2022-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：數(shù)列（九大考點(diǎn)）

三年真題

10數(shù)列

富鋁若磺。麴軀僧

考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢(shì)

2023年全國(guó)I卷、2024年全國(guó)II卷

2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題

2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題

考點(diǎn)1:等差數(shù)列基本2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

量運(yùn)算2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題

2023年全國(guó)II卷、2023年天津卷

2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

考點(diǎn)2：等比數(shù)列基本

2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

量運(yùn)算

2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

2024年北京高考數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)3：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)2023年北京高考數(shù)學(xué)真題

用2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題高考對(duì)數(shù)列的考查相對(duì)穩(wěn)定，考

2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變

化不大.等差數(shù)列、等比數(shù)列以

考點(diǎn)4：數(shù)列的最值問2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

選填題的形式為主，數(shù)列通項(xiàng)問

題2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題

題與求和問題以解答題的形式為

2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題主，偶爾出現(xiàn)在選擇填空題當(dāng)中，

考點(diǎn)5：數(shù)列的遞推問2024年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題常結(jié)合函數(shù)、不等式綜合考查.

題（蛛網(wǎng)圖問題）2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題

2023年北京高考數(shù)學(xué)真題

2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題

考點(diǎn)6：等差數(shù)列與等

2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題

比數(shù)列的綜合應(yīng)用

2024年北京高考數(shù)學(xué)真題

2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題

考點(diǎn)7：數(shù)列新定義問

2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題

題

2023年北京卷、2024年北京卷

2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

考點(diǎn)8：數(shù)列通項(xiàng)與求2024年天津高考數(shù)學(xué)真題

和問題2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題

2023年天津高考數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)%數(shù)列不等式

2023年全國(guó)II卷、2022年全國(guó)I卷

甯窗給綠。固滔送溫

考點(diǎn)1:等差數(shù)列基本量運(yùn)算

2

1.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,且d>1.令"=口巴,記5“工分別

an

為數(shù)列｛a"｝,｛，｝的前"項(xiàng)和.

⑴若犯=3%+%,邑+心=21,求｛?！埃耐?xiàng)公式；

⑵若也｝為等差數(shù)列，且$99-金=99,求d.

【解析】（1）.?%=3q+a3,3d=%+2d，解得%=",

S3=3a2-3Q+d)=6d,

26129

又4=4+62+4=—+一+一

d2d3d~d

9

.?.V6d+—=21,

d

即2/-7d+3=0,解得d=3或d(舍去),

an=%+(〃-1)?d=3n.

(2)?.?{〃}為等差數(shù)列，

12212

:.2b2=by+b3/即——=—+——，

a2axa3

//11、&Z10°,八7

「?6(---------)=------=—，即4-34d+2d=0,解得q=d或q=27,

'：d>\,.>?^?>0,

又S99-凰=99,由等差數(shù)列性質(zhì)知，99%。-99砥=99,即％。-&=1,

2550?0

=1，即4)-0-2550=0，解得知=51或。5。=一50(舍去)

。50

當(dāng)4=27時(shí)，%。=%+49d=514=51,解得4=1,與d>l矛盾，無(wú)解；

當(dāng)為=c/時(shí)，%=%+49c/=50c?=51,解得d=—.

2.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記，為等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和.若2s3=3邑+6，則公差

d=.

【答案】2

【解析】由2s3=3邑+6可得2(%+〃2+。3)=3(。1+4)+6,化簡(jiǎn)得2%=4+4+6,

即2(弓+2d)=2ax+d+6,解彳導(dǎo)d=2.

故答案為：2.

3.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)記S,,為等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和.若電+&=I。，%%=45,貝!］工=

()

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【解析】方法一：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為，，首項(xiàng)為。一依題意可得，

。2+R=4+4+%+5d=10,即%+3d=5,

又a?=(%+3d)(6+7d)=45，解得：d-\ax—2,

5x4

所以工=5%+;—xd=5x2+10=20.

故選：C.

