2022-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分類匯編：平面向量（六大考點(diǎn)） 含解析

三年真題

專敷09年面向量

富鋁若磺。麴軀僧

考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1:平面向量線性運(yùn)算2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題

2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題

考點(diǎn)2：數(shù)量積運(yùn)算

2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化

2024年北京高考數(shù)學(xué)真題

簡(jiǎn)、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問

2023年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題

題，如證明垂直、距離等是每

2024年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)3：求模問題年必考的內(nèi)容，單獨(dú)命題時(shí)，

2023年北京高考數(shù)學(xué)真題

一般以選擇、填空形式出現(xiàn).交

2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題

匯命題時(shí)，向量一般與解析幾

2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

何、三角函數(shù)、平面幾何等相

考點(diǎn)4：求夾角問題2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

結(jié)合考查，而此時(shí)向量作為工

2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題

具出現(xiàn).向量的應(yīng)用是跨學(xué)科

2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題

知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，務(wù)必引起

2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題

重視.

考點(diǎn)5：平行垂直問題2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

預(yù)測(cè)命題時(shí)考查平面向量數(shù)

2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題

量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，

2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

同時(shí)與三角函數(shù)及解析幾何

2024年天津高考數(shù)學(xué)真題

相結(jié)合的解答題也是熱點(diǎn).

2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

考點(diǎn)6：平面向量取值與范2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題

圍問題2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題

2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題

2023年天津高考數(shù)學(xué)真題

甯窗給綠。固滔送溫

考點(diǎn)1:平面向量線性運(yùn)算

1.（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）在AABC中，點(diǎn)。在邊45上，BD=2DA.記0=流麗=五，則赤=

（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3玩+2元D.2m+3n

【答案】B

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)。在邊NB上，BD=2DA,所以麗=2而，即麗-赤=2（0-麗），

所以麗=3而一20=3^-2碗=-2玩+3萬.

故選：B.

考點(diǎn)2：數(shù)量積運(yùn)算

2.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)向量￡,刃的夾角的余弦值為:，且同=1,忖=3,貝！1

（2a+b\b=.

【答案】11

【解析】設(shè)a與石的夾角為。，因?yàn)閍與書的夾角的余弦值為:，即cosO=；,

又卜|=1,=3,所以.4="卡卜。$。=1*3*!=1,

所以（2a+葉5=2a%+=2a-B+W=2x1+32=11.

故答案為：11.

3.（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）正方形/BCD的邊長(zhǎng)是2,E是AB的中點(diǎn)，則就.而=（）

A.75B.3C.275D.5

【答案】B

（IULII'IIuuufiuiiruuur

【解析】方法一：以｛，卅/。｝為基底向量，可知卜@=%。卜2,/氏/。=0,

uuruurUUT1uniuaruuruuruuniuuruun

則￡C=￡8+5C=—45+皿即=￡/+4。=——AB+AD,

22

uuruur（iuuruuurA（iuururnrAiuu?uui?

所以EC,￡Q=匕45+/。）=-^45+AD=4MW；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

UUUlUUUL

則E（l,0）,C（2,2）,D（0,2）,可得EC=（1,2）,即=（一1,2）,

ULUUUUL

所以EC?EZ）=—1+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=45,CD=2,

n/72+CF2-DC25+S-43

在KDE中,由余弦定理可得cosZDEC=D"c以=二廠=

2DECE2xV5x^5

uuruur|U11叫UTII1u1叫mr）

所以￡。￡。=忸。E冰os/D￡C=j5xj5x|=3.

已知向量滿足|a|=1,|71=6,|〃一2?|=3,則Q.B=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】—2盯=|叫2—4萬萬+4時(shí),

又????=1/昨73,13-2*|二3,

??9=1-45-6+4x3=13-45-6,

-a-b=l

故選：C.

