2022-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：解三角形（六大考點(diǎn)） 含解析

三年真題

4<08斛三角彬

富鋁若磺。麴軀僧

考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢

2023年天津高考數(shù)學(xué)真題

2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題

2023年北京高考數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)1:正余弦定理綜

2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題

合應(yīng)用

2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

2024年天津高考數(shù)學(xué)真題

2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題

2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)2：實際應(yīng)用

2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題

考點(diǎn)3：角平分線、中2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題高考對本節(jié)的考查不會有大的變

線、高問題2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題化，仍將以考查正余弦定理的基

2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題本使用、面積公式的應(yīng)用為主.從

考點(diǎn)4：解三角形范圍

2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題近三年的全國卷的考查情況來

與最值問題

2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主要以

2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題考查正余弦定理的應(yīng)用和面積公

2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題式為主.

2024年北京高考數(shù)學(xué)真題

2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

考點(diǎn)5：周長與面積問

2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題

題

2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題

2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)6：解三角形中的

2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題

幾何應(yīng)用

甯窗給綠。固滔送溫

考點(diǎn)1:正余弦定理綜合應(yīng)用

1.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在AABC中，角4民。所對的邊分別是。,“c.已知°=回,6=2,4=120°.

⑴求sinS的值;

⑵求c的值；

⑶求sin”-C）的值.

【解析】（1）由正弦定理可得，一二=一^，即=二—，解得：sinB=坦;

sin/sin5sin120°sin813

（2）由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA,即39=4+。2-2X2XCX

解得：。=5或。=-7（舍去）.

a即Jlr9解得：sinC=±@,而4=120。,

（3）由正弦定理可得,

sinAsinC26

所以瓦。都為銳角，因止匕cosC=』一生二獨(dú)處

\5226V1313

V13352回5晶76

sin(5-C)=sin5cosC-cosBsinC=-----x--------------x------=

1326132626~

2.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記”8C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,,已知

sinCsin(4—8)=sin3sin(C-4).

(1)若/=2B,求C；

(2)證明：2/=〃+，

【解析】(1)由/=2B,sinCsin(4-B)=sinBsin(C-Z)可得，sinCsinB=sinBsin(C-Z),而0＜3＜g,

所以sinBE(0,1),即有5m。=5由(。一4)〉0，而0＜。＜兀,0＜。一力＜兀，顯然CwC—4,所以，C+C-A=7if

5兀

而4=25,A+B+C=TI,所以C=—.

8

(2)由sinCsin(/-B)=sinBsin(C-4)可得，

sinC(sinAcosB-cos4sin5)=sin8(sinCcosA-cosCsin4),再由正弦定理可得，

accosB-bccos/=becosA-abcosC,然后根據(jù)余弦定理可知，

1(a2+c2-^2)-|(62+c2-a2)=1(Z，2+c2-a2)-1(a2+Z＞2-c2)，化簡得：

2/=/+C2,故原等式成立.

3.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)在ABC中，(a+c)(sin/-sinC)=b(sin/-sin3),則NC=()

71712兀5兀

A.B.C.—D.——

6336

【答案】B

【解析】因為（〃+。）（5畝4一$畝。）=/）（5吊4一5）118）,

所以由正弦定理得（。+c）（a-c）=b（a—b）,即/一°2=一/,

M—C2db1

貝U/+〃一。2=帥，故cos。=

2ab~2ab~2

jr

又0＜。＜兀，所以。=§.

故選：B.

4.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）在^ABC中，內(nèi)角4民。的對邊分別是見仇。，若acosB-bcosA=c，

且c=(,則ZB=

71712兀

A.——B.一D.—

1055

【答案】C

【解析】由題意結(jié)合正弦定理可得sinZcosB-sinBcos4=sinC,

即sin/cos5—sin5cos/=sin(Z+5)=sinAcosS+sinBcosA,

整理可得sin5cosZ=0,由于B￡（0,兀），故sinB＞0,

據(jù)此可得cos/=0,/='TT,

2

En,—兀兀3兀

則5=71—/—。=兀------=--.