方法二:出+。6=2。4=1°,。4a8=45，所以&=5,4=9,

從而“=修子=1,于是%=%-d=5-l=4,

所以工=5%=20.

故選：C.

4.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知等差數(shù)列｛叫的公差為g,集合S=｛cos%忖eN*｝,若

5=｛?；?，貝!|.6=()

A.-IB.——C.0D.—

【答案】B

【解析】依題意，等差數(shù)列｛%｝中，%=%+("-1)號(hào)2兀=27?1+(%*271),

27r27r

顯然函數(shù)＞=。。5■〃+(4-5)］的周期為3，而〃eN*,即cos%最多3個(gè)不同取值，又

{cos%|〃￡N*}={〃,b},

cos

貝［J在%，cos出，cosa3中，cosa{=cosa2wcosa3或cosaxwcosa2=cosa3,

27r27rTT

于是有cose=cos（e+§）,即有e+（e+-^-）=2左兀，左ez,解得。=E-§,左,

LLl'l1r-r1/7兀、/i兀、4jt兀、121兀1

所以1eZ,ab=cos（E-§）cosr［（析一+=-cos（標(biāo)一1）cosE=-coskTtcGS-=--.

故選：B

5.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S“，若跖=1,則%+%=（）

A.-2B.1C.1D.|

【答案】D

【解析】方法一：利用等差數(shù)列的基本量

9x8

由$9=1，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S9=9%+〒d=l=9%+36d=1,

22

%+%=%+2d+4+6d—24+8d——（9%+36d）——.

故選：D

方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，芻+ag=a,+a,,由品=1,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，

$9=9(%;%)=9(4；%)=1，故°3+%="|.

故選：D

方法三：特殊值法

12

不妨取等差數(shù)列公差"=。，貝?。?9=1=9%n%=-,則%+%=2%=-.

故選：D

6.(2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)記S“為等差數(shù)列{為}的前〃項(xiàng)和，已知$5=岳。，%=1,貝IIq=

()

【答案】B

【解析】由％-工=a6+a7+as+a9+aw=5as=0，貝[]%=0,

則等差數(shù)列｛%｝的公差d="分=一;，故％=%-4d=1-4x|17

故選：B.

7.（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記E,為等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，已知出=IH。=40

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)歹U｛|?！唬那啊?xiàng)和北,

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

a?—a[+d=11

〃[+d=114=13

由題意可得，幾=叫+?89d=4。,即2《+9d=8，解得

d=-2'

所以%=13-2(〃-1)=15-2〃,

”(13+15-2”)

(2)因?yàn)?=-14n-n2,

2

令。,,=15-2〃>0，解得，且"eN*,

當(dāng)時(shí)，貝?。?>0,可得北=同+同|+…+=%+°2+…+?！?S“=14〃一“2;

當(dāng)時(shí)，則％<。，可得[=同+同+…+|?|=(%+%+…+%)—(/+…+?！?

=$7—(S"—$7)=2$7—5,=2(14x7—T2)-(14〃一方)=n一14〃+98；

\4n-n2,n<l

綜上所述：T?=

n2-14H+98,H>8

8.（2024年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，若生+&=7,3%+%=5,貝U

【答案】95

〃]+2d+〃]+3d=7Q]——4

【解析】因?yàn)閿?shù)列?！盀榈炔顢?shù)列，則由題意得3(%+d)+q+4d=5'解得

d=3

1no

貝|]Eo=104+-^x―d=10X(—4)+45X3=95.

故答案為：95.

