可得，令a=0，則f(x)=x2，x<1，0當(dāng)a<0時(shí)，f(x)當(dāng)1<x<e時(shí)，f'(x)<0所以f(x)在[1所以x=e時(shí)，f(x)有最小值f(e此時(shí)，x<1時(shí)，f(x)=x2?2ex與最小值為?1矛盾，若x<1時(shí)，f(x)=x即a>?1時(shí)，f(x)min=f(?a當(dāng)x=?a≥1時(shí)，f(x)綜上，當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值不為?1由②知，a<?1時(shí)，x<1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減且f(0)=0，

當(dāng)x≥1時(shí)，f當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=a當(dāng)a<0時(shí)，f(x)=a綜上a≠0時(shí)，f(x)=a故不存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)恰有4故答案為：①③【分析】用特殊值法，令a=0判斷①，分類討論函數(shù)兩部分的最值判斷②，根據(jù)零點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)可判斷③④.16．【答案】（1）解：因?yàn)閒(x)=sin其中sinφ=a1+所以1+a又因?yàn)閍>0，解得a=3（2）解：由（1）可得f(x)=sin將f(x)的圖象向右平移π由2kπ?π2≤2x?即函數(shù)g(x)【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式以及二倍角公式化簡三角函數(shù)，從而求解即可；（2）先表示出平移后的三角函數(shù)g(x)，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.17．【答案】（1）解：記“小明在每天各隨機(jī)觀看一場比賽，恰好看到單人雪橇和雙人雪橇”為事件A.由表可知，每天隨機(jī)觀看一場比賽，共有4×3=12種不同方法，其中恰好看到單人雪橇和雙人雪橇，共有2×2=4種不同方法．所以P(（2）解：隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，根據(jù)題意，P(P(X=1)=CP(X=2)=C隨機(jī)變量X的分布列是：X012P241數(shù)學(xué)期望E(X)=0×2（3）解：由題意，P(ξ1=0)=所以E(ξ1)=0×因?yàn)镻(ξ2=0)=所以E(ξ2)=0×所以D(ξ【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型以及分類乘法計(jì)數(shù)原理求解即可；（2）先求出隨機(jī)變量X的所有可能取值，并分別求出各個(gè)取值時(shí)的概率，列出分布列，求出期望即可；（3）根據(jù)方差公式分別計(jì)算D(ξ18．【答案】（1）證明：方法一：在四棱柱ABCD?A1B1C連結(jié)OE，在△D1BC中，因?yàn)镺、E分別為所以O(shè)E//D1B，又因?yàn)镺E?平面C1所以D1B//方法二：在四棱柱ABCD?A1B1C連結(jié)D1F，BF，因?yàn)镕C1//所以FB//C1E，又FB?平面C1DE，C1因?yàn)镋F//CC1//D所以D1F//DE，又D1F?平面C1DE，因?yàn)镈1F∩FB=F，F(xiàn)B，D1F?因?yàn)镈1B?平面D1FB，所以（2）解：選擇條件①：因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以CD⊥AD，側(cè)面ADD1A1⊥平面ABCD，且側(cè)面ADD1故CD⊥平面ADD1A1，又DD即四邊形DCC1D1為矩形，因?yàn)榕c選擇條件①：C1D=13等價(jià)，故條件C1D=選擇條件②：連結(jié)D1A，因?yàn)榈酌鍭BCD正方形，所以BA⊥AD又因?yàn)閭?cè)面ADD1A1⊥平面ABCD，且側(cè)面ADD1所以BA⊥平面ADD1A1，又D1在Rt△D1AB中，因?yàn)镈1B=在△D1AD中，因?yàn)锳D=2，D又AB∩AD=A，AB，AD?平面ABCD，所以DD所以建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz如圖所示：

其中D(0，0，0)，且DC1=(0，2設(shè)n=(x，y，z)為平面C不妨設(shè)y=?3，則x=6，z=2，可得n=因?yàn)槎娼荄?C1E?B1所以二面角D?C1E?選擇條件③：因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AD⊥DC，因?yàn)锳D⊥C1D，且DC∩所以AD⊥平面C1D1DC，因?yàn)镈1因?yàn)閭?cè)面ADD1A1⊥平面ABCD，且側(cè)面ADD1所以D1D⊥平面ABCD，又所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，（下面同選擇條件②）.【解析】【分析】（1）方法一：利用線面平行的判定定理證明即可；方法二：利用面面平行的判定定理證明即可得出結(jié)論；（2）選①：條件C1D=13不能確定棱柱特點(diǎn)；選②③：證明D19．【答案】（1）解：由題設(shè)，2b=2ca=所以E的方程為x2（2）解：已知如圖所示：因?yàn)闄E圓E的方程為x24+設(shè)直線PD的方程為y=k(x?2)由y=k(x?2)由?12<k<0可得Δ>0所以xP=8直線BC的方程為x?2+y由y=?12x?1直線PB的方程為y?0?4k1+4k直線CD的方程為x2+y由y=12x?1，因?yàn)閤M=x【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得解；（2）首先設(shè)直線PD的方程為y=k(x?2)20．【答案】（1）解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，設(shè)切點(diǎn)為因?yàn)閒'(x)=?因?yàn)閥0=?ln所以?lnx0+(所以11+a=1，解得（2）解：因?yàn)閒'(x)=?所以f'(x因?yàn)閤∈(1，所以a+1≥0，即a∈[?1，（3）解：因?yàn)閒'(x當(dāng)2+a≤0，即a≤?