2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：空間向量

2022年高考一輪復(fù)習(xí)熱點難點精講精析：7.3空間向量

一、直線的方向向量與直線的向量方程、平面的法向量與平面的向量表示

(一)用向量法證明平行、垂直

※相關(guān)鏈接※

1.用向量證明線面平行的方法有：

(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；

(2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；

(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示.

2.用向量法證垂直問題

(1)證明線線垂直，只需證明兩直線的方向向量數(shù)量積為0;

(2)證明線面垂直,只需證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為

證明線線垂直；

(3)證明面面垂直,只需證明兩平面的法向量的數(shù)量積為0,或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線

面垂直.

3.利用直線的方向向量和平面的法向量，可以判定直線與直線，直線與平面，平面與平面的平行和垂

直.

(1)設(shè)直線/的方向向量為%=(q，4，Ci)直線’的方向向量為也，。2)那么

12)設(shè)直線1的方向向量為%=(q，4，C])平面a的法向量為〃=(%,8,。2)那么

(3)設(shè)平面a的法向量為=(可,4，9)平面6的法向量%=(%力2，。2)那么

※例題解析※

K例》如下列圖，在四棱錐P-ABCD中，PC_L平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中，ZB=Z

C=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.

⑴求證:CM〃平面PAD;

(2)求證:平面PAB_L平面PAD.

思路解析：題目中存在從點C出發(fā)的三條兩兩垂直的直線，故可建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的坐標(biāo)

運算證明線面平行,線線垂直,面面垂直.

解答：以C為坐標(biāo)原點,CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如下列圖的

空間直角坐標(biāo)系Cxyz.

：PC_L平面ABCD,

/.ZPBC為PB與平面ABCD所成的角,

.,.ZPBC=30°.

VPC=2,.?.BC=2A/3,PB=4.

.-.D(0,1,0),B(2A/3,0,0),

A(2V3,4,0),P(0,0,2),M(—,0,-),

22

...DP=(0,-l,2),DA=(2百，3,0),CM=(—,0,-),

22

/f)P?7?=0?

(1)令i'一?：為平面PAD的一個法向量，那么！/r"?

ri

廣、+2:=0..,一

即|?VI.r+3.y=O.

令y=2,得"；、「；.二?11.

⑵取AP的中點E,那么/：712.I)./“?：一(一、樂2?D.

(二)異面直線所成的角

※相關(guān)鏈接※

高考中對異面直線所成的角的考查,一般出現(xiàn)在綜合題的某一步,一般步驟為：

(1)平移：要充分挖掘圖形的性質(zhì)，尋找平行關(guān)系,如利用“中點〃特征等.

(2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角.

尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

(4)取舍：因為異面直線所成的角。的取值范圍是0°<6^90°,所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的

補角作為異面直線所成的角.

假設(shè)用向量法，那么轉(zhuǎn)化為求兩向量的夾角.

※例題解析※

K例》如圖，矩形/氏/和梯形座汽C所在平面互相垂直，BE//CF,BCLCF,AD=6,EQ2,止3,

層4.

(I)求證：阮L平面DCE；

(II)當(dāng)26的長為何值時,二面角力1尸七的大小為60°.

解析：［I)證明：在△及方中，BCLCF,BC=AD-,BE-Z,/.EC=2^,

:在△尸"中，/="+/，J.EFLCE-......................3分

由條件知，2c_L平面EFCB,.\DC±￡F,

又DC與￡C相交于C,........................................................5分

.:①U平面DCE-..............................6分

(II)如圖，以點C為坐標(biāo)原點，以、CB,〃和切分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

C-xyz..................................7分

設(shè)/斤a(a〉O),那么C(0,0,0),Z(G,O,a),,0,0),E(也,3,0),F[0,4,0〕.

從而EF=(-V3,1,O),AE=(0,3,—a),.....................9分

設(shè)平面%F的法向量為〃=(%,%z),由EF?！?0,A￡?〃=0得，

「Gx+y=o,取戶1,那么y=M,z=正，

3y—az=0a

即〃=（1,G,更），....................II分

a

不妨設(shè)平面瓦窗的法向量為84=(0,0,〃)，

n-BA3A/3<2_1

由條件，得|cos<〃,A4〉|=

\n\\BA\a"/+272

解得a=2.所以當(dāng)AB=2時，二面角/-￡戶七的大小為60°.