9.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）記S,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，設(shè)甲：｛%｝為等差數(shù)列；乙：｛）｝為

等差數(shù)列，貝！I()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【解析】方法1,甲：｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為為,公差為",

心T)dsddS,〃+1S-d

-%十T=

則Sn=nax+Cl,---

2n2212〃+1n2

因此｛-4為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；

n

反之，乙：聲4為等差數(shù)列，即鋁一.二一用為常數(shù)，設(shè)為J

nn+1nn(n+\)n(n+l)

na,—S

即r—吸=。，則-="?！?「人心+1)，有％=(〃T)a,_f?如T)，"N2,

a

兩式相減得：n=???+i-(?-!)??-2tn,即%+i-%=2J對(duì)〃=1也成立，

因此｛4｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為,公差為d,即S”="％+當(dāng)3d,

則2=%+紇=+,因此聲4為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

n222n

反之，乙：｛T為等差數(shù)列，即--==。,口=岳+(〃-1)。,

nn+lnn

即Sn=g+?(?-1)￡>,S,I=-1)岳+(77-1)(/7-2)D,

當(dāng)心2時(shí)，上兩式相減得：Sn-Si=岳+2(力-1)。，當(dāng)〃=1時(shí)，上式成立，

于是+2(〃T)。,又。用一。“=%+2"。-[4+2(〃-1)。]=2。為常數(shù),

因此｛%｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

考點(diǎn)2：等比數(shù)列基本量運(yùn)算

10(2023年新課標(biāo)全國(guó)n卷數(shù)學(xué)真題圮S,為等比數(shù)列上｝的前〃項(xiàng)和若見=-5￡=2電，則$8=().

A.120B.85C.-85D,-120

【答案】C

【解析】方法一：設(shè)等比數(shù)列｛0“｝的公比為4,首項(xiàng)為生,

若O=T,則邑=。"5，與題意不符，所以；

若4=1，貝1|S6=6%=3x2%=3s2*0，與題意不符，所以4"；

由S47,久=2電可得，口上_5,31=21x31①，

l-q1-q1-q

由①可得，l+q2+q4^21，解得:產(chǎn)=4,

所以良二)=)x(l+/)=_5x(l+16)=-85.

l-ql-q'7

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

因?yàn)?4=-5,艮=21邑，所以4片-1,否則其=0,

從而，$2,邑一S2，&—邑，58—￡成等比數(shù)歹！J,

5

所以有，(-5-邑)9~=$2(2電+5)，解得：邑=-1或邑,

當(dāng)邑=7時(shí)，S2,S4-S2,S6-S4,Ss-S6,即為-1,-4,-164+21,

易知，工+21=-64,即風(fēng)=一85;

當(dāng)時(shí)，S4=4+%+。4=(%+。2)(1+d)=(1+?2)$2>0,

與其=-5矛盾，舍去.

故選：C.

11.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前"項(xiàng)和S,,若q=1,

S-,貝明=()

A.—B.等C.15D.40

88

【答案】C

【解析】由題知i+q+丁+/+/=5(1+4+，)-4,

即/+/=曲+4/,即/+/一包一4=0,即(夕一2)(q+l)(q+2)=0.

由題知4>0,所以"2.

所以邑=1+2+4+8=15.

故選:C.

12（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S”，若q=2,%=2S,+2（〃eN）廁%=（）

A.16B.32C.54D.162

【答案】C

【解析】當(dāng)心2,〃eN*時(shí),%=2%+2,所以--%=2%,即*=3。*,

當(dāng)〃=1時(shí)，出=2S〃+2=24+2=6=3%,

所以數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列，

則。4=%/=54.

故選：C.

13.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知等比數(shù)列｛%｝的前3項(xiàng)和為168,%-%=42，則R=（）

A.14B.12C.6D,3

【答案】D

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為%4/0,

若4=1,則。2-4=。,與題意矛盾，

所以"1,

4（1一屋）”。

ax=96

%+%+%=j=168,解得,

則《1

4

a2-a5=axq-axq=42

所以&=%/=3.

故選：D.

14.（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）記S“為等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和.若8、=7聞，則｛。“｝的公比

為.

【答案】J

【解析】若4=1,

則由8s6=7Sj得8?6%=7?3%,則％=。，不合題意.

所以"1.

當(dāng)它1時(shí)，因?yàn)槌?7邑，

所以8?也二?二7?業(yè)二6,

1-q1—q

即8-（1-/）=7.。-0,即8小四_力=7.（1_力,即8.0+0=7,

解得L；.

