經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課件-尋找效益最大化的方法路徑

尋找效益最大化的方法路徑名言畢達(dá)哥拉斯在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么.故事1973年比爾·蓋茨進(jìn)入哈佛大學(xué)法律系學(xué)習(xí)，他不喜歡法律，但對計算機(jī)十分感興趣。因此他面臨兩種選擇：是繼續(xù)學(xué)習(xí)，還是輟學(xué)創(chuàng)辦軟件公司？19歲時比爾·蓋茨選擇了輟學(xué)并創(chuàng)辦了自己的軟件公司。他終于成功了，以凈資產(chǎn)850億美元榮登世界億萬富翁的榜首。當(dāng)比爾·蓋茨應(yīng)邀回母校哈佛大學(xué)參加募捐會時，記者問他是否愿意繼續(xù)學(xué)習(xí)以拿到哈佛大學(xué)的畢業(yè)證，他笑了笑，沒有回答。看來比爾·蓋茨是不愿意回到哈佛大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)了，因?yàn)槟菢拥脑挋C(jī)會成本太大——失去世界首富的地位。機(jī)會成本是決策者進(jìn)行正確決策所必須考慮的現(xiàn)實(shí)因素，忽視了機(jī)會成本，往往有可能使投資決策發(fā)生失誤。目錄機(jī)會成本計算問題及解決方案1.對偶問題典型案例2.進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：對偶單純形法3.一、問題引入第一節(jié)安排生產(chǎn)問題及解決方案引例：某企業(yè)用四種資源生產(chǎn)三種產(chǎn)品，工藝系數(shù)、資源限量及價值系數(shù)如表10-1所示：

那么該企業(yè)如何組織生產(chǎn)才能獲利最大？假如企業(yè)的決策者決策者如何對每一種資源進(jìn)行定價呢？決定不生產(chǎn)產(chǎn)品，而將其所有資源出租或外售，此時，【問題分析】第一節(jié)安排生產(chǎn)問題及解決方案第一問是典型的線性規(guī)劃問題，設(shè)分別表示產(chǎn)品的產(chǎn)量，可建立如下線性規(guī)劃模型：（1）【問題分析】第一節(jié)安排生產(chǎn)問題及解決方案對于第二問，資源售價由單位成本和增值價格兩部分構(gòu)成，增值價格又可以理解為機(jī)會成本(也稱為影子價格)。決策者要考慮的核心問題就是增值價格的確定，因?yàn)閮r格太高對方不愿意接受，價格太低自己收益又太少。合理的價格應(yīng)該是使對方用最少的資金購買自己的全部資源，而自己所獲得的利潤不應(yīng)低于自己用于生產(chǎn)時的獲利。例如，若用9個單位的資源Ⅰ、5個單位的資源Ⅱ、8個單位的資源Ⅲ和7個單位的資源Ⅳ生產(chǎn)1件產(chǎn)品A可獲利100，則用于生產(chǎn)1件A的這四種資源出租和出讓的獲利應(yīng)不低于自己生產(chǎn)的獲利100。第一節(jié)安排生產(chǎn)問題及解決方案二、典型問題解決方案繼續(xù)討論引例的第二問，設(shè)分別表示四種資源的

單位增殖價格(售價＝成本＋增殖價格)，

則決策者將所有資源出租或出讓的總增值為企業(yè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品所用四種資源的數(shù)量分別是9，5，8和7個單位，利潤是100,那么企業(yè)出售這些資源的獲利應(yīng)不少于100，即同理，對產(chǎn)品

和有同時，資源增值價格不可能小于零，即有綜上所述，企業(yè)的資源增值價格模型為：（2）第一節(jié)安排生產(chǎn)問題及解決方案二、典型問題解決方案上述兩個模型（1）和（2）是對同一問題的兩種不同考慮的數(shù)學(xué)描述，其間有著一定的內(nèi)在聯(lián)系，具體表現(xiàn)為：（1）兩個問題的系數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置；（2）一個問題的變量個數(shù)等于另一個問題的約束條件個數(shù)；（3）一個問題的右端系數(shù)是另一個問題的目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)；（4）一個問題的目標(biāo)函數(shù)為極大化，約束條件為“≤”類型，另一個問題的目標(biāo)函數(shù)為極小化，約束條件為“≥”。第一節(jié)安排生產(chǎn)問題及解決方案二、典型問題解決方案概念