2510

故選：C.

Q

5.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在中，內(nèi)角48,C所對邊分別為。也c,若8=7r，H=\ac

則sirU+sinC=()

A,巫B?普「V7D亞

Vz?---

132,13

【答案】C

Q4]

【解析】因為B=m-rr，62=3ac,則由正弦定理得sinZsinC=3sin25="

9

由余弦定理可得：〃=a2+c2-ac=—ac,

4

iQ

即：/+/［吟根據(jù)正弦定理得sm?sm2C=qin/sinC=",

412

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sin4sinC=一，

4

因為4c為三角形內(nèi)角，則sinZ+sinC>0,則sin4+sinC=

故選：C.

92

6.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在“BC中，角所對的邊分別為見仇。，已知cosBu7，b=5,a__.

16c3

（1）求。；

（2）求sinA；

⑶求cos（B-24）的值.

【解析】（1）設(shè)。=2%,。=3心，〉0,貝咻艮據(jù)余弦定理得/=/+/—2QCCOS5，

9

BP25=4t2+9t2-2x2tx3tx—,解得看=2（負(fù)舍）；

貝lja=4,c=6

577

（2）法一：因為8為三角形內(nèi)角，所以sin8=Jl—cos?B=

再根據(jù)正弦定理得工=々，即而］=不萬，解得sin/=

sinAsinB

法二：由余弦定理得COS/=/+02/=52+62—423

2x5x64

因為Ze（0,兀），貝！|sinN=

a

（3）法一：因為cos5=—>0,且5￡（0,兀），所以BE

由(2)法一知sin8=上"

16

3

因為則/<8,所以cos4=

4

貝」*3

|Jsin2A=2sin%cos%=2xx—cos24=2cos2A-l=2x1=—

4488

cos(5-24)=cosBcos2A+sinBsin2A=-

16816864

法二：sin2A=2sinAcosA=2x——x—=——

448

3

則cos2A=2cos2A-l=2xI-14

因為8為三角形內(nèi)角,

915773x[l57

所以cos(B-24)=cosBcos2A+sinBsin2A=—X---x---=-

816864

7.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）在中，角4、B、。的對邊分別為q,b,c.已知

a=46,b=2c,cosA=——.

4

(1)求。的值；

(2)求sin8的值；

(3)求sin(2Z—5)的值.

【解析】(1)因為/=/+02一2慶cos力，即6=/+。2+；6c，而b=2c,代入得6=4c2+c2+c2，解得：c=l.

（2）由（1）可求出b=2,而0</<兀，所以sin/=JT^77=姮，又；=工，所以

4sinAsinB

.nbsin4

sinB=--------

a

(3)因為cos，=—J,所以=</<兀，故0<8<V，又sin4八Jl-cos%=所以

4224

sin2A=2sinAcosA=2xcos2A=2cos2—1=2x-----1=—,而sinB=,所以

1684

cosB=Vl-sin25=-

4

故sin(2/-B)=sin24cosB-cos24sinB=

考點(diǎn)2：實際應(yīng)用

8.（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知點(diǎn)5在點(diǎn)。正北方向，點(diǎn)。在點(diǎn)C的正東方向，BC=CD,存在

點(diǎn)A滿足/A4C=16.5。,/。/。=37°,則NBCA=（精確到0.1度）

A

【解析】^ZBCA=0,ZACD=9O0-0,

CACD

在△QC4中，由正弦定理得

sin。sinACAD'

CACD

即sin[180°-(90°-6?+37.0°)]sin37.0°

CACD

sin(900-3+37.0°)-sin37.0°①

CACB

在VBC4中，由正弦定理得

sin8sinZCAB'

CACBCACB

即高[1800-(6?+16.5°)jlsin16.5°,即sin?+16.5°)-sinl65，②

②sm(90。-6+37.0。sin37.0°

因為a）=CB,黑得一

sin(6+16.5°)sin16.5°

利用計算器即可得6。78,

故答案為：7.8°.