故答案為：-;

aa=

15.（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知｛%｝為等比數(shù)列/4244a5=36,〃9%0/貝U%=.

【答案】-2

【解析】設(shè)｛%｝的公比為4（叱0）,則02aM=a3a6=a2q-a5q,顯然6H0,

a389

貝！I%=q2,即iQ=/，貝！1=1,因?yàn)閍9al0=-8，貝［|%q-axq=-8,

貝!J/5=（g5）3=_8=（_2）3,則“5二一2,貝！］%=g5=_2,

故答案為：-2.

考點(diǎn)3：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

16.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是籥、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其

中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直

徑依次為65mm,325mm,325mm,且斛量器的高為230mm,則斗量器的高為mm,升量器的高為一

mm

【答案】2357.5/竽

【解析】設(shè)升量器的高為4,斗量器的高為色（單位都是mm），則=10

故〃2=23mm,%=----mm.

故答案為：23mm,—mm.

17.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于祛碼的、

用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列｛%｝,該數(shù)列

的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且4=1烏=12,%=192,則%=；數(shù)列｛%｝所有項(xiàng)

的和為.

【答案】48384

【解析】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為d,后7項(xiàng)公比為4>0,

%192“

貝1144=j=石~=16,且4>0,可得4=2,

貝！=l+2d=—1,即l+2d=3,可得d=1,

q

空1：可得％=3,—48,

i?3（1-27）

仝2:弓+/+L+旬=1+2+3+3X2+…+3x26=3+.」=384

方法二：空1：因?yàn)椋?34〃47為等比數(shù)列，則a；=w9=12xl92=482,

且,所以。7=48;

2

又因?yàn)閃=。3。7,則。3=5=3；

a7

空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為q>0，貝收2=^=4，解得4=2,

—rg3（%+%）乙a-aq3-192x2,

可彳導(dǎo)a+a+a=-------=6,^+^+^+^4-^+^+6/=-39------------=38O11所crlX以,

1232891-q1<

%+%+L+?=6+381—%=384.

故答案為：48;384.

18.（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA,BB,CC',DD'^,相鄰

桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。2，CG，8片,/同是舉,

ODi，D3，CBi，B4是相等的步相鄰桁的舉步之比分別為照=05第=匕，斐=%件=h.已知左右人

UD]ZJC]。勺DA｝

成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則匕=（）

【答案】D

【解析】設(shè)=DCi=CB]=網(wǎng)=1,則CCi=k1,BB\=34=k3,

DD1+CC1+BB1+AAL

依題意，有％—0?2=配《—0]=左2，且=0.725

OD'+DCT+CBT+BA]

.0.5+3kA—0.3八一,,.八八

所以-----——=0.725,故勺=0.9,

故選：D

19.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我

國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{4}:

]b~114=1^1

bl+2=++

^~.?+±,?>——f…，依此類推，其中%?N*（左=1,2,…）.則（）

%

A.4<瓦B.b3Vb8C.b6Vb2D.b4<b7

【答案】D

【解析】[方法一]：常規(guī)解法

因?yàn)?eN*（左=1,2,…），

1--I->------I----

所以必〈%+二，％a+—，得到4>b2,

a2

11

CCsH--->a1H-------；_,__

b>b

同理?2a,+—，可得,i3

1111

--->-----------；-----,/~I---------7~</H------------------

Qf111

又因?yàn)閍2+Y~a2+-a2+j-

a、H-----03a3H-----

%%

故，&>"；

以此類推，可得仇>b3>b5>b7>…，4,故A錯(cuò)誤；

瓦>，>4，故B錯(cuò)誤；

11

屋〉1

2%+r，得仇<%,故c錯(cuò)誤；

a3+…——

%

11______

%H------------1----->%H-----------

11，得故D正確.

a2H----------a2+,??