5.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)屋,3是向量，則伍-3）=0”是"￡=?或心.的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】因?yàn)椋ǎ?孫（，工）=>12=0,可得7=口即同=同，

可知（》+孫"5）=0等價(jià)于同=問，

若或￡=/,可得同=W，即,+肛（）一可=0,可知必要性成立；

若R+孫（3一日=0,即同=W，無法得出￡=3或￡=工,

例如a=（i,o）石=（o,i）,滿足同=問，但且￡片工，可知充分性不成立；

綜上所述，“(1+4(@工)=0，，是“力3旦2一戶的必要不充分條件.

故選：B.

考點(diǎn)3：求模問題

6.(2023年新課標(biāo)全國(guó)H卷數(shù)學(xué)真題)已知向量1,萬滿足歸-可=若，歸+司=忸-4,則|可=

【答案】G

【解析】法一：因?yàn)闅w+可=忸一可,即R+可=(21一可,

則1+2：3+￡=4?-4：/+上整理得7-2屋3=0，

又因?yàn)椴?小百，即"4=3,

則」丁3,所以|可=百.

inI-rrrrrrr

法二：^cx=a-bL?則卜|=j3,“+b=c+2d2a—6=2c+Z?,

由題意可得：?+2力、曲可，則￡+4：.，指=丁+篇+占，

整理得：?=?＞即同='=6.

故答案為：6

7.(2024年新課標(biāo)全國(guó)n卷數(shù)學(xué)真題)已知向量癡滿足問=1訴+2*2,且(3-2%)^,則同=

A.yB.—C.—D.1

222

【答案】B

【解析】因?yàn)?5-22)，人所以0-2ZM=O,即片=2鼠九

又因?yàn)閱?小+2耳=2,

所以1+4〃.3+43=1+66=4，

從而w=*.

故選：B.

8.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)已知向量河B滿足5+。=(2,3),萬一3=(—2,1),則團(tuán)2TBi2=(

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量2萬滿足萬+「=(2,3),a-b=(-2,1),

所以|Z|2—|向2=Q+B).G—B)=2x(—2)+3xl=—L

故選：B

9.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量工=（2,1焉=（-2,4）,貝!］卜-0（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】因?yàn)椤臼?（2,1）-（一2,4）=（4,-3）,所以歸一.=再行=5.

故選：D

考點(diǎn)4：求夾角問題

10.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)已知向量￡=(3,1)1=(2,2),貝ljcos?+及￡-同=()

A.—B.叵C.—D.—

171755

【答案】B

【解析】因?yàn)椤?(3,1)1=(2,2),所以Q+B=(5,3),a-B=(1,-1),

貝”〃+.=,5?+3?=A/34,|(7—=V1+1=V2,(q+3)._3)=5x1+3x—1)=2,

2

所以COS(Q+6,Q-Z)

V34xV217

故選：B.

11.（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量用5,3滿足同=W卜1,同=后，且力+彼+己=。，則

cos〈5-c1-c〉=（）

42-24

A.—B.—C.—D.一

5555

【答案】D

【解析】因?yàn)槿f+B+,=0,所以＞b二-￡,

即片+廬+2萬萬=/,即1+1+2］）=2,所以展5=0.

如圖，設(shè)刀=1,礪=反了=己,

C

ADB

由題知,ON=OB=l,OC=6,4AB是等腰直角三角形，

AB邊上的高8=1,40=1,

22

所以CD=CO+OD=0+-,

22

tanNACD=—=-,cosZACD=3

CD3回，

cos（a-c,b-c）=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故選:D.

12.（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知向量￡=（3,4）,1=（1,0）1=￡+行，若<￡,">=<友">,貝"=（

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】c

9+3/+163+%

【解析】^=（3+t,4）,cos（扇2=cos〈6,3）,即二百，解得f=5,

故選：C

考點(diǎn)5:平行垂直問題

13.（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題））已知左eR,a=（2,5）,B=（6#）,且則左的值為.

【答案】15

【解析】?：allb'.>.2^=5x6,解得左=15.

