深圳市羅湖區(qū)2023-2024學(xué)年高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第14頁（共14頁）2023-2024學(xué)年廣東省深圳市羅湖區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|（x﹣2）（x+1）＜0}，則A∩B＝（）A．[0，2） B．（0，2） C．[0，3] D．（﹣1，3]2．（5分）命題“?x＞0，x﹣ex﹣1≥1”的否定為（）A．?x≤0，x﹣ex﹣1≥1 B．?x＞0，x﹣ex﹣1＜1 C．?x≤0，x﹣ex﹣1＜1 D．?x＞0，x﹣ex﹣1＜13．（5分）已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當x∈（0，1]時，f（x）＝x3+2x2，則f（x）在區(qū)間[﹣1，0]上（）A．單調(diào)遞增，且最小值為﹣3 B．單調(diào)遞減，且最小值為﹣3 C．單調(diào)遞增，且最大值為﹣3 D．單調(diào)遞減，且最大值為﹣34．（5分）已知a＝log23，b＝log48，，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b5．（5分）若，則＝（）A． B． C． D．6．（5分）已知x，y∈R，則使x＞y成立的充分條件為（）A． B． C．x2＞（y+1）2 D．（x﹣1）3＞y37．（5分）設(shè)函數(shù)，g（x）＝xa（x≥0）它們在同一坐標系的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的為（）A．a(chǎn)＜﹣1 B． C． D．8．（5分）已知函數(shù)，g（x）＝x3+x，則下列結(jié)論正確的為（）A．f（x）與g（x）均為單調(diào)函數(shù) B．若f（a）＜g（b），則ab+b﹣2＞0 C．若f（a）＝g（b），則a+b＝1不可能成立 D．存在關(guān)于y軸對稱的點P，Q分別在f（x），g（x）的圖象上二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中.有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）下列等式正確的為（）A． B．lg2+lg5＝1 C． D．（多選）10．（5分）在△ABC中，下列結(jié)論正確的為（）A．cosA?cosB?cosC＞0 B． C．sinC＝sinAcosB+cosAsinB D．cosC＝cosAcosB﹣sinAsinB（多選）11．（5分）已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①?x，y∈（0，+∞），f（xy）＝xf（y）+yf（x）；②?x∈（1，+∞），f（x）＞0，則下列結(jié)論正確的為（）A．f（1）＝0 B．f（x2）＝x2f（x） C．?x∈（0，1），f（x）＜0 D．f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減（多選）12．（5分）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期為2π B．f（x）在區(qū)間（0，π）上的所有零點之和為 C．若|f（ωx）|（ω＞0）在區(qū)間上單調(diào)，則 D．若x1，x2為在區(qū)間（0，π）上的兩個根，則三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）函數(shù)的定義域為．14．（5分）已知某扇形的圓心角是，半徑是4，則該扇形的面積為．15．（5分）已知x，y＞0，若x+xy＝4，則x+y的最小值為．16．（5分）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程f（x）＝a恰有四個相異實數(shù)解x1，x2，x3，x4，則實數(shù)a的最小值為；x1+x2+x3+x4的取值范圍為．四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（10分）已知點（a，3）在角α的終邊上，且．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．（12分）已知集合A＝{x|≤2x≤16}，B＝{x|m﹣3≤x≤m2+3}．（1）當m＝2時，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．19．（12分）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為130米，轉(zhuǎn)盤直徑為120米，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，每30分鐘轉(zhuǎn)一圈．已知游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，設(shè)游客距離地面的高度h（單位：米）關(guān)于進艙時間t（單位：分鐘）的函數(shù)解析式為h（t）＝Asin（ωt+φ）+b（其中A＞0，ω＞0，φ∈（﹣π，π））．（1）求h（t）；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間游客距離地面的高度不小于100米？20．（12分）已知函數(shù)．（1）根據(jù)定義法證明f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增；（2）設(shè)t＞0，求解關(guān)于t的不等式f（t2﹣t+2）+f（﹣t﹣2）＞0．21．（12分）某企業(yè)為了提升全球競爭力，大力推進生產(chǎn)改革，從生產(chǎn)單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)型為生產(chǎn)多種產(chǎn)品．已知A，B為該企業(yè)生產(chǎn)的兩種產(chǎn)品，現(xiàn)企業(yè)擬將72千萬元資金全部投入A，B的生產(chǎn)，記A，B的利潤分別為M，N．由市場調(diào)查可知，，，其中x（單位：千萬元）為該產(chǎn)品的投入資金．（1）當A的投入資金為25千萬元時，求生產(chǎn)A，B的總利潤；（2）如何分配A，B的投入資金，方可使得總利潤最大，并求最大總利潤．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝k?2x﹣1+2﹣x是偶函數(shù)，．（1）求函數(shù)y＝g（lnx）+2k的零點；（2）當x∈[a，b]時，函數(shù)g（f（x））與f（x）的值域相同，求b﹣a的最大值．

