2023-2024學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)突破：概率相關(guān)（解析版）

專題22概率相關(guān)

考點(diǎn)1：事件的分類；考點(diǎn)2：概率計(jì)算；考點(diǎn)3：游戲公平性；考點(diǎn)4：概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合。

題型01事件的分類

?1.下列事件中的必然事件是（）

A.地球繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn)

B.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心

C.天空出現(xiàn)三個(gè)太陽(yáng)

D.經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈

解：地球繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn)是必然事件，所以/符合題意；

射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心是隨機(jī)事件，所以5不符合題意；

天空出現(xiàn)三個(gè)太陽(yáng)是不可能事件，所以C不符合題意；

經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口遇到紅燈是隨機(jī)事件，所以D不符合題意.

答案：A.

2.（易錯(cuò)題）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件是隨機(jī)事件的是（）

A.點(diǎn)數(shù)的和為1B.點(diǎn)數(shù)的和為6

C.點(diǎn)數(shù)的和大于12D.點(diǎn)數(shù)的和小于13

解：4兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)的和為1,是不可能事件，故不符合題意；

兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6,是隨機(jī)事件，故符合題意；

C、點(diǎn)數(shù)的和大于12,是不可能事件，故不符合題意；

。、點(diǎn)數(shù)的和小于13,是必然事件，故不符合題意；

答案：B.

3.下列成語(yǔ)所描述的事件屬于不可能事件的是（）

A.水落石出B.水漲船高C.水滴石穿D.水中撈月

解：/、水落石出，是必然事件，不符合題意；

8、水漲船高，是必然事件，不符合題意；

C、水滴石穿，是必然事件，不符合題意；

。、水中撈月，是不可能事件，符合題意;

答案：D.

4.下列事件為確定事件的有（）

（1）打開(kāi)電視正在播動(dòng)畫(huà)片

（2）長(zhǎng)、寬為"2,〃的矩形面積是加"

（3）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上

（4）it是無(wú)理數(shù)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解：（1）打開(kāi)電視正在播動(dòng)畫(huà)片，是隨機(jī)事件，不合題意；

（2）長(zhǎng)、寬為加，"的矩形面積是機(jī)"，是確定事件，符合題意；

（3）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上，是隨機(jī)事件，不合題意；

（4）it是無(wú)理數(shù)，是確定事件，符合題意；

答案：B.

5.（易錯(cuò)題）下列說(shuō)法正確的是（）

A.將油滴入水中，油會(huì)浮在水面上是不可能事件

B.拋出的籃球會(huì)下落是隨機(jī)事件

C.了解一批圓珠筆芯的使用壽命，采用普查的方式

D.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，S甲2=2,S乙2=2.5,則甲組數(shù)據(jù)較穩(wěn)定

解：/、將油滴入水中，油會(huì)浮在水面上是必然事件，故N不符合題意；

B.拋出的籃球會(huì)下落是必然事件，故2不符合題意；

C、了解一批圓珠筆芯的使用壽命，采用抽樣調(diào)查的方式，故C不符合題意；

D、若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，S甲2=2,S乙2=2.5,則甲組數(shù)據(jù)較穩(wěn)定，故。符合題意；

答案：D.

6.在相同條件下的多次重復(fù)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率為力該事件的概率為P下列說(shuō)法正確的是（）

A.試驗(yàn)次數(shù)越多，/越大

B./與尸都可能發(fā)生變化

C.試驗(yàn)次數(shù)越多，/越接近于P

D.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，了在尸附近擺動(dòng)，并趨于穩(wěn)定

解在多次重復(fù)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且趨于穩(wěn)定這個(gè)性質(zhì)稱為頻率的

穩(wěn)定性.

答案：D.

題型02概率計(jì)算

7.將10枚黑棋子、5枚白棋子裝入一個(gè)不透明的空盒子里，這些棋子除顏色外無(wú)其他差別，從盒子中隨機(jī)取出一

枚棋子，則取出的棋子是黑棋子的概率是（）

1112

A.-B.-C.-D.—

解：從盒子中隨機(jī)取出一枚棋子有15種等可能結(jié)果，其中取出的棋子是黑棋子的有10種結(jié)果，

102

所以其概率為五?=『

答案：D.