9.（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式,

他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白.如果把這個方法寫成公式，就是

2

1c*2*4+a2-b2

S=,其中a,b,c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊

42

a=V2,b=V3,c=2則該三角形的面積S=

【答案］叵.

4

2、2V23

]_c2+a2-b214+2—3丫

【解析】因為S=,所以s二4x2-

42424

故答案為：叵

4

考點(diǎn)3：角平分線、中線'高問題

10.(2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)己知在“3C中，4+B=3C,2sin(/-C)=

(1)求sind；

(2)設(shè)45=5,求邊上的高.

【解析】(1)-：A+B=?>C,

TT

..7i-C=3C,即。=—,

4

又2sin(/-C)=sin8=sin(4+C),

2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cos4sinC,

sinAcosC=3cosAsinCf

sin/=3cos4,

TT

即tan4=3,所以0v4v5,

,sin—

Vio10

(2)由(1)知，cosA=-j==生。，

M10

由sin5=sin(/+C)=sinAcosC+cosAsinC=~~~

<2V5

5x-----

b

由正弦定理,，可得b=----言—=2\ZTO,

sinCsinB

V

:.-AB-h=-AB-AC-sinA,

22

h-b'SmA-2V10*3^^-6.

10

11.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在ABC中，NBAC=60°,AB=2,BC=，/胡。的角平分

線交BC于D,則

【答案】2

如圖所示：iBAB=c,AC=b,BC=a,

方法一由余弦定理可得，2?+/-2x2xbxcos600=6,

因為b>0,角軍得：b=1+5

由S&ABC=SAABD+S&ACD可得,

—義2xbxsin60°=—x2xADxsin30°+—xADx6xsin30°,

222

5回273(1+73)

AD=3+V3-2

解得：-b

1+-

2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，2?+辦2_2x2xbxcos60。=6,因為b>0,解得：b=1+V3,

由正弦定理可得，*_=―也=’_,解得：sin8=—+二,sinC=—,

sin60°sin5sinC42

因為1+百>a>行，所以C=45。，8=180°-60°-45°=75°,

又NBAD=30°,所以//。8=75°,^AD=AB=2.

故答案為：2.

考點(diǎn)4：解三角形范圍與最值問題

12.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知AABC中，點(diǎn)。在邊8c上，NADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)

嚓AT取得最小值時，BD=______________.

AB

【答案】V3-1/-1+V3

【解析】I方法一]：余弦定理

設(shè)CD=2BD=2m>0,

則在△/助中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=m2+4+2m，

在ANC。中，AC1=CD1+AD1-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m，

Ze?_4療+4_4〃7_4(―2+4+2加)_]2(]+時甘12

所以“序m2+4+2mm2+4+2m?3

V"'m+1

>4——12-=4-2V3

2.(m+1)-^—

V'm+1

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)+1=一即沉=百-1時，等號成立，

m+1

AT_

所以當(dāng)會取最小值時，加=Q-1.

AB

故答案為：V3-1.

A

［方法二］:建系法

令BD=t,以D為原點(diǎn)，0C為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

則C(2t,0),A(1,G),B(-t,0)

*=曰±2=與3=4一—一26

AB

(f+1)+3L+2/+4(Z+1)+J_

當(dāng)且僅當(dāng)%+1=瓜即m=百-1時等號成立。

［方法三］:余弦定理

設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得

，=+4+2x

/.2c2+〃=12+6，，

b1=4+4x2-4x"

c?=+4+2x

2c2+b2=12+6x2，

b2=4+4x2-4x"

令江=

貝U2c2+t2c2=12+6x2，

AB、

2c12+6/12+6f2

/.〃+2=——--126-1T\

c+2x+4X+1)H—

，x+1J

八4-25

3

當(dāng)且僅當(dāng)x+「K，即x=6+l時等號成立.

