數(shù)列的定義電子教案

章節(jié)概念框架數(shù)列徐亮于中原數(shù)列基本概念常用數(shù)列數(shù)列極限通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和等差數(shù)列等比數(shù)列運(yùn)算法則基本數(shù)列極限數(shù)學(xué)歸納法證明方法應(yīng)用無窮等比遞縮數(shù)列各項(xiàng)和遞推公式求解方法性質(zhì)數(shù)列的定義：

在正整數(shù)集或其子集上的一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量從1開始連續(xù)取值時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值排成的一列，就是數(shù)列。

記為數(shù)列{an},其中an=f(n)，n=1,2,3,……遞推公式：

用數(shù)列的第一項(xiàng)（或前若干項(xiàng)）和某一項(xiàng)與它前一項(xiàng)（或前若干項(xiàng)）的關(guān)系來表示數(shù)列：

這種表示數(shù)列的式子叫做數(shù)列的遞推公式。

an等差數(shù)列：

若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差為常數(shù)d，則該數(shù)列為等差數(shù)列。d為公差。

an-an-1=d,n≥2，n∈N*an-an-1=an+1-an,n≥2，n∈N*an+1+an-1=2an,n≥2，n∈N*通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d,n∈N*an=am+(n-m)d,n,m∈N*等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn：等比數(shù)列：

若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比為非零常數(shù)q，則該數(shù)列為等比數(shù)列。q為公比。通項(xiàng)公式：an=a1qn-1,n∈N*

an=amqn-m,n∈N*等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn：等差等比數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列{an}，{bn}等比數(shù)列{an}，{bn}Sn為{an}前n項(xiàng)和，m,n,p,q∈N*若m+n=p+q則an+am=bp+bq

若m+n=p+q，則anam=bpbq

Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m

-

S3m、……仍為等差數(shù)列。Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m

-

S3m、……仍為等比數(shù)列。（q≠-1）

數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。

{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。等差數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

等比數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

......數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn：Sn=a1+a2+…+an已知Sn，求an：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn：SnAp等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn：SnGp特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn：

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn：等差+等比型——分組求和等差×等比型——錯(cuò)位相減分式型（分子為常數(shù)，分母為自然數(shù)乘積）——裂項(xiàng)求和后項(xiàng)與前項(xiàng)的差（比）為可求和（積）型——累加（乘）數(shù)列極限：

無窮項(xiàng)數(shù)列{an}，若當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，項(xiàng)無限趨近某個(gè)常數(shù)A，則這個(gè)常數(shù)A就是數(shù)列的極限。

記為：數(shù)列極限的運(yùn)算法則：常用數(shù)列極限：無窮等比遞縮數(shù)列：

若等比數(shù)列{an}的公比q滿足：

|q|∈（0，1），則數(shù)列{an}為無窮等比遞縮數(shù)列。各項(xiàng)和S

：數(shù)學(xué)歸納法：（1）證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0，（n0∈N*）時(shí)，原命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時(shí)原命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)原命題成立；綜上:原命題對任意n∈N*,n≥n0的自然