《動態(tài)規(guī)劃方法》課件

動態(tài)規(guī)劃方法動態(tài)規(guī)劃是解決優(yōu)化問題的一種強(qiáng)大方法。它通過將復(fù)雜問題分解成更小的子問題來解決，并存儲子問題的解決方案，以便在需要時重復(fù)使用。動態(tài)規(guī)劃概述動態(tài)規(guī)劃是一種將復(fù)雜問題分解成子問題，并通過存儲子問題的解來避免重復(fù)計(jì)算的方法。它適用于具有重疊子問題和最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)的問題，通過遞推的方式逐步求解。動態(tài)規(guī)劃在計(jì)算機(jī)科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。動態(tài)規(guī)劃的基本思想分解問題將一個復(fù)雜的問題分解成多個相互重疊的子問題。存儲結(jié)果將每個子問題的解存儲起來，避免重復(fù)計(jì)算。自底向上從最小的子問題開始，逐步解決更大的子問題，最終得到整個問題的解。動態(tài)規(guī)劃的主要特點(diǎn)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問題可以分解成更小的子問題，這些子問題的解可以用來構(gòu)建整個問題的解。重疊子問題解決一個問題時會遇到很多重復(fù)的子問題，動態(tài)規(guī)劃方法可以通過存儲中間結(jié)果來避免重復(fù)計(jì)算。自底向上求解從最小的子問題開始逐步構(gòu)建整個問題的解，并存儲每個子問題的解。動態(tài)規(guī)劃解題流程11.問題分解將原問題分解成若干個子問題。22.狀態(tài)定義定義狀態(tài)，表示子問題的結(jié)果。33.狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程建立狀態(tài)之間的關(guān)系，即狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。44.邊界條件確定初始狀態(tài)或邊界條件。55.求解根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，自底向上或自頂向下求解。斐波那契數(shù)列求解1問題描述給定一個正整數(shù)n，求解第n個斐波那契數(shù)。2動態(tài)規(guī)劃思路建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，利用前兩個斐波那契數(shù)計(jì)算出第n個數(shù)。3代碼實(shí)現(xiàn)使用循環(huán)或遞歸的方式實(shí)現(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。最長公共子序列問題問題描述給定兩個字符串，求它們的最長公共子序列。子序列定義子序列指的是從原序列中選取一些字符，保持其相對順序不變，形成的新的序列。動態(tài)規(guī)劃解法使用二維數(shù)組存儲子問題的解，自底向上遞推求解。背包問題1背包容量有限的背包空間2物品價值每個物品的價值3物品重量每個物品的重量矩陣連乘問題1問題描述給定n個矩陣的序列，求解最優(yōu)的矩陣連乘順序，使得所需的標(biāo)量乘法次數(shù)最少。2動態(tài)規(guī)劃解法定義狀態(tài)dp[i][j]表示第i個矩陣到第j個矩陣的最優(yōu)連乘次數(shù)。3狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j])，其中k∈[i,j-1]最短路徑問題1問題描述尋找從起點(diǎn)到終點(diǎn)的最短路徑2應(yīng)用場景導(dǎo)航軟件、交通路線規(guī)劃3動態(tài)規(guī)劃解法計(jì)算每個節(jié)點(diǎn)到終點(diǎn)的最短路徑狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的定義定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是動態(tài)規(guī)劃算法的核心，它描述了問題狀態(tài)之間如何相互轉(zhuǎn)換。作用通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，可以將問題分解成子問題，并利用子問題的解來求解最終問題。形式狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程通常用遞歸的形式表示，它表示當(dāng)前狀態(tài)的值如何由之前的狀態(tài)計(jì)算得出。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的建立1問題分析明確問題，確定狀態(tài)2狀態(tài)定義用狀態(tài)變量表示問題3狀態(tài)轉(zhuǎn)移建立狀態(tài)之間的關(guān)系4方程表達(dá)用數(shù)學(xué)語言描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)定義與狀態(tài)轉(zhuǎn)移1狀態(tài)定義動態(tài)規(guī)劃算法的核心是將問題分解成多個子問題，每個子問題對應(yīng)一個狀態(tài)，狀態(tài)定義包含了求解問題所需的必要信息。2狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移是指通過已知狀態(tài)的值來推算其他狀態(tài)的值，即如何從一個狀態(tài)到達(dá)另一個狀態(tài)。3狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程描述了狀態(tài)之間的關(guān)系，是動態(tài)規(guī)劃算法的核心公式。邊界條件的確定初始狀態(tài)動態(tài)規(guī)劃算法的初始狀態(tài)通常對應(yīng)于問題最基本的情況，這些情況通常比較容易求解。特殊情況需要考慮各種特殊情況，例如空字符串、空數(shù)組、邊界值等，并確保算法在這些情況下也能正常工作。