%-----06+—

%%

［方法二］：特值法

—「——3?5,8?13?21?34155

不妨設(shè)=1，貝!)匕=2加2=不，b3=-,b4=-,b5=—,b6b7=—,b8=—,

2JJo1321J4

“〈"故口正確.

考點(diǎn)4：數(shù)列的最值問題

2Q

20.(2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)記S,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.已知學(xué)+”=2a,+1.

⑴證明：｛%｝是等差數(shù)列；

⑵若。4,%，%成等比數(shù)列，求S”的最小值.

2S

【解析】(1)因?yàn)椤?〃=2%+1,即25"+/=2%+〃①,

n

當(dāng)心2時(shí)，2S,T+(if=2(〃-l)a,i+(〃-l)②,

①—②得，2S〃+—2S〃_i一(〃-1)=2nan+n—2^n—\)an_x—(H-1),

即2a,,+2n-l=2nan-2+1

即2(〃-1)Q_I=2(〃-1)，所以%-%.i=l,且〃EN*,

所以｛%｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)［方法一］：二次函數(shù)的性質(zhì)

由(1)pj彳導(dǎo)氏="i+3,%=q+6,%=%+8.

又%,%,旬成等比數(shù)列，所以與之二。4，。9,

即(q+6)2=(4+3).(q+8)，解得q=-12,

n(n-\)

所以g=〃T3，所以S〃=-12〃+

2

所以，當(dāng)"=12或〃=13時(shí)，⑸）扁=-78.

［方法二］:【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法

由（1）可得知="i+3,g=%+6t%=%+8t

又％,%,旬成等比數(shù)列，所以。72=%/9，

即（％+6）2=（%+3>（%+8），解得q=-12,

所以4,=〃T3,即有％<七<,?,<%<°嗎3=°.

則當(dāng)”=12或〃=13時(shí)，（工需=-78.

【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S”的最小值，適用于可以求出，的表達(dá)式；

法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解.

21.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)｛4｝是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，貝『'｛%｝為遞增數(shù)列”是“存

在正整數(shù)N。，當(dāng)〃>N。時(shí)，an>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則4x0,記［可為不超過x的最大整數(shù).

若｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則d>0,

若/NO,貝［］當(dāng)”22時(shí)，an>>0；若％<0,則,

由%=%+（〃-1”>0可得〃>1得,取N。=1-號(hào)+1,則當(dāng)〃>N°時(shí),??>0,

所以，“｛%｝是遞增數(shù)列”="存在正整數(shù)或，當(dāng)時(shí)，%>0"；

若存在正整數(shù)乂，當(dāng)"〉乂時(shí)，an>0,取上eN*且左>砥，外>0,

假設(shè)"<0，令%=%+（〃一斤”<0可得左一今,S.k-^->k,

aa

當(dāng)〃>左一號(hào)+1時(shí)，。"<0,與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則d>0,即數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列.

所以，“｛%｝是遞增數(shù)列”仁“存在正整數(shù)￡,當(dāng)”>乂時(shí)，%>0”.

所以，“｛%｝是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)既，當(dāng)">乂時(shí)，⑸>0”的充分必要條件.

故選：C.

考點(diǎn)5：數(shù)列的遞推問題（蛛網(wǎng)圖問題）

22.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，且2S"=3%+「3.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛J｝的前〃項(xiàng)和.

【解析】（1）因?yàn)?S,=3%-3,故=3??-3,

所以2%=3??+1-3%（〃>2）即5a,=3限故等比數(shù)列的公比為q=：,

故2%=3%-3=3%x§-3=54-3，故％=1，故

(2)由等比數(shù)列求和公式得S

n2(3j2

所以數(shù)列｛邑｝的前〃項(xiàng)和

3

——n

2

23.（2024年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線C:尤2_/=機(jī)的>0）,點(diǎn)蟲5,4）在C上，上為常數(shù)，

0<a<1.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)匕（"=2,3,...）:過心作斜率為左的直線與C的左支交于點(diǎn)2-,令々為

2-關(guān)于）'軸的對(duì)稱點(diǎn)，記門的坐標(biāo)為（土,然）.