8.五一期間，商場(chǎng)推出購(gòu)物有獎(jiǎng)活動(dòng)：如圖，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被平均分成六份，其中紅色1份，黃色2

份，綠色3份，轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，指針指向紅色為一等獎(jiǎng)，指向黃色為二等獎(jiǎng)，指向綠色為三等獎(jiǎng)（指針指向兩個(gè)

扇形的交線時(shí)無(wú)效，需重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤）.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，獲得一等獎(jiǎng)的概率為（）

111

A.1B.—C.-D.—

o3Z

解：轉(zhuǎn)盤共分成6等份，其中紅色區(qū)域1份，即獲得一等獎(jiǎng)的區(qū)域是1份，

1

所以獲得一等獎(jiǎng)的概率是7

O

答案：B.

9.（易錯(cuò)題）“千門萬(wàn)戶瞳瞳日，總把新桃換舊符”.春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，古人常用寫''桃符”的方式來(lái)祈

福避禍，而現(xiàn)在，人們常用貼“?！弊?、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來(lái)表達(dá)對(duì)新年的美好祝愿.某商家在春節(jié)期間開(kāi)

展商品促銷活動(dòng)，顧客凡購(gòu)物金額滿100元，就可以從“?！弊帧⒋郝?lián)、燈籠這三類禮品中免費(fèi)領(lǐng)取一件.禮品

領(lǐng)取規(guī)則顧客每次從裝有大小、形狀、質(zhì)地都相同的三張卡片（分別寫有“福”字、春聯(lián)、燈籠）的不透明袋

子中，隨機(jī)摸出一張卡片，然后領(lǐng)取一件與卡片上文字所對(duì)應(yīng)的禮品，現(xiàn)有2名顧客都只領(lǐng)取了一件禮品，那么

他們恰好領(lǐng)取同一類禮品的概率是（)

解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

???一共有9種等可能得情況，他們恰好領(lǐng)取同一類禮品的情況有3種，

31

...他們恰好領(lǐng)取同一類禮品的概率是：-=

答案：C.

10.一個(gè)僅裝有球的不透明布袋里只有6個(gè)紅球和〃個(gè)白球（僅有顏色不同）.若從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概

2

率為g，則n=9.

62

解：根據(jù)題意，7T-=7>

6+715

解得n=9,

經(jīng)檢驗(yàn)〃=9是方程的解.

.'.n=9.

答案：9.

11.圍棋起源于中國(guó)，棋子分黑白兩色.一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)黑色棋子和若干個(gè)白色棋子，每個(gè)棋子除顏

1

色外都相同，任意摸出一個(gè)棋子，摸到黑色棋子的概率是了，則盒中棋子的總個(gè)數(shù)是12個(gè).

q

1

解：由題意：3+了=12（個(gè)），

答案：12.

12.（易錯(cuò)題）一個(gè)袋中裝有a個(gè)紅球，10個(gè)黃球，6個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同，任意摸出一個(gè)球，摸到黃

球的概率與不是黃球的概率相同，那么a與6的關(guān)系是a+b=10.

解：???任意摸出一個(gè)球，摸到黃球的概率與不是黃球的概率相同，

摸到黃球的概率為0.5,

，袋中球的總數(shù)為：10+0.5=20,

；?a+b+10=20,

??〃+b=10,

答案：a+b=10.

尊琳題型03游戲公平性

13.（易錯(cuò)題）小穎和小亮都想去觀看“垃圾分類”宣傳演出，但只有一張入場(chǎng)券，于是他們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)“配紫色”

游戲：A,8是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，每個(gè)轉(zhuǎn)盤都被分成面積相等的幾個(gè)扇形.同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，如果其

中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，那么可以配成紫色.若配成紫色，則小穎去觀看，否則小亮去

觀看.這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下:

就

nnnn紅

籃藍(lán)紅

紅紅藍(lán)紅藍(lán)紅紅

共有6種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中配成紫色的有3種，配不成紫色的有3種,

31

??/（小穎）?6?2，

31

《（小亮）一6一2，

因此游戲是公平.

14.4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字0、1、-2、3,將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)

字記錄下來(lái)；再?gòu)挠嘞碌?張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái).