故答案為：15.

14.（2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知向量3=（0,1）,3=（2,x）,若B_L（3-4G）,貝！|x=（）

A.-2B.-1C.ID.2

【答案】D

【解析】因?yàn)楸匚?4a）,所以。伍-町=0,

所以g2_4[.B=0即4+%2-4x=0,故x=2,

故選：D.

15.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量方=（冽,3）石=（1，加+1）.若則冽=.

3

【答案】-:/-0.75

4

_3

【解析】由題意知：a-b=m+3（m+1）=0,解得加=一].

3

故答案為：-二.

4

16.(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知向量￡=(1,1)石=(1,-1),若R++貝?。?)

A.2+〃=1B.2+必=-1

C.彳〃=1D.沏=-1

【答案】D

［解析］因?yàn)閍=(l,l)3=(l,T)，所以°+25=(1+彳,1_彳)，0+〃3=(1+〃,1一〃)，

由(a+2辦)_L(a+〃1)可得，(a+2可(a+Ml)=0,

即(1+2)(1+〃)+0_幾)(1一〃)=0,整理得：A//=-1.

故選：D.

17.(2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)向量1=(x+l,x)3=(x,2),貝1］()

A.“x=-3”是“力刃”的必要條件B.“x=-3”是“￡//尸的必要條件

C.“x=0”是力”的充分條件D.“x=-l+6”是“￡//力的充分條件

【答案】C

【解析】對(duì)A,當(dāng)a_L刃時(shí)，則a.5=0，

所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)x=0時(shí)，￡=(1,0)萬=(0,2),故7族=0，

所以即充分性成立，故C正確；

對(duì)B,當(dāng)￡/歷時(shí)，則2(x+l)=/,解得-1±6，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)x=-l+6時(shí)，不滿足2(x+l)=x2,所以￡/后不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

考點(diǎn)6：平面向量取值與范圍問題

18.(2024年天津高考數(shù)學(xué)真題)在邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)￡為線段的三等分點(diǎn)，

1uuruuruuur

CE=-DE,BE=ABA+juBC,則2+〃=；F為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為在'中點(diǎn)，則萬?麗的最小

值為.

D,-----E_c

A'B

4

【答案】

3-18

1uur2uuruuruuoruuriuurumr

【解析】解法一：因?yàn)镃E=—^CE=-BA,則BEuBC+CE1：—54+BC,

233

i4

可得4=5,4=1，所以％+4=§;

由題意可知：I數(shù)1=1腐1=1,防?前=0,

因?yàn)槭瑸榫€段BE上的動(dòng)點(diǎn)，^BF=kBE=^LBA+kBC,k&\Q,\\,

貝1］萬=刀+而=存+左礪=j|kA\BA+kBC,

又因?yàn)镚為AF中點(diǎn),則DG—DA+AG——BC+萬/F=--1PC,

^-\\BA+kBC

可得4F?Z)G=

又因?yàn)闊oe[0,l],可知：當(dāng)左=1時(shí)，方不取到最小值-1；

1O

解法二：以8為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則/（T0）,8（0,0）,C（0,l）,O（Tl）￡、；l],

可得或=（-1,0）,元=（0,1）,而=[一,“，

―-___2=_14

因?yàn)榈Z=2茄+〃反=（-4〃），貝1“一--3,所以彳+〃=—；

,〃=1'

因?yàn)辄c(diǎn)F在線段BE：y=-3x,xe-1,0上，設(shè)尸（a,-3a）,ae-1,0

且G為肝中點(diǎn)，則

Q+1

可得AF=(a+1,—3a),DG=|

F

貝1萬.云=”^-+(—3〃)[j_l)=5,+|)J，

且一￡，°,所以當(dāng)時(shí)，彳萬?方不取到最小值為-工；

_3_|318

45

故答案為：—；■.