⑴若A=1,求％,%；

（2）證明：數(shù)列｛%一%｝是公比為匚的等比數(shù)列；

⑶設(shè)￡為AE￡+￡+2的面積，證明:對(duì)任意正整數(shù)，，s?=sn+l.

【解析】（1）

由已知有機(jī)=5?-4?=9,故C的方程為f-V=9.

當(dāng)k=；時(shí)，過，（5,4）且斜率為。的直線為＞=］，與--/=9聯(lián)立得至！］苫1：=9.

解得x=-3或x=5,所以該直線與C的不同于4的交點(diǎn)為。"-3,0）,該點(diǎn)顯然在C的左支上.

故5（3,0）,從而x2=3,%=0.

（2）由于過￡（x“,y,）且斜率為左的直線為了=Mx-x“）+匕，與/=9聯(lián)立，得到方程

2

x-（k（x-xn）+yn^=9.

展開即得（1一尸）/-2左（州一①）x--封J一9=0,由于々（演,券）已經(jīng)是直線了=左（》-%）+%和

x2-y2=9的公共點(diǎn)，故方程必有一根x=X"

從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根=2如"丁產(chǎn),相應(yīng)的

I—KI-K

y“+Ey,「2kx”

y=k(x-x)+y?=

nX-k2

所以該直線與C的不同于々的交點(diǎn)為『例，::J"",匕+2何j,而注意到°,的橫坐標(biāo)亦可通過

韋達(dá)ZE理表小為（"j尤，,故。"一定在c的左支上.

'x.+Qx.-Zky”了“+下％-2日“)

所以月+i

,1-k21-k2y

x“+Ex“-2ky”y”+Ey”_2kx“

這就得到x.+iy+i=

\-k2n1-k2

2

而'Jr”一五+上2%,-20"yn+kyn-2kxn

所以xn+l-y?+l-匚了-----------㈢----

一X"+Ex“+2kx“歹"+"2」“+20"_1+左2+2）/A1+^z.、

一l-k21-k2一1一/（七"）一］一尸尤卜

再由x；—貨=9，就知道西一%*0，所以數(shù)歹支七一%｝是公比為當(dāng)?shù)牡缺葦?shù)歹I」.

（3）方法一：先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)平面上三個(gè)點(diǎn)沙，若行=（凡6）,麗=（c"）,則黑W=^\ad-bc\.

（若。，匕印在同一條直線上，約定邑0力=。）

證明：S^uvw二三叫|麗卜.UVjJw=^w\-所Jl-cos?W,麗

/____\2

」西,|麗I/-i"|竺|='/|樹.|麗『-(斤加

2111\[K斗門叫2VlIIIV

=gJ(q2+62)(c2+d2)_(qc+6d)2

=—y]a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-b2d2-2abcd

2

=；J42d2+b2c2-2abed=；&ad-bej=^\ad-bc\.

證畢，回到原題.

由于上一小問已經(jīng)得到X"M=%+fX；2儀3+Hy,「2kx“

y+\=

nl-k2

2

乙+入廠2批yn+kyn—2kx〃_]+左22k1-k

故當(dāng)+i+y\=+++

n+\-k2i-k2\-k2\+k

再由X；—y；=9,就知道占+y產(chǎn)0,所以數(shù)歹1」｛無(wú)“十以｝是公比為公的等比數(shù)歹（J.