稱（1）式為原始線性規(guī)劃問題或原問題，（2）式為對偶線性規(guī)劃問題或?qū)ε紗栴}。這種對應(yīng)關(guān)系稱為對偶關(guān)系。一般地，原問題與對偶問題的關(guān)系，其變化形式可歸納為：第一節(jié)安排生產(chǎn)問題及解決方案二、典型問題解決方案例如

其目標(biāo)函數(shù)為，根據(jù)關(guān)系表可知對偶問題的目標(biāo)函數(shù)為件。原問題的約束條件個數(shù)為2，對偶問題的變量個數(shù)也為2，設(shè)；原問題中含有4個變量，故對偶問題中應(yīng)該含有4個約束條為，因此原問題的對偶問題為：第一節(jié)安排生產(chǎn)問題及解決方案二、典型問題解決方案影子價格(ShadowPrice)

對偶問題的最優(yōu)解機(jī)會成本又稱“擇一成本”。指把已放棄的方案可能獲取的收益，作為評價優(yōu)選方案即被選取方案所付出的代價。它是指一筆投資在專注于某一方面后所失去的在另外其它方面的投資獲利機(jī)會。

對于原問題與對偶問題，我們有如下定理：定理1

對稱性定理：對偶問題的對偶是原問題。 定理2

對偶定理：若原問題有最優(yōu)解，則對偶問題也有最優(yōu)解，且目標(biāo)函數(shù)值相等。第一節(jié)安排生產(chǎn)問題及解決方案二、典型問題解決方案

案例1

某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，要勞動力、原材料兩種資源，已知每件產(chǎn)品所消耗的資源數(shù)、每種資源的數(shù)量限制以及每件產(chǎn)品可獲得的利潤如表10-3所示：（1）確定獲得總收入最大的生產(chǎn)計劃；（2）如果勞動力數(shù)量不變，材料不足可以從市場購買，每單位0.4元，那么該單位要不要購進(jìn)原材料擴(kuò)大生產(chǎn)？二、典型問題解決方案第一節(jié)安排生產(chǎn)問題及解決方案【解決方案】決策變量：設(shè)分別為生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品的數(shù)量目標(biāo)函數(shù)：約束條件：材料約束非負(fù)約束勞動力約束第一節(jié)安排生產(chǎn)問題及解決方案二、典型問題解決方案綜上可得數(shù)學(xué)規(guī)劃模型為：利用Excel求解該線性規(guī)劃問題，可得到圖10-1所示的規(guī)劃求解結(jié)果.

第一節(jié)安排生產(chǎn)問題及解決方案二、典型問題解決方案這說明工廠的最佳生產(chǎn)方案為甲產(chǎn)品生產(chǎn)5個，丙產(chǎn)品生產(chǎn)3個，不生產(chǎn)乙產(chǎn)品，總收入可以達(dá)到27。

為了得到原材料的影子價格，我們需要得到上述模型的對偶模型。由表10-2的對應(yīng)關(guān)系，我們得到對偶數(shù)學(xué)規(guī)劃模型為：利用Excel求解該對偶規(guī)劃模型，可得規(guī)劃求解結(jié)果如圖.

第一節(jié)安排生產(chǎn)問題及解決方案二、典型問題解決方案從上圖中我們很容易看出：勞動力的影子價格為0.2元，原材料的影子價格為0.6元。因?yàn)槭袌錾腺徺I每單位原材料的價格為0.4元，而0.6>0.4，所以工廠可以考慮購進(jìn)原材料擴(kuò)大生產(chǎn)來獲取更大的利潤。第二節(jié)對偶問題典型案例案例1

某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要消耗鋼材、煤炭、設(shè)備臺時三種資源，已知每件產(chǎn)品所消費(fèi)的資源數(shù)、每種資源的數(shù)量限制以及每件產(chǎn)品的售價如表10-4所示，

