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學(xué)年北師大附屬實(shí)驗(yàn)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷一、單選題(本大題共8小題)1.已知集合,,則(
)A. B. C. D.2.某校高一、高二、高三人數(shù)分別為450,500,550,若用分層抽樣的方式從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為30的樣本,則樣本中高二學(xué)生的人數(shù)為(
)A.9 B.10 C.11 D.123.若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則(
)A. B. C. D.34.已知函數(shù),在下列區(qū)間中,一定存在零點(diǎn)的是(
)A. B. C. D.5.記,,,則(
)A. B. C. D.6.“”是“”的(
)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.有一種質(zhì)地均勻的“新型”骰子,其六面中有三面點(diǎn)數(shù)為1,兩面點(diǎn)數(shù)為2,一面點(diǎn)數(shù)為3,現(xiàn)連續(xù)擲兩次該骰子,則這兩次擲出點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率為(
)A. B. C. D.8.已知函數(shù)在上的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是(
)A. B. C. D.二、填空題(本大題共6小題)9.函數(shù)的定義域?yàn)?10.若,,…,的平均數(shù)為5,方差為4,則,,…,的平均數(shù)為;方差為.11.已知函數(shù),若,則.12.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足:在上為單調(diào)函數(shù),,,若,則的取值范圍是.13.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.①的值為;②記,,若,則的取值范圍是.14.函數(shù)(且).給出下列四個(gè)結(jié)論:①當(dāng)時(shí),的值域?yàn)?;②?dāng)時(shí),恰有兩個(gè)零點(diǎn);③若存在最大值,則的取值范圍是;④若存在三個(gè)互不相等實(shí)數(shù),使得,且,則的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題(本大題共5小題)15.現(xiàn)有大小相同的紅球和白球各兩個(gè),若在其中隨機(jī)抽?。ú环呕兀﹥蓚€(gè)球.(1)求所抽的兩個(gè)球中,恰有一個(gè)為紅球的概率;(2)求所抽的兩個(gè)球中,至少有一個(gè)為紅球的概率.16.為調(diào)查某校學(xué)生的校志愿者活動(dòng)情況,現(xiàn)抽取一個(gè)容量為100的樣本,統(tǒng)計(jì)了這些學(xué)生一周內(nèi)的校志愿者活動(dòng)時(shí)長(zhǎng),并繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖,記數(shù)據(jù)分布在,,,,,,的頻率分別為,,…,.已知,.(1)求,的值;(2)求樣本中在內(nèi)的頻數(shù);(3)若全校共名學(xué)生,請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì):全校學(xué)生一周內(nèi)的校志愿者活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不少于分鐘的人數(shù).17.已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性,并證明;(2)若,求的取值范圍.18.已知函數(shù)(且).(1)當(dāng)時(shí),求的最大值;(2)若對(duì)任意,均有,求的最大值;(3)若對(duì)任意,均有,求的取值范圍.19.若函數(shù)的定義域?yàn)?,且滿足,則稱為“函數(shù)”.(1)分別判斷下列函數(shù)是否為“函數(shù)”;(直接給出結(jié)論)①;②(2)若“函數(shù)”在上單調(diào)遞增,且,求的取值范圍;(3)若“函數(shù)”滿足:當(dāng)時(shí),,且在上的值域?yàn)?,求的取值范?