所以對(duì)任意的正整數(shù)〃？,都有

“〃>n+myn^n+m

=；((x”x“+?,-ynyn+m)+(X?y?+m-ynxn+m))-1((x?x?+m-ynyn+m)-(xnyn+m-y?xn+m))

=g(X"7“)(xn+m+>〃+m)-；(x〃+P〃)(xn+m-yn+m)

7

而又有匕+閨=（一（招+1一%），—（以+l—尤）），匕+￡+2=（%+2一%+1，%+2一笫+1）,

故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得

X-+XX

S,=S.,島,2=~|-(^?+l-?)(j?+2K+l)(K+t~y?)(?+2~n+\

=?h，+i-％)(匕+2-J?+l)-(^+l-%)(Z+2-X,+|

22、

19（1—左1+左9（1—左1+左9(l-k\+k

22\+kX-k

7

這就表明S“的取值是與〃無(wú)關(guān)的定值，所以S,,=5..

x.+Ex—ky,%,+Ey“-2kx“

方法二：由于上一小問已經(jīng)得到X用'yn+\

l-k2l-k2

%+丘-2機(jī)y?+k~yn—2kX"_1+左——2kl-k

故土+1+y=&+

n+l\-k2\-k2l-k2\+k

再由X；f2=9,就知道占+y產(chǎn)0,所以數(shù)列｛z+y?）是公比為E的等比數(shù)歹I」.

所以對(duì)任意的正整數(shù)加,都有

，〃歹n+myn^n+m

—5((X〃X〃+?M—y\yn+m)+(x“y〃+m—y〃*〃+加))一萬(wàn)加—yn+m)一+m-yn^n+m))

=；(x“一乂)(x“+m十%+m)一;(％+”)(%

+m-yn+m)

XX

以及相+l%+3一州+l%+3=5=nyn+2-ynn+2

兩式相減，即得(當(dāng)+2%+3一州+2Z+3)一(%+以+3一%+1Z+3)=(XJ.+J-%Z+J-(玉％+2一匕產(chǎn)“+2).

移項(xiàng)得到x“+2%+3一了戶”+2-x“+/“+3+”x“+|=yn+2xn+3-xnyn+1-y?+lxn+3+xnyn+i.

故（"+3-%）（x“+2-X"+l）=（%+2-%+J（x,+3-X,）.

而匕匕+3=（x.+3-X"，"+3-州）,￡+￡+2=（無(wú)n+2~Xn+1，%+2。+1）.

所以串第和麻瓦；平行，這就得到孫J.小S△匕+解+2匕+3,即S〃-S〃+l,

24.（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知數(shù)列｛4｝滿足，則（）

77

A.2<lOOd!<—B.—<100(2<3C.3<lOO?<-D.-<lOOdf<4

loo21]0n0nlooloo

【答案】B

7

【解析】4=1,易得〃2=ye（O,l）,依次類推可得%e（0,1）

I11311

——+-----

由題意，a?+i.F'即%?！?3—%)

an3—%

111

>-

3'

i>iLJ_11一"”)

aaa

x3'。3〃23433"'n-l

累加可得，T>：(〃7),gp—>|(?+2),(?>2),

0n3UnJ

.31…100「

，(〃22),即qoo<—/l°°"oo<—<3，

1111L

------<——1+—，（危2）

又?！?1an3-%3-33n+1

n+2

111+11111+g1+0

aaaa

。2"]3323433

累加可得^1＜；（〃T）+；111

----1------1-----H------,(心3),

%NJ23n

-----1<33+--+—+…+——<33+Hm4+—96<39

6z100---------3(23100J3(26)

即;<4°,?,?%<?>A,即lOOqoo>￡；

%oo4U2

綜上：|-<100?,00<3.

故選：B.

1-

25.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知數(shù)列｛%｝滿足??+1=-（%-6）+6（〃=1,2,3,…），則（）

A.當(dāng)為=3時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MW0，使得明〉M恒成立

B.當(dāng)q=5時(shí)，｛%｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M<6，使得巴<M恒成立

C.當(dāng)q=7時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M>6，使得恒成立

D.當(dāng)為=9時(shí),｛%｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)河>0，使得知<"恒成立

【答案】B

1.1.

【解析】法1：因?yàn)?=a（%-6）+6,故?！?i-6=a（a,-6）,

對(duì)于A，若q=3,可用數(shù)學(xué)歸納法證明：4-6V-3即a“V3,

證明：當(dāng)"=1時(shí)，^-6=-3<-3