2024學(xué)年錦州市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試卷及答案解析

學(xué)年錦州市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．某班5名同學(xué)去參觀4個(gè)紅色教育基地，每名學(xué)生可自由選擇其中的1個(gè)紅色教育基地，則不同選法的種數(shù)是（

）A． B． C．20 D．92．若直線與直線垂直，則（）A． B． C． D．3．已知是相互獨(dú)立事件，且，則（）A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.284．已知雙曲線上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于5，那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F的距離等于（

）A．3 B．3或7 C．5 D．75．某市政工作小組就民生問題開展社會(huì)調(diào)研，現(xiàn)派遣三組工作人員對(duì)市內(nèi)甲、乙、丙、丁四區(qū)的居民收人情況進(jìn)行抽樣調(diào)査，若每區(qū)安排一組工作人員調(diào)研，且每組工作人員至少負(fù)責(zé)一個(gè)區(qū)調(diào)研，則不同的派遣方案共有（）A．12種 B．36種 C．48種 D．72種6．圓與圓相交于兩點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．7．已知橢圓的離心率為，若橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離不小于，則長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．記空間中的一些點(diǎn)構(gòu)成的集合為為原點(diǎn)，且對(duì)任意，都存在不全為零的實(shí)數(shù)，使得，若，則下列結(jié)論可能成立的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且二、多選題（本大題共3小題）9．關(guān)于的展開式，下列說(shuō)法正確的是（

）A．展開式共6項(xiàng) B．各項(xiàng)系數(shù)之和為1C．不含常數(shù)項(xiàng) D．系數(shù)最大項(xiàng)是10．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，，，，則（

）A．B．C．異面直線OB與AC所成角的余弦值為D．點(diǎn)O到直線BC的距離是11．如圖，曲線可以看作“蝴蝶結(jié)”的一部分，已知曲線上除原點(diǎn)外的所有點(diǎn)均滿足其到原點(diǎn)的距離的立方與該點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之積的絕對(duì)值的商恒為定值（），則（