22

(三)利用向量法解決開放性問題

※相關(guān)鏈接※

1.開放性問題是近幾年高考的一種常見題型，這類問題具有一定的思維深度，用向量法較容易解決.

2.對于探索性問題，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，假設(shè)

有解且滿足題意那么存在，假設(shè)有解但不滿足題意或無解那么不存在.

※例題解析※

[[例]如圖，正方形0BCD所在平面與等腰直角三角形A0D所在平面互相垂直，0A=0D=4,點E、F分

別為CD、0A的中點.

⑴求證:DF〃平面AEB；

⑵線段AD上是否存在一點M,使BM與平面AEB所成角的正弦值為巫假設(shè)存在，請求出巨兇的值;

18MA

假設(shè)不存在，請說明理由.

思路解析：第⑴問用傳統(tǒng)方法證明，即利用中位線定理在平面AEB內(nèi)找一條直線與DF平行；第⑵

問用向量法解答比較容易入手.

解答：(1)如圖，取AB中點G,連結(jié)FG,EG；'

：FG〃OB,

；.FG〃DE,

「11

又FG=—OB,DE=-OB,

22

；.FG=DE,

四邊形EDFG為平行四邊形，

；.DF〃EG,

又EGu平面AEB,DF(Z平面AEB,

；.DF〃平面AEB.

(2)依題意知平面OBCD_L平面AOD,OB±OD,

平面AOD,得OB_LOA,

又AO_LOD,OB±OD.

如圖，以0為原點，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,

VA0=0D=4,可得A(0,4,0)、E(4,0,2)、B(0,0,4),

AE=(4,-4,2),AB=(0,-4,4).

設(shè)平面AEB的一個法向量為n=(l,b,c),

解得b=2,c=2,

An=(l,2,2).

設(shè)線段AD上存在一點M(t,4-t,0),

其中0WtW4,那么BM=(t,4-t,-4).

可得t2+2t-8=0,解得t=2或t=-4(舍去).

所以AD上存在一點M(2,2,0),它是AD的中點，

二、空間直角坐標(biāo)系

(一)求空間中點的坐標(biāo)

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1、通過分析幾何體的特點，恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系，可以方便的寫出點的坐標(biāo)，“恰當(dāng)"的原那么是：①

充分利用幾何體的垂直關(guān)系；②盡可能的讓點落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上。

注：不同的建系方法，求出的點的坐標(biāo)也不同。

2、求空間點P坐標(biāo)的方法

方法一：(1)過點P作一個平面平行于坐標(biāo)平面yOz,這個平面與x軸的交點記為匕，它在x軸上的

坐標(biāo)為x,這個數(shù)x叫做點P的橫坐標(biāo)；

(2)過點P作一個平面平行于坐標(biāo)平面xOz,這個平面與y軸的交點記為P、,它在y軸上的坐標(biāo)為y,

這個數(shù)y叫做點P的縱坐標(biāo)；

13)過點P作一個平面平行于坐標(biāo)平面xOy,這個平面與z軸的交點記為E,它在z軸上的坐標(biāo)為z,

這個數(shù)z叫做點P的豎坐標(biāo)。顯然x軸上點的坐標(biāo)形如(x,0,0),xOy平面上點的坐標(biāo)形如(x,y,0).

方法二：從點P向三個坐標(biāo)平面作垂線，所得點P到三個平面的距離等于點P的對應(yīng)坐標(biāo)的絕對值，

進(jìn)而可求點P的坐標(biāo)。

※例題解析※

K例II正方體ABCD-AiBCDi的棱長為2,M為AC中點，N為ABi中點，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出M,N

兩點的坐標(biāo)。

思路解析：利用正方體的共頂點的三棱兩兩垂直建系，然后用求空間中點的坐標(biāo)的方法來求。

解答：如圖，

以A為原點，AB,AD,AA1分別為x,y,z軸的正半軸建立空間坐標(biāo)系。從M點分別向平面yAz,平面xAz,

平面xAy作垂線。?.?正方體的棱長為2,...M點的坐標(biāo)為(1,1,2).同理,N點坐標(biāo)為(1,0,1).