［方法四］:判別式法

設(shè)3D=X,則CD=2x

在△/四中，AB-=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=x2+4+2x，

在A/CZ)中，AC2CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4x2+4-4x，

二匚I”/C?4x?+4—4x、-！412+4—4x

所以一石二「-------，記’-------

A.Bx+4+2xx+4+2x

貝！|(4—)x2_(4+2/)x+(4-旬=0

由方程有解得：A=（4+2/）2-4（4-Z）（4-4/）>0

即“一81+440,解得：4-273<?<4+273

所以。=4-26此時》=言=癢1

AT

所以當(dāng)方取最小值時，-6-1,即如回L

3（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）記“比的內(nèi)角48,C的對邊分別為6,c,已知備=黑|萬

(1)若C=,2〃，求&

2,r2

⑵求巴?的最小值.

C

cosAsin252sin5cos5sin5

【解析】（1）因為,即

1+sin1+cos252cos2Bcos5

sinB-cosAcos5-sin^4sinB=cos(4+5)=—cos。=；，

TTqr

而0<B<5,所以B=e；

7171

(2)由(1)知，sin^=-cosC>0,所以一<C<兀,0<5<一,

22

]fj]sin5=-cosC=sinfC-^j,

所以C啜71瓦即有人7712凡所以它吟小713兀

22PT

a1+b2sin2A+sin2Bcos225+1-cos2B

所以

c2sin2Ccos2B

Qcos。5-1)2+l-cos2B

=4套8+———522a-5=4A歷-5-

cos2Bcos2B

當(dāng)且僅當(dāng)c°加=日時取等號’所以中的最小值為4夜-5.

14.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在中，4C=3,BC=4,NC=90。.尸為力所在平面內(nèi)的

動點(diǎn)，且尸C=l,則方.而的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則。(0,0),r(3,o),5(0,4),

因為尸c=l,所以p在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動,

設(shè)尸(cos3,sin。)，［0,2句,

所以夕/=(3-cos。,一sin。),PB=(-cos3,4-sin,

所以P4PB=(-cos0)x(3-cos0)+(4-sin0)x(-sin6)

=cos26—3cos6—4sin8+sin?。

=l-3cos9-4sin。

?/\34

=1—5sin(6+夕)，其中sin°=?，cos(p=—

因為一14sin(<9+e)41,所以一4W1—5sin(6+e)W6,即可?麗e［T,6］；

故選：D

考點(diǎn)5:周長與面積問題

15.(2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)記”8C的內(nèi)角/、3、C的對邊分別為a,6,c,已知sinC=ecos8,

+b~-c"—A/2ctb

⑴求5

(2)若AJBC的面積為3+6，求c.

【解析】(1)由余弦定理有力+〃—/=2。6cosC,對比已知/+62_02=0“6,

a2+b2-c142ab_V|

可得cosC=

2ablab2

因為?！辏?,兀），所以sinC>0,

從而sinC=Vl-cos2C=

又因為sinC=J^cosB，即COSB=5,

注意到340,兀），

所以5g

（2）由（1）可得5=1,cosC差,Ce（O,7r）,從而C=：，/=兀4_：=1^,

4

a_b_c

由正弦定理有.5兀一.兀一.兀，

sin——sin—sin一

1234

從而"?2"忘=也乜,6=36=叵,

4222

由三角形面積公式可知，的面積可表示為

由已知“3C的面積為3+e，可得也叵°2=3+6，

8

所以C=2VL

16.（2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題）記“BC的內(nèi)角/,8,C的對邊分別為0,6,c,已知sin4+右cos/=2.

⑴求4

（2）若。=2,揚(yáng)sinC=csin25，求“3C的周長.