2023-2024學(xué)年廣東省深圳市羅湖區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號12345678答案ABACCDDC一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．【分析】結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|（x﹣2）（x+1）＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，故A∩B＝[0，2）．故選：A．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】存在改任意，將結(jié)論取反，即可求解．【解答】解：“?x＞0，x﹣ex﹣1≥1”的否定為：?x＞0，x﹣ex﹣1＜1．故選：B．【點評】本題主要考查特稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由已知結(jié)合奇函數(shù)的對稱性即可求解．【解答】解：因為函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當x∈（0，1]時，f（x）＝x3+2x2單調(diào)遞增，所以當x＝1時，函數(shù)取得最大值f（1）＝3，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，f（x）在[﹣1，0）上單調(diào)遞增，且函數(shù)有最小值f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3．故選：A．【點評】本題主要考查了奇函數(shù)對稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較a，b的大小及與1的大小，然后判斷c與1的大小即可比較．【解答】解：因為b＝log48＝log2＜log23＝a，所以1＜b＜a，因為c＝（）2＜1，所以c＜b＜a．故選：C．【點評】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】由誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式計算即可．【解答】解：因為，所以＝＝＝＝．故選：C．【點評】本題考查誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式，還考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】舉出反例檢驗選項A，B，C，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷D．【解答】解：當x＝﹣2，y＝﹣2時，＞1，但是不滿足x＞y，即A不符合題意；當y＝1，x＝0時，，但是不滿足x＞y，即B不符合題意；當x＝﹣2，y＝﹣1時，x2＞（y+1）2，但是不滿足x＞y，不符合題意；當（x﹣1）3＞y3時，可得x﹣1＞y，即x＞y+1，可以得出x＞y，D符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．7．【分析】由已知結(jié)合冪函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由冪函數(shù)的圖象可知，a＜0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當x＝1時，f（1）＝2+＜0，解得，﹣．故選：D．【點評】本題主要考查了冪函數(shù)及二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】根據(jù)條件可知f（x）＝g（），逐一判斷選項即可．【解答】解：g（x）＝x3+x是R上單調(diào)遞增函數(shù)，＝g（），所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上單調(diào)遞減，故A錯誤；若f（a）＜g（b），令a＝，則x＝﹣1，所以f（a）＝g（﹣1），所以g（﹣1）＜g（b），即﹣1＜b，所以＞0，得或，故B錯誤；若f（a）＝g（b），則b＝﹣1，所以ab+b﹣2＝0，若a+b＝1，則（1﹣b）b+b﹣2＝0，整理得b2﹣2b+2＝0無實根，故C正確；假設(shè)存在點P（x，y），則點P關(guān)于y軸的對稱點Q（﹣x，y），滿足f（x）＝g（﹣x），所以﹣x＝﹣1，即x2﹣x+2＝0無實根，所以不存在關(guān)于y軸對稱的點P，Q分別在f（x），g（x）的圖象上，故D錯誤．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中.有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．【分析】由指數(shù)、對數(shù)的運算法則計算各選項即可．【解答】解：對于A，＝＝，故A錯誤；對于B，lg2+lg5＝lg（2×5）＝lg10＝1，故B正確；對于C，＝＝，故C錯誤；對于D，＝＝＝，故D正確．故選：BD．【點評】本題考查指數(shù)、對數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】舉反例可判斷A；由三角形的內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式可判斷B；由三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換知識可判斷C，D．【解答】解：對于A，若△ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)C為鈍角，則A，B為銳角，所以cosA＞0，cosB＞0，cosC＜0，則cosA?cosB?cosC＜0，故A錯誤；對于B，＝＝＝，故B正確；對于C，sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，故C正確；對于D，cosC＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）＝sinAsinB﹣cosAcosB，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題考查三角恒等變換與誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．11．【分析】利用賦值法可判斷選項AB；若x∈（0，1），，則，結(jié)合性質(zhì)②即可判斷C；利用單調(diào)性的定義可判斷D．【解答】解：因為?x，y∈（0，+∞），f（xy）＝xf（y）+yf（x），所以令x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝f（1）+f（1），可得f（1）＝0，故A正確；令y＝x，則f（x2）＝xf（x）+xf（x）＝2xf（x），故B錯誤；若x∈（0，1），，則，根據(jù)性質(zhì)②知，所以x∈（0，1）時，f（x）＜0，故C正確；設(shè)x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，，則，，又，所以，所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．12．【分析】將f（x）化簡為，再結(jié)合選項所給條件，逐一判斷即可．