經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課件：導(dǎo)數(shù)與微分

1《高等數(shù)學(xué)》

導(dǎo)數(shù)與微分3本章主要內(nèi)容§2.1導(dǎo)數(shù)的概念§2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則§2.3隱函數(shù)及參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)§2.4高階導(dǎo)數(shù)§2.5函數(shù)的微分及其應(yīng)用4學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解導(dǎo)數(shù)的概念,了解導(dǎo)數(shù)在幾何上、經(jīng)濟(jì)上的實(shí)際意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程和法線方程。熟練掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；了解高階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)概念并能計(jì)算。理解函數(shù)微分的定義，會(huì)用微分的運(yùn)算法則和一階微分形式不變性求函數(shù)的微分，了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。5§2．1導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家Ferma在研究極值問(wèn)題中提出.微積分學(xué)的創(chuàng)始人:英國(guó)數(shù)學(xué)家Newton德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz一、引例

例1求曲線切線的斜率．割線的斜率是切線的斜率思考?1)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎?2)既然不能描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),那我們應(yīng)該用什么來(lái)描述呢?瞬時(shí)速度3)如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度?8一、引例例2、求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度物體在時(shí)段內(nèi)的平均速度物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度9二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1設(shè)當(dāng)

時(shí)，

在點(diǎn)

的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)

在點(diǎn)

處有增量

仍在該鄰域內(nèi))時(shí)，在點(diǎn)

存在，

處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限值為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作則稱10即在點(diǎn)

，．如果上述極限不存在，則稱

處不可導(dǎo)．有了導(dǎo)數(shù)的概念，前面討論的兩個(gè)實(shí)例可以表示為：

(1)變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

(2)曲線在某點(diǎn)處的切線斜率

11單側(cè)導(dǎo)數(shù)（1）左導(dǎo)數(shù)（2）右導(dǎo)數(shù)結(jié)論：例3求在點(diǎn)和

處的導(dǎo)數(shù)．

解給自變量在

處以增量

，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量是

兩個(gè)增量之比對(duì)上式兩端取極限，得類(lèi)似地，可求得

定義2如果在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)．這時(shí)，對(duì)于區(qū)間

則稱函數(shù)內(nèi)每一點(diǎn),都有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值

與它對(duì)應(yīng)．因此

是的函數(shù)，稱為

的導(dǎo)函數(shù)，記作

即

上述結(jié)果中，由于可以是(-∞，+∞)內(nèi)的任意值因此

在(-∞，+∞)內(nèi)的任意點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)三、基本導(dǎo)數(shù)公式例4求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．解：即這就是說(shuō)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零．用定義求導(dǎo)數(shù)，可分為以下三個(gè)步驟：(1)求增量(2)算比值(3)取極限15解16例8求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．例6求函數(shù)(>0，≠0)的導(dǎo)數(shù)．．例7求函數(shù)(>0，≠0)的導(dǎo)數(shù)17基本導(dǎo)數(shù)公式(1)(C)

0

(2)(xm)

m

xm

1

(3)(sinx)

cosx

(4)(cosx)

sinx

(5)(tanx)

sec2x

(6)(cotx)

csc2x

(7)(secx)

secx

tanx

(8)(cscx)

cscx

cotx

(9)(a

x)

a

xlna

(10)(e

x)

ex

18四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線方程為

法線方程為（≠o）

19注意：該定理的逆命題不成立例如：函數(shù)處連續(xù)但不可導(dǎo)．因?yàn)楫?dāng)處有增量時(shí)

所以處連續(xù)

定理如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．然而不存在，所以函數(shù)處不可導(dǎo)

)

五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

20§2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則(1)(2)(3)一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

如果函數(shù)u

u(x)及v

v(x)在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)

那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)

并且注:

常數(shù)因子可提到求導(dǎo)符號(hào)外面21

例1設(shè)，求及．解因?yàn)樗岳?求的導(dǎo)數(shù)。解根據(jù)積的求導(dǎo)法則，得22例3求的導(dǎo)數(shù)。解例4求曲線

在點(diǎn)(1,2)的切線方程。解因?yàn)?/p>

所以

于是，曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為，即23例5求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解因?yàn)?，所以?/p>

類(lèi)似地24例6求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解

即類(lèi)似地

25二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理或即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例7解同理可得27三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

可以推廣到多個(gè)變量的情形.例如：如果則可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為定理如果函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo),而函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)．28例8求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解解29例10解30例11解分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí),各分區(qū)間內(nèi)可按公式求導(dǎo)，分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)定義求.31課堂小結(jié)

1.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

2.反函數(shù)的求導(dǎo)法則3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則注意:分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí),分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.難點(diǎn)§2.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)

一、隱函數(shù)求導(dǎo)

1、顯函數(shù)：y=f(x)2、隱函數(shù)：由方程F(x,y)