(二)空間中點的對稱問題

※相關(guān)鏈接※

1、常見對稱點的坐標(biāo)規(guī)律

在空間直角坐標(biāo)系中，點P(x,y,z),那么點P

11)關(guān)于原點的對稱點是(-x,-y,-z);

(2)關(guān)于x軸的對稱點是(x,-y,-z);

(3)關(guān)于y軸的對稱點是(-x,y,-z);

⑷關(guān)于z軸的對稱點是(-x,-y,z);

(5)關(guān)于xOy坐標(biāo)面的對稱點是(x,y,-z);

(6)關(guān)于yOz坐標(biāo)面的對稱點是(-X,y,z);

⑺關(guān)于zOx坐標(biāo)面的對稱點是(x,-y,z).

2、中點坐標(biāo)公式

假設(shè)A(x“yI,z)B3,y2>zj,那么線段AB的中點P的坐標(biāo)為(±±玉,A±A,幺土三)

222

3、利用中點坐標(biāo)公式也可求對稱點的坐標(biāo)。

※例題解析※

(例』矩形ABCD中，A[4,1,3),B[2,-5,1),C[3,7,-5),求頂點D的坐標(biāo)

思路解析：AC的中點即為BD中點，利用中點坐標(biāo)公式可求

7

解答：???矩形的對角線互相平分，，AC的中點即為BD的中點。由,AC中點M為(一，4,-1)。設(shè)D(x,y,z),

2

7+27_y—5z+1___]

,

那么？—'c''1',/.x=5,y=13,z=-3...D(5,13,-3).

(三)空間兩點間距離公式的應(yīng)用

K例1直三棱柱ABC-ABQ中,ZBAC=9Oo,AB=AC=AAi=2,M為BG的中點，N為AB的中點,求|MN|

思路解析：建立空間直角坐標(biāo)系一確定點M、N的坐標(biāo)T?求|MN|。

解答：如圖，

以A為原點，AB,AC,AA1為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么B(2,0,0),Ci

[0,2,2),Ai[0,0,2),Bi[2,0,2),AN[1,0,2),M[1,1,Ik?.|MN|=7Q-l)2+(0-l)2+(2-l)2=A/2O

注：利用空間中兩點間的距離公式，可以求兩點間的距離或某線段的長，只要建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通

過簡單的坐標(biāo)運算即可解決。

三、空間向量及其運算

(-)空間向量的線性運算

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用向量表示未知向量，一定要結(jié)合圖形?？蓮囊韵陆嵌热胧?。

〔1〕要有基向量意識，把有關(guān)向量盡量統(tǒng)一到基向量上來；

[2)把要表示感謝向量標(biāo)在封閉圖形中，表示為其他向量的和差的形式，進(jìn)而尋找這些向量與基向

量的關(guān)系。

(3)用基向量表示一個向量時，如果此向量的起點是從基底的公共點出發(fā)的，一般考慮用加法，否

那么考慮用減法，如果此向量與一個易求的向量共線，可用數(shù)乘。

(4)注意應(yīng)用以下結(jié)論,

①A為BC中點，。為空間任一點，那么。4=03+。。；

2

②A、B、C三點共線，。為空間任一點，那么。4=x08+(1-X)0C等。

※例題解析※

(例II如下列圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)AB=b,AD=c,M、N、P分別

是AAi、BC、CD的中點，試用a,b,c表示以下各向量:

(1)AP；(2)AN；[3)MP+NC]

思路解析：結(jié)合圖形，利用空間向量加減法及數(shù)乘運算法那么和運算律即可。

解答：⑴是CD的中點,

AP-+4+D[P=a+ADH—=a+cH—AB=a+cH—b

12)N是BC的中點，?*.MP=MA+AP——A,A+AP=—a+(a+cH—b)——an—Z?+c,

212222

又NC]=NC+CC、=；5C+AA]=；AD+AA]=；c+i,

111313

MP+NCX=(—a+—b+c)+(a+—c)=—a+—b+~c

(二)共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用

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應(yīng)用共線向量定理、共面向量定理，可以證明點共線、點共面、線共面。

1、證明空間任意三點共線的方法

對空間三點P,A,B可通過證明以下結(jié)論成立來證明三點共線：

⑴PAfPB；

⑵對空間任一點0,I."；：

⑶對空間任-點0,V\^1).

2、證明空間四點共面的方法

對空間四點P,M,A,B可通過證明以下結(jié)論成立來證明四點共面

MP=xMA-vMB；

OP=()M-

12)對空間任一點0,

⑶對空間任一點o,;（）均才.、.二=1）.

⑷PMAE（或PA//MB^PB//AM）.