參考答案1.【答案】A【詳解】由,即,解得,所以,又,所以.故選:A2.【答案】B【詳解】依題意可得樣本中高二學(xué)生的人數(shù)為(人).故選:B3.【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,所以,所以.故選:B.4.【答案】C【詳解】因?yàn)榕c均在定義域上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,又,,,所以,所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).故選:C5.【答案】D【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,又,所以,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,又,所以,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,,所以所以.故選:D.6.【答案】C【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,由,結(jié)合為增函數(shù),可得,由,結(jié)合為增函數(shù),可得,所以“”是“”的充要條件.故選:C.7.【答案】A【詳解】記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)為事件,擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)為事件,則,記第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)為事件,擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)為事件,則,則兩次擲出點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)為事件,所以.故選:A.8.【答案】D【詳解】由,即,解得或,所以,當(dāng)時(shí),,所以,當(dāng)時(shí),令,即,解得,,則的圖象如下所示:因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域?yàn)椋?dāng),(或,)時(shí)取得最小值,即;當(dāng),時(shí)取得最大值,即;所以的取值范圍是.故選:D9.【答案】【詳解】對(duì)于函數(shù),令,解得且,所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為:10.【答案】【詳解】因?yàn)?,,…,的平均?shù)為5,方差為4,所以數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)為:,方差為.故答案為:;.11.【答案】/【詳解】因?yàn)椋?,所以,所以,所?故答案為:.12.【答案】【詳解】因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù),且在上為單調(diào)函數(shù),,,則,所以在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減,不等式,即,所以,即或,解得或,所以的取值范圍是.故答案為:13.【答案】【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減,所以,解得;因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,又,,則,因?yàn)?,所以或,解得或,即的取值范圍?故答案為:;14.【答案】②③④【詳解】設(shè),則;設(shè),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;且.令,解得或.結(jié)論①,當(dāng)a=2時(shí),.此時(shí),故①錯(cuò)誤;結(jié)論②,當(dāng)時(shí),由于在上單調(diào)遞增,且,故在上恰有一個(gè)零點(diǎn)x=1.而在上有,由在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,且,令,可得,可知在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知,當(dāng)時(shí),恰有兩個(gè)零點(diǎn),故②正確;結(jié)論③,當(dāng)時(shí),由于在上單調(diào)遞減,且,當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),無(wú)最大值(如圖1),不滿足題意;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),由于在上單調(diào)遞增,且,;當(dāng)時(shí),由在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,故;由,故當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),存在最大值(如圖2),滿足題意;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),由于在上單調(diào)遞增,且,;當(dāng)時(shí),由在單調(diào)遞減,,且當(dāng)時(shí),故在不存在最大值;可知當(dāng)時(shí),無(wú)最大值(如圖3),不滿足題意;同理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與圖象可知,當(dāng)時(shí),無(wú)最大值(如圖4),不滿足題意;當(dāng)時(shí),,存在最大值1(如圖5),滿足題意;當(dāng)時(shí),存在最大值1(如圖6),滿足題意;綜上所述,若存在最大值,則的取值范圍是即③正確;結(jié)論④,存在三個(gè)互不相等實(shí)數(shù),使得,可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn),不妨設(shè),.當(dāng)時(shí),結(jié)合圖象(如圖)可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn),且,,則,故滿足題意,故當(dāng)時(shí),滿足題意;當(dāng)時(shí),,且,結(jié)合圖象(如圖)可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn),但,,則,故不滿足題意;當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn),且,,則,故當(dāng)時(shí),滿足題意;當(dāng)時(shí),,且,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與圖象(如圖)可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn),但,,則,故不滿足題意;同理結(jié)合圖象(如圖,③中圖,圖,圖,圖)可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象與直線至多兩個(gè)交點(diǎn),故不滿足題意.綜上所述,的取值范圍是,故④正確.故答案為:②③④15.【答案】(1)(2)【詳解】(1)記兩個(gè)紅球?yàn)椋?,兩個(gè)白球?yàn)椋?,從中隨機(jī)抽取(不放回)兩個(gè)球,則可能結(jié)果有,,,,,共個(gè),恰有一個(gè)為紅球的有,,,共種情況,所以所抽的兩個(gè)球中,恰有一個(gè)為紅球的概率.(2)所抽的兩個(gè)球中,至少有一個(gè)為紅球有,,,,共種情況,所以所抽的兩個(gè)球中,至少有一個(gè)為紅球的概率.16.【答案】(1),(2)(3)【詳解】(1)依題意,,又,且,,解得,,;(2)因?yàn)?,所以樣本中在?nèi)的頻數(shù)為;(3)因?yàn)?,所以根?jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)全校學(xué)生一周內(nèi)的校志愿者活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不少于分鐘的人數(shù)約為(人).17.【答案】(1)為奇函數(shù),證明見(jiàn)解析(2)【詳解】(1)為奇函數(shù),證明如下:由題意可得,解得,所以函數(shù)的定義域?yàn)?又,所以函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(2)因?yàn)?,又在上單調(diào)遞增,在定義域上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,又,不等式,即,即,即,解得,所以的取值范圍為.18.【答案】(1)1(2)4(3)【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立所以的最大值為1(2)因?yàn)椋?,由題“”即:“,均有”當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故,即的最大值為4(3)令,則,令,①當(dāng)時(shí),由,則,則在上單調(diào)遞減,又,所以,依題意,故;②當(dāng)時(shí),由,則,1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,所以恒成立,符合題意;2)當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以,所以,故,綜上可得,的取值范圍是.19.【答案】(1)①是“函數(shù)”,②不是“函數(shù)”(2)(3)【詳解】(1)①是“函數(shù)”;②不是“函數(shù)”.理由如下:①,又函數(shù)的定義域?yàn)?,所以為“函?shù)”.②,故不是“函數(shù)”.(2)先證:在上單調(diào)遞增.任取,且①若,由于在上單調(diào)遞增,則②若,則,由于在上單調(diào)遞增,則,結(jié)合“函數(shù)”定義,有即在上單調(diào)遞增③
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