【解析】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）

由sin/+J^cos/=2可得,sin/+且'Cos/=1，即sin（N+=）=l,

223

>._、,717T4兀、?,.兀717ai兀

由z于+z故/+二=彳，斛得/

333326

方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）

由sin/+JJcos4=2,又sin?Z+cos?4=1,消去sin/得至lj：

4cos2A-4y/^cos^+3=0o（2cos^4-V3）2=0,解得cos4=

2

jr

又Ne(0,7i),故/=—

6

方法三：利用極值點(diǎn)求解

設(shè)/(x)=sinx+V3cosx(0<x<兀)，則/(')=2sin[x+y^(0<x<兀),

顯然x=￡時，/(%)max=2,注意到/(Z)=sin/+百cosZ=2=2sin(Z+f),

63

/(x)max=/(4)，在開區(qū)間(0,兀)上取到最大值，于是％=4必定是極值點(diǎn)，

即/'(4)=0=cos4一6sin4,即tanA=,

jr

又/e(0,7i),故4=:

6

方法四：利用向量數(shù)量積公式(柯西不等式)

設(shè)a=(1,6),1=(sin4cosZ)，由題意，a-b=sinA+cosA=2，

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，小3=1同聞COS,E)=2cos,

貝！J2cos2,3=2ocos落B=1,此時1,3=0,即a,B同向共線，

根據(jù)向量共線條件，Leos/=-sin/<=>tanA=—，

3

TT

又Ne(0,7t),故/=乙

6

方法五：利用萬能公式求解

設(shè)，=tan〈，根據(jù)萬能公式，sin/+Gcos/=2=20+也。J),

整理可得，Z2-2(2-V3)Z+(2-V3)2=0=(?-(2-V3))2,

解得tan《=f=2-根據(jù)二倍角公式，tan號=",='，

21-t23

jr

又Ne(0,Ti),故/

6

(2)由題設(shè)條件和正弦定理

V2Z?sinC=csin25u>，sin5sinC=2sinCsin5cos5，

又民Ce(0,7t),則sinBsinC/O,進(jìn)而cosBu^，得到B=巴，

24

7兀

于是。=兀一Z—5二——，

12

sinC=sin(7i-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sin5cosA=■

4

2_Z?_c

由正弦定理可得，號=工=-7；，即一

smAsin5sinCsin—sin—sin—

6412

解得b=2>/2,C=V6+A/2,

故AASC的周長為2+6+3夜

17.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在“中,內(nèi)角4瓦。的對邊分別為。也。，//為鈍角，。=7,

sin2B-——bcosB-

7

（1）求/Z；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積.

條件①：b=7；條件②：cosB=j|；條件③：csin4=1■百.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

【解析】（1）由題意得2sin5cos5因為A為鈍角，

7

廠廠

則cosBw0,則2sinB=Nb,則sinBsin/sin/,解得sinZ=U*,

7-2

因為A為鈍角，則，二可.

(2)選擇①6=7,則sinB=因為/=/，則3為銳角，則8=。,

14142

止匕時/+3=兀，不合題意，舍棄;

133V3

選擇②cos3=豆，因為8為三角形內(nèi)角，貝Usin8=

14

貝1J代入2sinB=9z>得2、遞=且6,解得6=3,

7147

sinC=sin(4+5"sin=sin駕os8+cos幺in8

33

G133G5G

二-------X---Fx---=---

21421414

=-absinC=-x7x3x—=巨色

則S

ABC22144

選擇③則有解得金，

75

a，即公sinC,解得sinC=%^,

則由正弦定理得

sinAsinC14

11

因為。為三角形內(nèi)角，則cosC=

14

(27r?.27兀r27兀r

貝Usin5=sin(4+C)=sinl—+C|=sin-cosC+cos-^sint

33

V311115G_36

=----X-----\~——X-----=------

21421414

則$八/\ARnlC~~“csinB-

2144

18.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)記的內(nèi)角4民。的對邊分別為。，仇。，已知

sinCsin(C-B)=sinBsin(C-A).

(1)證明:2a2=b2+c2;

...25

(2)^*a=5,cosA=—,求小3。的周長.