1

注：在⑶中，假設(shè)r=?—n=—「；，那么點P即為AMAB的重心。

假設(shè)M（Xi，%,Zi）,A（X2，%,Z2）,B（X3，y3，Z3），P（x，%z）,那么假設(shè)P為AMAB的重心，那么

M+%+%,此即為三角形重心坐標(biāo)公式。

-3

“Z1+Z2+Z3

.3

※例題解析※

K例1設(shè)A,B,C及Ai,Bi,C分別是異面直線1A上的三點，而M,N,P,Q分別是線段AAi,BAi,

BBi,CQ的中點，求證：M,N,P,Q四點共面。

思路解析：

11

解答：由題意得，NM=-BAfNP=aA\B],：.BA=2NM，AB】=2NP.又A,B,C及A”Bi,3

1

分別共線，???BC=%3A,BC=5耳.又P。=]（5C+與。]）,

PQ=^（2BA+tA,B1）=^（2ANM+2tNP）=ANM+tNP.

PO,Mlf,NP共面.

四點共面.

（三）空間向量的數(shù)量積運算

K例[如圖，直三棱柱ABC-ABCi中，BCi±AB1）BCiXAiC,求證：AB尸AG

思路解析：利用直棱柱的性質(zhì)，可證明AB=AC,那么ABi=A￡。

解答：BC〕=BC+CC\,A]C=A]C]+CQ。

同理：AB]=AB+BB],BQ=BB}+耳。，

注：[1）利用向量的數(shù)量積，可以求異面直線所成的角，兩點間的距離，證明垂直等問題。當(dāng)題目條

件中有垂直關(guān)系時，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進(jìn)行應(yīng)用，非常方便。

12）利用向量解決幾何體中的長度、夾角、垂直等問題的根本思路是先根據(jù)條件選擇基向量，并求

出其長度和數(shù)量積，再用基向量表示出有關(guān)的向量，并進(jìn)行向量運算，從而得出相關(guān)結(jié)論。

（四〕空間向量的坐標(biāo)運算

※相關(guān)鏈接※

空間向量的有關(guān)運算

設(shè)a=(%,%,%)，9=(4也也)

11)坐標(biāo)運算

(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示

u—ba?b-aj>abab'均為非零向量)。

13)模和距離公式

假設(shè)A(ui-bt-Ci).Ba，b’c)?那么

d.\B=AB

=y(aa,)?(b,(c(j).

※例題解析※

(例F設(shè)向量"一(；；?'?：；?/，一<〔"?力?計算，a：："，?；：；〃：？/；，<；.〃以及

>>>?

"與所成角的余弦值，并確定入，口應(yīng)滿足的條件，使入a.與z軸垂直。

思路解析：代入向量坐標(biāo)運算的公式求36-3”)?；「力，利用數(shù)量積求”與，的夾

角余弦值，利用以)?確定入，口的關(guān)系。

解答：：〃,"=2/(3,5?1)-3/■<2-1-8L[6,10,-8)+16,3,24]=(12,13,16)。

3a''6=3X〔3,5,-4)-2X[2,1,8)=[9,15,-⑵-[4,2,16)=[5,13,-28)。

U-6=(3,5,-4)?(2,1,8)=6+5-32=-21.

,?；、a'b2177138-

cos(a.b)=-:----=—----------------------

labl廊.V6923。

由,；/U,t<<>''?'?'=(3X+2u,5X+p,-4X+8u)?(0,0,1)=-4A+8u=0,即A=2口，

...當(dāng)人，口滿足A=2口時,可使人二〃鼠與z軸垂直

四、立體幾何中的向量方法

(一)利用空間向量證明平行和垂直

※相關(guān)鏈接※

利用直線的方向向量和平面的法向量，可以判定直線與直線，直線與平面，平面與平面的平行和垂直。

〔1〕設(shè)直線4的方向向量為加=(⑷，8?°),直線4的方向向量為"=(分".c那么4

〃/..“IH.(?"?〕>Cl?I)?c)\eR);

⑵設(shè)直線/的方向向量為"=(a平面a的法向量為n=(a.b.c),那么

/〃a。u—〃：二Uia-b\I)t-ii一'：：I'：r-a,1i.3、、)=k(a-6.c)(R.

⑶設(shè)平面a的法向量為"，—(□?〃?Ci),平面B的法向量為"),那么a〃

B

O他〃”.<=>(U1=k(a-b?c)(kGR)；a_芹m_n<=^aia-bib-c,。=().