（1）如何安排生產(chǎn)計劃，才能充分利用現(xiàn)有資源，使獲得的總收入最大？

（2）現(xiàn)有兩種新產(chǎn)品A和B，他們對資源的消耗額以及可能獲得的單位利潤如表10-5所示，試決定他們是否值得投產(chǎn)。表10-4表10-5第二節(jié)對偶問題典型案例本問題首先是要制定一個安排生產(chǎn)計劃，根據(jù)第九章知識，我們知道這是一個典型的線性規(guī)劃問題，求解線性規(guī)劃問題就可以得到最優(yōu)安排生產(chǎn)計劃。問題2是一個決定新產(chǎn)品是否值得投資的問題，根據(jù)前面影子價格的定義，我們知道，判斷某一產(chǎn)品是否值得投資，需求出該產(chǎn)品的影子價格，然后與單位價格比較，如果產(chǎn)品的影子價格大于相應(yīng)的單位價格，則不值得投產(chǎn)；如果影子價格小于相應(yīng)的單位價格，則值得投資。【問題分析】第二節(jié)對偶問題典型案例【解決方案】決策變量：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品件。

單位價格為10萬元，乙產(chǎn)品的單位價格為18萬元，則獲得的總目標(biāo)函數(shù)：設(shè)最大總收入為萬元，由表1可知，甲產(chǎn)品的收入為：，約束條件：鋼材資源限制，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品消耗5單位的鋼材，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品消耗2單位的鋼材，而鋼材資源的總量為170單位，則：第二節(jié)對偶問題典型案例同理可得，煤炭資源限制為：設(shè)備臺時限制為：非負(fù)約束為：綜上所述，我們可得問題的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型為：（3）第二節(jié)對偶問題典型案例

第一步：根據(jù)模型（3），在Excel工作表中輸入數(shù)據(jù)，如圖10-3所示。下面用Excel求解模型(3)：第二步：計算約束條件左端的值和目標(biāo)函數(shù)值，其中：E4=$B$2*B4+$C$2*C4，然后，利用Excel中的句柄填充功能，計算出約束條件左端其他值；其中目標(biāo)函數(shù)值為：D9=B1*B2+C1*C2+D1*D2。第二節(jié)對偶問題典型案例第三步：設(shè)置決策變量區(qū)域，添加約束條件；第四步：單擊【規(guī)劃求解】按鈕，得到如圖10-4所示規(guī)劃求解結(jié)果：從圖10-4中我們可以看出當(dāng)甲產(chǎn)品生產(chǎn)7.14件，乙產(chǎn)品生產(chǎn)28.57件時，獲得的最大利潤為585.71萬元。第二節(jié)對偶問題典型案例對于問題2，要判斷某種產(chǎn)品是否值得投資，我們必須要得到生產(chǎn)這種產(chǎn)品的各種資源的影子價格，而要求影子價格，只需求生產(chǎn)計劃問題的對偶問題即可。利用第一節(jié)對偶問題的相關(guān)知識，我們得到模型（3）的對偶問題為：利用Excel求解上述對偶規(guī)劃問題，可得圖10-5所示結(jié)果：第二節(jié)對偶問題典型案例從圖10-5可以看出：（1）鋼材的影子價格為0，即再增加1噸鋼材，利潤不會增加；（2）煤炭的影子價格為4.571，即再增加1噸煤炭，利潤增加4.571萬元；（3）設(shè)備臺時的影子價格為0.857，即再增加1個臺時，利潤增加0.857萬元。產(chǎn)品的隱含成本為：（萬元）產(chǎn)品的隱含成本為：（萬元）因?yàn)楫a(chǎn)品的隱含成本大于單位成本，所以該產(chǎn)品不生產(chǎn)；因?yàn)楫a(chǎn)品的隱含成本大于單位成本，所以該產(chǎn)品生產(chǎn)。第二節(jié)對偶問題典型案例三類產(chǎn)品，各工段開工一天生產(chǎn)三類產(chǎn)品的數(shù)量、費(fèi)用以及合同對三類產(chǎn)品的最低需求量見下表。那么每噸產(chǎn)品的合理成本是多少？案例2