【解析】(1)證明：因為sinCsin(4-5)=sin5sin(C—4),

所以sinCsinAcosB-sinCsinBcosZ=sin8sinCcosZ-sin5sinAcosC，

所以m?_2爪.=一必

2ac2bclab

q/+/—Z??/222

n7a2+b2-c2

即----------^b2+c-a2

2

所以2/=/+。2;

(2)因為。=5,cos4=下，

由(1)得〃+°2=50,

由余弦定理可得/=Z)2+c2-2bccosA,

貝IJ50-%c=25,

31

所以兒=一31，

2

故僅+。)2=/+。2+2歷=50+31=81,

所以6+。=9,

所以的周長為a+b+c=14.

19.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)在28c中，sin2c=6sinC.

⑴求/C；

(2)若b=6,且的面積為6百，求的周長.

【解析】(1)因為?！?0,?)，則sinC〉O,由已知可得JJsinC=2sinCcosC,

可得cosC=@,因此，C=￡.

26

(2)由三角形的面積公式可得S“Bc=ga，sinC=ma=6Vi,解得a=4x/§.

由余弦定理可得C2=Q2+〃—為bcosC=48+36—2x4jx6x受12,.?.c=26，

所以，“5C的周長為Q+6+c=6百+6.

20.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)記”BC的內(nèi)角48,C的對邊分別為。也c,已知=2.

cos/

(1)求A；

—什tZCOSS-6cos力b1為…「HErr

(2)若————-——=1,求448。面積.

acQsB+bcosZc

222

【解析】(1)ma=b+c-2bccOsA,所以=2bccos/=2bc=2,解得：bc=l.

cosAcosA

/_、,r,口qcos5—6cos/bsinAcos5-sin5cosAsin5

(2)由正弦定理可得-----------——=—；——-~~———---—

。cos6+/?cosZcsinAcos+sin/yCOSAsinC

sin(4—8)sin5sin(4—5)—sinB

-sin(/+5)—sin(Z+B)-sin(4+5)—-'

變形可得：sin(Z—B)—sin(/+B)=sinB,即一2cos力sinB=sinB,

i/?

而OvsinBWl,所以cos4=--,又0<4<兀，所以sinZ=—,

22

c

故^ABC的面積為SAABC=~^sin4=J*lx-y-=.

21.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)在445C中，已知/氏4C=120。，AB=2,AC=1.

⑴求sin/4BC；

(2)若。為8C上一點(diǎn)，且/氏4。=90。，求△4DC的面積.

【解析】(1)由余弦定理可得：

BC2=a2=b2+c2-2bccosA

=4+l-2x2xlxcosl20°=7,

a2+c2-b27+4-15A/7

則5C=J7，cos5=

-2x2xg-14'

sinZ.ABC=J1-co$

q—xABxADxsin90°

（2）由三角形面積公式可得皆也----------------=4,

△ACD—XACXADxsin30°

2

則%s=:s*=:xgx2xlxsinl2o]=9

JJ\4JX\J

22.（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）在^ABC中，角/,3，。所對的邊分別為a,b,c.已知4a=0c,cosC=1.

(1)求sin4的值；

(2)若6=11,求AABC的面積.

34I—

【解析】（1）由于cosC=y，0<C<兀，貝!!sinC=《.因為4a=氐，

由正弦定理知4sin/=J^sinC,貝（jsin/=^-sinC=.

45

2_L1?1_1^2*1[42

（2）因為4a=右c,由余弦定理，得「a2+b2-c2口一行3.

cose=----------=--------------=-------=—

2ab22a2a5

4

即。2+6。-55=0，解得。=5,而sinC=《，6=11,

114

所以AA5C的面積S=—absinC=—x5xllx—=22.

225

23.（2022年新高考全國n卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為訪b,c,分別以a,b,c

為邊長的三個正三角形的面積依次為*Sz,S3,已知d-S2+S