=0所確定的函數(shù)．

有時(shí)可以將隱函數(shù)化為顯函數(shù)的形式.通常將隱函數(shù)化為顯函數(shù)是比較困難的，甚至無(wú)法將隱函數(shù)化為顯函數(shù)．方程

化為顯函數(shù).例如：

方程就無(wú)法將表示成的顯函數(shù)．例如:33例1求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．從上式中解出，得

，

在方程中,將看作的函數(shù),則是的復(fù)合函數(shù).因此,利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，方程兩端對(duì)x求導(dǎo)得：解34例2求方程確定的隱函數(shù)y=f(x)

的導(dǎo)數(shù)解等式兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得解得例3求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得解得

35

例4求冪指函數(shù)(>0)的導(dǎo)數(shù)．2、冪指函數(shù)求導(dǎo)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得

整理，得1、

取對(duì)數(shù)2、利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求導(dǎo)二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法使用對(duì)象：1、對(duì)由多個(gè)因子通過(guò)乘、除、乘方或開(kāi)方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)的求導(dǎo)；解：兩邊取對(duì)數(shù)36

例5求(>0)的導(dǎo)數(shù)

解

37例6求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解兩邊取對(duì)數(shù)，得

兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得即三、參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)1.消去參數(shù)t,化為y=f(x)形式求導(dǎo)2.看成復(fù)合函數(shù)：，則由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則39例7設(shè)解40例8求曲線在t=e處的切線、法線方程.解所以切線斜率法線斜率當(dāng)t=e時(shí)，x=e，y=1.41故切線方程為法線方程為42§2.4高階導(dǎo)數(shù)在變速直線運(yùn)動(dòng)中,位移函數(shù)s=s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為速度函數(shù)v=v(t)，即，同樣可以得到速度函數(shù)v=v(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為加速度a=a(t)，即.從而可以得到這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為二階導(dǎo)數(shù)。一、高階導(dǎo)數(shù)定義43

1、二階導(dǎo)數(shù)：若y=f(x)的導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo)，則稱的導(dǎo)數(shù)為y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記為即44三階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)四階導(dǎo)數(shù)：三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)n階導(dǎo)數(shù)：(n－1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)：二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)。若y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)存在，則y=f(x)n階可導(dǎo)，此時(shí)意味著都存在.45二、高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，只需多次連續(xù)地求導(dǎo)數(shù)即可

例1驗(yàn)證函數(shù)(為常數(shù))滿足關(guān)系式證因?yàn)樗?6例2求由方程所確定的隱函數(shù)的

二階導(dǎo)數(shù)．

解方程兩端對(duì)求導(dǎo)，并注意到是的函數(shù)，得解得

②①式兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得

①

③

從③解出二階導(dǎo)數(shù)，得再將②代入③，得47例3求的n階導(dǎo)數(shù)．解一般地，可得48解一般地，可得類(lèi)似可求的n階導(dǎo)數(shù)為

例4求的n階導(dǎo)數(shù)．49例5求的n階導(dǎo)數(shù)．解

一般地，可得：50例6求(為任意常數(shù))的n階導(dǎo)數(shù)．解

一般地，可得特殊地，當(dāng)(n為正整數(shù))時(shí)，得到51例7設(shè)解兩邊再對(duì)x求導(dǎo)時(shí)，由于右端是t的函數(shù)，因此在求導(dǎo)時(shí)就對(duì)t求導(dǎo)再乘以.由反函數(shù)求導(dǎo)法知與是倒數(shù)關(guān)系，所以有5253§2.5函數(shù)的微分及其應(yīng)用一、微分的定義引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長(zhǎng)由變到問(wèn)此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長(zhǎng)為x,面積為A,則當(dāng)x在取得增量時(shí),面積的增量為關(guān)于△x

的

線性主部高階無(wú)窮小時(shí)為故稱為函數(shù)在的微分54定義1:若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為則稱函數(shù)在點(diǎn)可微,而稱為在點(diǎn)的微分,記作即(A

為不依賴于△x的常數(shù))上式可以看成兩部分組成，定理1:函數(shù)在點(diǎn)可微即

證明:

在點(diǎn)可微,則在點(diǎn)的可導(dǎo),且在點(diǎn)的可導(dǎo),則即二、微分的幾何意義切線縱坐標(biāo)的增量當(dāng)很小時(shí),則有從而稱為自變量的微分,當(dāng)時(shí),導(dǎo)數(shù)也叫作微商MPNT記作57三、基本初等函數(shù)的微分公式58四、微分法則1、設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))例1設(shè)

求解592．復(fù)合函數(shù)的微分法則或

,微分形式不變分別可微,的微分為則復(fù)合函數(shù)例2、求解:60例3、設(shè)求解61例4求函數(shù)的微分。