1

（1）第一次抽取的卡片上數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率為T；

-4-

（2）小敏設(shè)計(jì)了如下游戲規(guī)則：當(dāng)?shù)谝淮斡涗浵聛?lái)的數(shù)字減去第二次記錄下來(lái)的數(shù)字所得結(jié)果為非負(fù)數(shù)時(shí)，甲

獲勝；否則，乙獲勝.小敏設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）

1

解：（1）第一次抽取的卡片上數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率為不

1

答案：4-

（2）列表如下:

01-23

01-23

1-1-32

-2235

3-3-2-5

由表可知，共有12種等可能結(jié)果，其中結(jié)果為非負(fù)數(shù)的有6種結(jié)果，結(jié)果為負(fù)數(shù)的有6種結(jié)果,

61

所以甲獲勝的概率=乙獲勝的概率=運(yùn)=5，

二此游戲公平.

15.（易錯(cuò)題）如圖，A,3兩個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)盤/上的數(shù)字分別是-6,-1,

5,轉(zhuǎn)盤B上的數(shù)字分別是6,-7,4（兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同外，其他完全相同）.小聰和小明同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)4

2兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，使之旋轉(zhuǎn)（規(guī)定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉(zhuǎn)一次）.

1

（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤/指針指向正數(shù)的概率是-;

-3-

（2）若同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤4指針?biāo)傅臄?shù)字記為〃，轉(zhuǎn)盤5指針?biāo)傅臄?shù)字記為6,若。+6>0,則小聰

獲勝；若Q+bVO,則小明獲勝；請(qǐng)用列表法或樹(shù)狀圖法說(shuō)明這個(gè)游戲是否公平.

解：（1）??7帶指針的轉(zhuǎn)盤被分成三個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)盤上的數(shù)字分別是-6,-1,5,其中正數(shù)有1個(gè),

一1

二?P（轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤4指針指向正數(shù)）=1

1

答案：］

（2）列表如下:

-6-15

60511

-7-13-8-2

4-239

一共有9種等可能的結(jié)果，其中。+6>0有4種可能的結(jié)果，。+6<0有4種等可能的結(jié)果,

4

:.P（小聰獲勝）=三，

4

p（小明獲勝）=5，

■:p（小聰獲勝）=P（小明獲勝），

...這個(gè)游戲公平.

16.（易錯(cuò)題）現(xiàn)有H8兩個(gè)不透明的袋子，/袋的4個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4；8袋的3個(gè)小球分別標(biāo)有

數(shù)字1,2,3.（每個(gè)袋中的小球除數(shù)字外，其它完全相同.）

1

（1）從，，8兩個(gè)袋中各隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩個(gè)小球上數(shù)字相同的概率是_：_；

（2）甲、乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則是：甲從/袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，乙從8袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，若甲、

乙兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)，則甲勝否則乙勝，用列表或樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)規(guī)則對(duì)甲、乙兩人是

否公平.

解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖如圖:

共有12個(gè)等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)數(shù)字相同的結(jié)果有3個(gè),

31

兩個(gè)小球上數(shù)字相同的概率是二=R

1Z4

1

答口本案?.—4，?

（2）這個(gè)規(guī)則對(duì)甲、乙兩人是公平的.

畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

開(kāi)始

2

/TV.

123412341234

234534564567

由樹(shù)狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)有6種，兩人摸到小球的數(shù)字之和為

偶數(shù)的也有6種,

._1

:甲獲勝=尸乙獲勝=5,

此游戲?qū)﹄p方是公平的.

題型04概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合

17.某校為落實(shí)國(guó)家“雙減”政策，豐富課后服務(wù)內(nèi)容，為學(xué)生開(kāi)設(shè)五類社團(tuán)活動(dòng)（要求每人必須參加且只參加一

類活動(dòng)）：A.音樂(lè)社團(tuán)；氏體育社團(tuán)；C.美術(shù)社團(tuán)；D.文學(xué)社團(tuán)；E.電腦編程社團(tuán).該校為了解學(xué)生對(duì)這

五類社團(tuán)活動(dòng)的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整

的統(tǒng)計(jì)圖.

根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：

（1）此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了200名學(xué)生,補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角a=54度;

（3）現(xiàn)從“文學(xué)社團(tuán)”里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)選取兩名參加演講比賽，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)

狀圖的方法求出恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率.