【解答】解：∵，∴，A選項，∵，∴f（x）的最小正周期為，故A錯誤；B選項，當x∈（0，π）時，，記f（x）在區(qū)間（0，π）上的零點分別為xa，xb（xa＜xb），∴，，∴，∴，即所有零點之和為，故B正確；C選項，，當x＝0時，，∵ω＞0，∴解得，故C正確．D選項，當x∈（0，π）時，，∵，即，∴與關(guān)于對稱，∴，∴，∴，∵，∴，故D正確．故選：BCD．【點評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．【分析】根據(jù)偶次根式下大于等于0，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0建立不等式關(guān)系，然后解之即可求出函數(shù)的定義域．【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則，解得0≤x＜1，所以原函數(shù)的定義域[0，1）．故答案為：[0，1）．【點評】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的定義域及其求法，以及偶次根式的定義域，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合扇形的面積公式，即可求解．【解答】解：某扇形的圓心角是，半徑是4，則該扇形的面積為：．故答案為：6π．【點評】本題主要考查扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：x+xy＝4，則x（1+y）＝4，即x＝，故x+y＝≥，當且僅當，即x＝1時，等號成立，故x+y的最小值為3．故答案為：3．【點評】本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】利用三角恒等變換得f（x）＝，作出圖象，結(jié)合題意和圖象即可得第一空答案；結(jié)合三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得第二空答案．【解答】解：因為＝，作出y＝f（x）的圖象，如圖所示：又因為f（x）＝a恰有四個相異實數(shù)解x1，x2，x3，x4，由圖象可知a∈[1，2），所以a的最小值為1；不妨設(shè)x1＜x2＜x3＜x4，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知x1，x2關(guān)于x＝﹣對稱，所以x1+x2＝﹣，令﹣log3x＝2，解得x＝；令﹣log3x＝1，解得x＝；所以＜x3≤，又因為﹣log3x3＝log3x4，所以x4＝，所以x3+x4＝x3+，＜x3≤，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知x3+∈[，），所以≤x3+x4＜，所以1≤x1+x2+x3+x4＜．故答案為：1；[1，）．【點評】本題考查了正弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，作出圖象是關(guān)鍵，屬于中檔題．四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的同角公式，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求解．【解答】解：（1）點（a，3）在角α的終邊上，且，則角α的終邊位于第一象限或第二象限或y軸正半軸，故＝，所以＝；（2）＝＝﹣tanα﹣1＝．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的同角公式，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】（1）先求出集合A，再結(jié)合交集的定義，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，推得A?B，列出不等式組，即可求解．【解答】解：（1）A＝{x|≤2x≤16}＝{x|﹣4≤x≤4}，當m＝2時，B＝{x|﹣1≤x≤7}，故A∩B＝{x|﹣1≤x≤4}；（2）“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則A?B，即（等號不能同時成立），解得m＜﹣1，故實數(shù)m的取值范圍為{m|m＜﹣1}．【點評】本題主要考查指數(shù)不等式的解法，以及集合的運算，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（1）由T＝30求出ω，利用最大最小值求出b和A，由t＝0求出φ，即可寫出函數(shù)解析式．（2）令h（t）≥100，求出t的取值范圍，即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）由題意知，T＝30，所以ω＝＝，由，解得b＝70，A＝60；由t＝0時，h（0）＝60sinφ+70＝10，解得sinφ＝﹣1，又因為φ∈（﹣π，π），所以φ＝﹣，所以h（t）＝60sin（t﹣）+70，0≤t≤30．（2）t∈[0，30]時，h＝60sin（t﹣）+70≥100，即sin（t﹣）≥，解得+2kπ≤t﹣≤+2kπ，k∈Z；即10+30k≤t≤20+30k，k∈Z；所以取10≤t≤20，所以有20﹣10＝10分鐘游客距離地面的高度不小于100米．【點評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．20．【分析】（1）任取x1＞x2≥1，利用作差法比較f（x1）與f（x2）的大小即可判斷；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性即可求解．【解答】（1）證明：任取x1＞x2≥1，則x1x2＞1，x1﹣x2＞0，則f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+＝（x1﹣x2）（1﹣）＝（x1﹣x2）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；（2）因為f（﹣x）＝﹣x+＝﹣（x+）＝﹣f（x），即f（x）為奇函數(shù)且在[1，+∞）上單調(diào)遞增，由f（t2﹣t+2）+f（﹣t﹣2）＞0可得f（t2﹣t+2）＞﹣f（﹣t﹣2）＝f（t+2），由t＞0可得t2﹣t+2＞1，t+2＞1，故t2﹣t+2＞t+2，解得，t＞2或t＜0，故t的范圍為{t|t＞2或t＜0}．【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的判斷，還考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．21．【分析】（1）由題意得當A產(chǎn)品的投入資金為25千萬元時，則B產(chǎn)品投入資金為47千萬元，代入分段函數(shù)即可求解；（2）A產(chǎn)品的投入資金為x千萬元，B產(chǎn)品的投入資金為（72﹣x）千萬元，利用換元法和二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：設(shè)A產(chǎn)品的投入資金為x千萬元時，生產(chǎn)A，B的總利潤為f（x）（單位：千萬元）．（1）當A產(chǎn)品的投入資金為25千萬元時，則B產(chǎn)品投入資金為47千萬元，則生產(chǎn)A，B