318

19.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知。。的半徑為1,直線以與。。相切于點(diǎn)4直線PB與OO

交于瓦C兩點(diǎn)，。為3C的中點(diǎn)，若|尸。|=也，則莎.麗的最大值為()

A1+V2nI+2V2

22

C.1+V2D.2+V2

【答案】A

【解析】如圖所示，Q旬=1,|。尸|=行，則由題意可知:乙42。=：,

由勾股定理可得歸H=J。產(chǎn)-。T=1

7[

當(dāng)點(diǎn)4。位于直線PO異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)NOPC=a,0<a<-,

4

則：歷.麗=網(wǎng)」麗|cos,+?]

=lxV2cos(zcosa+—

I4；

BfV2V2.

122J

=cos2a-sinacosa

1+cos2a1.3

-----------------sm2a

22

V2.

------sin

22

八兀71A7171

0<<7<—,貝U—<2a------<—

4444

JT

當(dāng)點(diǎn)4。位于直線尸。同側(cè)時(shí)，設(shè)

71

則：~PA-TD=\PA\\PD\CO^\a--

71

=1XV2COSOfcosa--

(血

=6cosa——cosa+——sina

122

7

=cos2a+s?macosa

1+cos2a1.c

-------------------\--sm2a

22

J+ginJ+H71，

224

°-a<P則

「?當(dāng)+f時(shí)，班所有最大值竽

綜上可得，瓦麗的最大值為4

故選：A.

20.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)在“BC中，AC=3,BC=4,ZC=1°.P為AABC所在平面內(nèi)的

動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,則方.而的取值范圍是(

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.

【答案】D

【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C(o,o),r(3,0),5(0,4),

因?yàn)槭?1,所以P在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)尸(cos0,sin6),0e[0,2TV],

所以=(3—cos。,一sin。),PB=(-cos0,4-sin0),

所以P4.PB=(-cos0)x(3-cos9)+(4-sin6)x(-sin0)

=cos26—3cos6—4sin8+sin?。

=l—3cos9—4sin。

=1—5sin(6+9),其中sin°=(,cosp=g,

因?yàn)橐?Vsin(6+9)W1,所以一4?l-5sin(e+3)?6,即P/4-PSG[-4,6]；

故選：D

21.(2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題)在》BC中，CA=a,CB=b,。是/C中點(diǎn)，CB=2BE，試用用3

表示瓦為，若刀_L瓦，則的最大值為

【答案】W3-1。一y71

226

【解析】方法一：

A

\D

C

EB

__、__、__k3_]__________

DE=CE-CD^-b--a,1AB=CB-CA=b-a^BVDE(3b-a)-(b-a}=Q,

~.h嗝2.J?2A/3a\、C「I

3片+/=4〃/ncos4cB=雨=回甲？邛#=3，當(dāng)且僅當(dāng)同=G卜時(shí)取等號(hào)，而

JT

Q<ZACB<TI,所以4cB￡(0,—].

6

3-1-71

故答案為：-b--a；—.

226

方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系:

￡(0,0),5(l,0),C(3,0),A(x,y),DE==(l-x,-y),

.2

反，在n(W3)(x-l)+、=0n(x+l)2+/=4,所以點(diǎn)A的軌跡是以〃(-l,0)為圓心，以r=2為半徑的

v2171

圓，當(dāng)且僅當(dāng)。與OM相切時(shí)，/C最大，此時(shí)5^。===：=；；,/。=：.

CMA26

3—1—77

故答案為：-b--a；—.

226

22.(2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題)設(shè)點(diǎn)尸在單位圓的內(nèi)接正八邊形4a…4的邊44上，則

蘇:+^V+…+⑸;的取值范圍是.

【答案】[12+2后,16]

【解析】以圓心為原點(diǎn)，44所在直線為x軸，44所在直線為了軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

（萬歷、（/3（rr\（B

則4（o,1）,4+,一，4（1,0）,44（o,一i），4與7啖7出6i,o,4f，設(shè)尸（用了）,

乙乙乙乙乙乙乙乙

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