邊界值處理邊界值的正確處理是確保算法正確性的關(guān)鍵，需要仔細(xì)分析問題，并確定邊界值的正確取值范圍。自底向上求解計(jì)算初始狀態(tài)首先計(jì)算最小的子問題結(jié)果。逐步構(gòu)建基于已經(jīng)計(jì)算的子問題結(jié)果，逐步構(gòu)建更大問題的解。最終目標(biāo)最終計(jì)算出整個問題的解。自頂向下求解1遞歸調(diào)用從最終目標(biāo)開始，遞歸地計(jì)算子問題。2備忘錄記錄已計(jì)算過的子問題結(jié)果，避免重復(fù)計(jì)算。3自頂向下逐步回溯，最終得出最終結(jié)果。動態(tài)規(guī)劃的復(fù)雜度分析O(n)時間復(fù)雜度通常與狀態(tài)空間的大小成正比O(n)空間復(fù)雜度取決于存儲狀態(tài)所需的空間動態(tài)規(guī)劃算法優(yōu)化1空間優(yōu)化減少存儲空間需求，例如滾動數(shù)組優(yōu)化。2時間優(yōu)化改進(jìn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，減少計(jì)算量。3剪枝去除無用的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，提高效率。動態(tài)規(guī)劃應(yīng)用領(lǐng)域算法設(shè)計(jì)與優(yōu)化動態(tài)規(guī)劃廣泛應(yīng)用于算法設(shè)計(jì)與優(yōu)化，如最短路徑問題、背包問題、序列比對等。金融領(lǐng)域在金融領(lǐng)域，動態(tài)規(guī)劃用于投資組合管理、期權(quán)定價和風(fēng)險管理。生物信息學(xué)動態(tài)規(guī)劃在生物信息學(xué)中用于序列比對、基因組組裝和蛋白質(zhì)折疊預(yù)測。遞歸與動態(tài)規(guī)劃的區(qū)別遞歸遞歸算法將問題分解為更小的子問題，然后通過解決子問題來解決原問題。遞歸算法通常比較簡潔，但可能會導(dǎo)致重復(fù)計(jì)算，從而降低效率。動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃算法通過存儲子問題的解來避免重復(fù)計(jì)算，從而提高效率。動態(tài)規(guī)劃算法通常比較復(fù)雜，但能夠解決更復(fù)雜的問題。記憶化搜索技術(shù)減少重復(fù)計(jì)算，提高效率。緩存中間結(jié)果，避免重復(fù)求解。遞歸搜索過程中記錄已計(jì)算過的結(jié)果。動態(tài)規(guī)劃實(shí)現(xiàn)技巧空間優(yōu)化減少內(nèi)存使用，提高效率。滾動數(shù)組利用數(shù)組的循環(huán)特性，減少空間復(fù)雜度。狀態(tài)壓縮將狀態(tài)信息編碼成二進(jìn)制，減少內(nèi)存使用。動態(tài)規(guī)劃的空間優(yōu)化減少內(nèi)存使用，降低空間復(fù)雜度。優(yōu)化算法性能，提高運(yùn)行效率。采用滾動數(shù)組或其他技巧來降低空間需求。動態(tài)規(guī)劃解決問題模型最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問題的最優(yōu)解可以由子問題的最優(yōu)解組成。重疊子問題在求解過程中，可能會重復(fù)出現(xiàn)相同的子問題。動態(tài)規(guī)劃經(jīng)典問題講解背包問題如何選擇物品放入背包，以最大化價值，同時滿足背包容量限制。最長公共子序列問題找出兩個序列最長的公共子序列，應(yīng)用于文本比對和基因序列分析。矩陣連乘問題尋找最優(yōu)的矩陣連乘順序，以最小化計(jì)算次數(shù)，提高效率。最短路徑問題尋找從起點(diǎn)到終點(diǎn)的最短路徑，應(yīng)用于地圖導(dǎo)航和網(wǎng)絡(luò)路由。動態(tài)規(guī)劃解題方法總結(jié)1識別問題結(jié)構(gòu)確定問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，即最優(yōu)解可以通過子問題的最優(yōu)解來構(gòu)造。2定義狀態(tài)定義狀態(tài)變量，用來表示子問題的解，通常需要考慮問題的輸入?yún)?shù)和子問題的范圍。3建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程根據(jù)問題的定義和最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，建立狀態(tài)之間的遞推關(guān)系，即如何從子問題的解得到當(dāng)前問題的解。4邊界條件確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的初始條件，通常是子問題最小的規(guī)模，即最簡單的子問題。動態(tài)規(guī)劃思想啟示分解問題將復(fù)雜問題分解成更小的子問題，然后遞歸地解決這些子問題。保存中間結(jié)果存儲子問題的解，避免重復(fù)計(jì)算，提高效率。自底向上求解從最小的子問題開始，逐步構(gòu)建解決方案。動態(tài)規(guī)劃課后思考動態(tài)規(guī)劃的學(xué)習(xí)不僅僅是掌握方法和技巧，更重要的是理解其內(nèi)在的思想和應(yīng)用。在學(xué)習(xí)完動態(tài)規(guī)劃之后，我們可以思考以下問題：1.動態(tài)規(guī)劃解決的問題有哪些特點(diǎn)？2.如何判斷一個問題是否可以用動態(tài)規(guī)劃解決？3.如何選擇合適的狀態(tài)定義和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程？4.如何優(yōu)化動態(tài)規(guī)劃算法的時間和空間復(fù)雜度？5.動態(tài)規(guī)劃思想可以應(yīng)用在哪些實(shí)際場景中？通過思考這些問題，可以加深對動態(tài)規(guī)劃的理解，并將其應(yīng)用于實(shí)際問題的解決。課程總結(jié)與展望動態(tài)規(guī)劃方法作為一種重