解：（1）此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取的學(xué)生人數(shù)為：50?25%=200（名），

的人數(shù)為：200-30-50-70-20=30（名），

答案：200,

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下:

4人數(shù)

30

(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角a=360°x200~54°*

答案：54；

（3）畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

開(kāi)始

甲乙

/N/K

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2種,

21

..?恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率為運(yùn)=%.

18.某中學(xué)為了了解學(xué)生最喜歡的課外活動(dòng)，以便更好開(kāi)展課后服務(wù)，隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查.調(diào)查

問(wèn)卷如下:

調(diào)查問(wèn)卷

在下列課外活動(dòng)中，你最喜歡的是（）（單選）

A.文學(xué)民科技C.藝術(shù)。.體育

填完后，請(qǐng)將問(wèn)卷交給教務(wù)處.

根據(jù)統(tǒng)計(jì)得到的數(shù)據(jù)，繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

人數(shù)/人

（1）本次調(diào)查采用的調(diào)查方式為抽樣調(diào)查（填寫“普查”或“抽樣調(diào)查”）;

（2）在這次調(diào)查中，抽取的學(xué)生一共有200人;扇形統(tǒng)計(jì)圖中〃的值為22；

（3）已知選擇“科技”類課外活動(dòng)的50名學(xué)生中有30名男生和20名女生.若從這50名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名

2

學(xué)生座談，且每名學(xué)生被抽到的可能性相同，則恰好抽到女生的概率是7；

（4）若該校共有1000名學(xué)生參加課外活動(dòng)，則估計(jì)選擇“文學(xué)”類課外活動(dòng)的學(xué)生有350人.

解：（1）本次調(diào)查采用的調(diào)查方式為抽樣調(diào)查；

答案：抽樣調(diào)查；

44

（2）V70-=-35%=200（人），—x100%=22%,

...在這次調(diào)查中，抽取的學(xué)生一共有200人；扇形統(tǒng)計(jì)圖中〃的值為22；

答案:200,22；

202

（3）恰好抽到女生的概率是而=號(hào)；

2

答案:.

（4）估計(jì)選擇“文學(xué)”類課外活動(dòng)的學(xué)生有1000X35%=350（人），

答案：350.

19.（易錯(cuò)題）為提高學(xué)生的安全意識(shí)，某學(xué)校組織學(xué)生參加了“安全知識(shí)答題”活動(dòng).該校隨機(jī)抽取部分學(xué)生答

題成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將成績(jī)分為四個(gè)等級(jí)：A（優(yōu)秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根據(jù)結(jié)果繪制成如

圖所小的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

學(xué)生答題成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖

（1）這次抽樣調(diào)查共抽取50人,條形統(tǒng)計(jì)圖中的直=7；

（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求C等所在扇形圓心角的度數(shù);

（3）該校有1200名學(xué)生，估計(jì)該校學(xué)生答題成績(jī)?yōu)镹等和3等共有多少人；

（4）學(xué)校要從答題成績(jī)?yōu)?等且表達(dá)能力較強(qiáng)的甲、乙、丙、丁四名學(xué)生中，隨機(jī)抽出兩名學(xué)生去做“安全知

識(shí)宣傳員”，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求抽出的兩名學(xué)生恰好是甲和丁的概率.

解：（1）由統(tǒng)計(jì)圖可得，

這次抽樣調(diào)查共抽取：16+32%=50（人），

%=50義14%=7,

答案：50,7；

（2）由（1）知，m=7,

等級(jí)為A的有：50-16-15-7=12（人），

補(bǔ)充完整的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，

15

C等所在扇形圓心角的度數(shù)為：360°X—=108°;

（3）1200X（24%+32%）

=1200X56%

=672（人7

即估計(jì)該校學(xué)生答題成績(jī)?yōu)锳等和B等共有672人;

（4）樹(shù)狀圖如下所示：

開(kāi)始

小小小小

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

由上可得，一共存在12種等可能性，其中抽出的兩名學(xué)生恰好是甲和丁的可能性有2種,

21

???抽出的兩名學(xué)生恰好是甲和丁的概率為運(yùn)」.

學(xué)生答題成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖

20.某校為了解學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制了以下不

完整的統(tǒng)計(jì)圖表（如圖所示）.

學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)表

平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)工/加比人數(shù)

0cxW2020

20VxW40a

40VxW6025

60cxW80