某工廠有甲、乙兩個車間工段可生產(chǎn)第二節(jié)對偶問題典型案例【問題分析】。由第一節(jié)的知識我們知道要求影子價格，首先需要求出原問的機(jī)會成本，也就是題的對偶問題，然后通過求解該對偶問題得到原問題受到的限制條件只有一個：生產(chǎn)合同最低需求量。本問題是要計算的影子價格的影子價格。第二節(jié)對偶問題典型案例【解決方案】決策變量：設(shè)分別為工段甲、乙開工的天數(shù)。

目標(biāo)函數(shù)：設(shè)滿足生產(chǎn)合同的最低費(fèi)用為甲的費(fèi)用1000元/天，工段乙的費(fèi)用為2000元/天，則目標(biāo)函數(shù)為：元，因?yàn)楣ざ渭s束條件：生產(chǎn)合同最低需求量，生產(chǎn)合同對求量為20噸，甲、乙兩個工段開工一天生產(chǎn)2,7，所以有如下約束條件：的最低需的產(chǎn)品數(shù)量分別為第二節(jié)對偶問題典型案例同理，對產(chǎn)品和有：

非負(fù)約束，因?yàn)殚_工的天數(shù)不可能為負(fù)數(shù)，所以有綜上所述，我們可得問題的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型為：第二節(jié)對偶問題典型案例利用對偶理論，我們得到原問題的對偶線性規(guī)劃模型為：利用Excel求解對偶線性規(guī)劃問題，得到的答案如圖所示即每噸產(chǎn)品的合理成本分別為200元、600元。第三節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：對偶單純形法線性規(guī)劃的對偶單純形法是根據(jù)對偶問題求解的特點(diǎn)和對稱性設(shè)計出的一種解法。本節(jié)將簡要介紹對偶單純形法的基本理論以及如何運(yùn)用對偶單純形法求解線性規(guī)劃問題。對偶單純形法和單純形法的主要區(qū)別在于：單純形法在整個迭代過程中，始終保持原問題的可行性，即常數(shù)列大于等于0;對偶單純形法則是在整個迭代過程中，始終保持對偶問題的可行性，即全部檢驗(yàn)數(shù)大于等于0。在運(yùn)用對偶單純形法求解線性規(guī)劃問題時,不需要引進(jìn)人工變量，但是必須先給定原問題的一個對偶可行的基本解。第三節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：對偶單純形法下面介紹對偶單純形法的求解步驟：

第一步：給定一個初始對偶可行的基本解.把原問題引入附加變量化為標(biāo)準(zhǔn)型。為了得到對偶可行的基本解，不需要引入人工變量，只要將每個約束方程兩端同時乘以-1即可，并實(shí)現(xiàn)所有檢驗(yàn)數(shù)大于等于0，但常數(shù)列中含有負(fù)元素。例：利用對偶單純形法求解下列規(guī)劃模型第三節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：對偶單純形法將上述模型化為標(biāo)準(zhǔn)型，得解：然后分別將每個約束方程兩端同乘以-1，得到：第三節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：對偶單純形法從而可得下表第二步：最優(yōu)性檢驗(yàn)若線性常數(shù)列的基本解即是最優(yōu)解。否則，轉(zhuǎn)下一步。從上表可知，從而線性對偶可行的基本解不是最優(yōu)解。

，則停止計算，現(xiàn)行對偶可行第三節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：對偶單純形法第三步：確定換出變量將現(xiàn)行常數(shù)列中最小的負(fù)元素所在行的基變量換出，即第行約束式的基變量為換出變量。從表中我們知道，故為換出變量。即第三節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：對偶單純形法第四步：確定換入變量系數(shù)為負(fù)的那些元素，用相應(yīng)的檢驗(yàn)數(shù)在換出變量所在的第行約束式中，找出各非基變量列中

分別除以這些負(fù)元素，

所得個負(fù)比值中最大者所在列即為換入列。令在表4.1中，由第3步可知，第2行為換出變量所在行，從而即所在列為換入變量列，故為換入變量。第三節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：對偶單純形法在對偶單純形法中，確定換入變量的規(guī)則稱為最大負(fù)比值規(guī)則。選取新的基變量為

，根據(jù)第九章求基本可行解的方法，令各非

基變量等于0，可以得到一