※例題解析※

R例』如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABCD,ABXAD,AC±CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC

的中點。

⑴證明AELCD；

(2)證明：PD_L平面ABE。

思路解析：①建立空間直角坐標(biāo)系一確定二的坐標(biāo)-計算AE?(T.^AE±CD；

②求面ABE的法向量”一判斷滿足1)1)~h11(底RPDL平面ABE或確定「「)、八口、AE坐

PD_AE

標(biāo)T■計算臼)?八比臼)?AEfPD_ABfPD，平面ABE

解答：[1)TAB、AD、AP兩兩垂直，建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PA=AB=BC=1,那么P[0,0,1)。

(二)利用空間向量求點面距

※相關(guān)鏈接※

利用向量法求點面距，其步驟如下：

11)求出該平面的一個法向量；

(2)找出過該點的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；

(3)求出法向量與斜線段所對應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點面平面的距

離，如圖:

點P到平面a的距離n

n?

~~=n

由于"可以視為平面的單位法向量，所以點到平面的距離實質(zhì)就是平面的單位法向量與從該

點出發(fā)的斜線段所對應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對值，即‘AP?>i

※例題解析※

K例北京卷16〕如圖，在三棱錐尸—ABC中，AC=BC=2,NAC3=90,AP=BP=AB,

PC1AC.

(I〕求證：PC1AB；

UI)求二面角8—4P—C的大小;

(III)求點C到平面AP5的距離.

思路解析：題中(I)利用PACPBC證明；題中(n)(III)可利用題中［I］的結(jié)論:

PC,AC,BC兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系求解。

解法一:

(I)取中點D,連結(jié)PDCD.

AP=BP,

PDLAB.

AC=BC,

CDLAB.

PDCD=D,

A3,平面PCD.

PCu平面PCD,

PCLAB.

[II)AC=BC,AP=BP,

.■.△APC^ABPC.P

又PC，AC,

PC1BC.

又NACB=90,即ACLBC,且ACPC=C,

BC,平面PAC.

取AP中點E.連結(jié)BE,CE.

AB=BP,BELAP.

EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，

CELAP.

：.NBEC是二面角B-AP-C的平面角.

在△BCE中，NBCE=90,BC=2,BE=—AB=46,

2

BC

...sin/B.EC--------屈--.

BE3

二面角B-AP-C的大小為arcsin—.

3

[III）由[I）知A3,平面PC。，

平面APB±平面PCD.

過C作C"_LPD,垂足為H.

:平面APB平面PCD=PD,

:.CH，平面APB.

：.CH的長即為點C到平面APB的距離.

由（I）知PC，,又PCAC,且ABAC=A,

：.PCmABC.

CDu平面ABC,

PCICD.

在RtZXPCD中，CD=—AB=4i,PD=—PB=s/6,

22

PC=y]PD2-CD-=2.

“PCxCD273

C/i=--------------=--------.

PD3

點C到平面APB的距離為述.

3

解法二：

(I)AC=BC,AP=BP,

.?△APC注ABPC.

又「CJ.AC,

PCIBC.

ACBC=C,

PC_L平面ABC.

A3u平面ABC,

PCIAB.

UI)如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C-孫z.

那么C(0,0,0),40,2,0)，3(2,0,0).

設(shè)尸(0,0,t).

\PB\=\AB\=2s/2,

:.t=2,P(0,0,2).

取AP中點E,連結(jié)BE,CE.

\AC\=\PC\,\AB\=\BP\,

CELAP,BE1AP.

NBEC是二面角B-AP-C的平面角.

E(0,l,l),EC=(0,—1,—1),E3=(2,—1,—1),

EC?EB2__

cosZBEC=

EC~EBV2xV6-3

二面角B-AP-C的大小為arccos—.

3

(III)AC=BC=PC,

:.C在平面APB內(nèi)的射影為正AAPB的中心〃，且CH的長為點C到平面APB的距離.

如（II）建立空間直角坐標(biāo)系C-孫2.

BH=2HE,

.?.點〃的坐標(biāo)為（2,2,2].

（333）

.?.點C到平面APB的距離為述.

3

（三）利用空間向量求空間角

K例』湖北卷18.〔本小題總分值12分）

如圖，在直三棱柱A3C—4B1G中，平面ABC，側(cè)面

[I）求證：ABLBC；

[