）A．曲線關(guān)于直線對(duì)稱B．曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其方程為C．曲線圍成的圖形面積小于D．存在，使得曲線上有5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）三、填空題（本大題共3小題）12．若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則展開式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為．13．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則三棱錐的體積為．14．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)為拋物線E：上的任意一點(diǎn)，在軸上的射影為，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知8件不同的產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)對(duì)這8件產(chǎn)品一一進(jìn)行測(cè)試，直至找到所有次品．(1)若恰在第2次測(cè)試時(shí)，找到第一件次品，第6次測(cè)試時(shí)，找到第二件次品，則共有多少種不同的測(cè)試情況？(2)若至多測(cè)試3次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測(cè)試情況？16．已知圓，圓的圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知第二象限內(nèi)的點(diǎn)在圓上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線恰好與圓相切，求的斜率．17．如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，且，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求平面和平面的夾角的余弦值.18．科技特長(zhǎng)生是經(jīng)過(guò)教育廳、教育局發(fā)文，有正式定義的、享有特殊招生政策的學(xué)生群體，簡(jiǎn)言之，就是得到特定比賽或競(jìng)賽獎(jiǎng)項(xiàng)的學(xué)生，可認(rèn)定為科技特長(zhǎng)生．目前科技特長(zhǎng)生認(rèn)證中認(rèn)可度高的賽事主要分為四大類，第一是科技創(chuàng)新類，第二是機(jī)器人類，第三是信息學(xué)類，第四是航模類．現(xiàn)將兩個(gè)班的科技特長(zhǎng)生報(bào)名表分別裝進(jìn)兩個(gè)檔案袋，第一個(gè)檔案袋內(nèi)有5份男生檔案和3份女生檔案，第二個(gè)檔案袋內(nèi)有2份男生檔案和4份女生檔案．(1)若從第一個(gè)檔案袋中隨機(jī)依次取出2人的檔案，每次取出的檔案不再放回．（?。┣笕〕龅倪@2人的檔案中有女生檔案的概率；（ⅱ）求在取出的這2人的檔案中有女生的條件下，第2次取出的檔案是女生的概率；(2)若先從第一個(gè)檔案袋中隨機(jī)取出一人的檔案放入第二個(gè)檔案袋中，再?gòu)牡诙€(gè)檔案袋中隨機(jī)取出一人的檔案，求從第二個(gè)檔案中取出的檔案是女生的概率．19．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，定義兩點(diǎn)，之間“”距離為．把到兩定點(diǎn)，的“”距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡叫做“橢圓”，，為此“橢圓”的焦點(diǎn)．(1)已知，．①求“橢圓”的方程；②求“橢圓”的面積；(2)已知“橢圓”的焦點(diǎn)分別，，其面積為10，為上一定點(diǎn)，且在直線外，點(diǎn)在上．證明：．其中表示兩點(diǎn)，之間“”距離的最小值，表示，中的較大者．參考答案1．【答案】A【詳解】事情分5步完成，每1步均為1名同學(xué)選擇基地．第1步為第1名同學(xué)選擇，有4種方法，第2步為第2名同學(xué)選擇，也有4種方法，……，第5步為第5名同學(xué)選擇，也有4種方法.根據(jù)分步乘法原理，得到總共有種方法.故選：A.2．【答案】D【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直,所以直線的斜率為0,所以.故選：D.3．【答案】C【詳解】由可得，又是相互獨(dú)立事件，所以.故選：C4．【答案】D【分析】利用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和定義，求解到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離.【詳解】由題意可知，,，則，所以或，又因?yàn)?所以，故選：D.5．【答案】B【詳解】先將甲、乙、丙、丁四個(gè)區(qū)分成三組，即任意選兩個(gè)成為一組，剩余兩個(gè)各自一組，共種，再將分好的三組不同的區(qū)分配給三組工作人員，共有種分配方法；因此共種.故選：B6．【答案】B【分析】先求出相交弦所在直線的方程，然后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)的求法求解即可.【詳解】由圓與圓，將兩圓方程相減整理得直線的方程：，又，即，圓心為，半徑為，所以到直線的距離為，所以.故選：B.7．【答案】C【詳解】設(shè)與平行且距離為的直線方程為，所以，解得或（結(jié)合圖象舍去）設(shè)直線與平行且它們之間的距離為，則的方程為，由整理，得，因?yàn)樯系狞c(diǎn)到直線的最短距離不小于，所以與橢圓相切或沒有交點(diǎn)，所以，整理得，由橢圓的離心率為，可知，所以，所以，則，所以.故選：C.8．【答案】B【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，，，設(shè)存在實(shí)數(shù)，，使得，即，則，解得，不滿足條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，，，設(shè)存在實(shí)數(shù)，，使得，即，則，令，則，，滿足存在不全為零的實(shí)數(shù)，，的條件，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，，，設(shè)存在實(shí)數(shù)，，使得，即，則，解得，不滿足條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，，，設(shè)存在實(shí)數(shù)，，使得，即，則，解得，不滿足條件，故D錯(cuò)誤；故選：B.9．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以展開式共7項(xiàng)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，令，得各項(xiàng)系數(shù)之和為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，展開式的通項(xiàng)公式為，，令，得顯然取不到，則不含常數(shù)項(xiàng)，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得，則，得系數(shù)最大項(xiàng)為：，故D項(xiàng)正確，故選：BCD10．【答案】AC【詳解】對(duì)于A，，，，依題意，，，故A正確；對(duì)于B，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，,因?yàn)椋瑒t異面直線OB與AC所成角的余弦值為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，在上的投影為，所以點(diǎn)O到直線BC的距離是，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，先求曲線方程，設(shè)曲線上一點(diǎn)（），由已知，即.若點(diǎn)在曲線上，則也滿足曲線方程，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B，將代入曲線方程，得，即，，此時(shí)方程為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C，，則，所以C在以圓心為O，半徑為的圓內(nèi)，結(jié)合圖形知道，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D，由于，所以，由曲線的對(duì)稱性可知，要使曲線上有5個(gè)整點(diǎn)，則曲線在第一象限內(nèi)有兩個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)整點(diǎn)為時(shí)，，此時(shí)整點(diǎn)都在曲線上，其有3個(gè)整點(diǎn)，不滿足題意;當(dāng)整點(diǎn)為時(shí)，，此時(shí)整點(diǎn)均在曲線上，且均不在曲線上，其有5個(gè)整點(diǎn)，滿足題意，D正確.故選：ACD.12．【答案】【詳解】已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則，即.二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為.對(duì)于，則其通項(xiàng)公式為.化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，所以最高次?xiàng)為時(shí)的項(xiàng).當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)的系數(shù)為.所以最高次項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.13．【答案】2【詳解】由題意得，所以所以的面積為，點(diǎn)都在平面上，點(diǎn)到平面的距離3，所以三棱錐的體積為．故答案為：14．【答案】【分析】由動(dòng)點(diǎn)P滿足的條件得點(diǎn)P的軌跡為圓，根據(jù)拋物線的定義，將轉(zhuǎn)化為，觀察圖形得的最小值.【詳解】設(shè)，已知，，則，化簡(jiǎn)整理得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，拋物線E：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，M，F(xiàn)（P，M兩點(diǎn)在A，F(xiàn)兩點(diǎn)之間）四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.15．【答案】(1)720(2)26【詳解】（1）第1次測(cè)試的是正品，從件正品中選件，有種選擇.第2次測(cè)試找到第一件次品，因?yàn)橛屑纹?，所以?次測(cè)試的次品有種選擇.第3次到第5次測(cè)試的是正品，從剩下的件正品中選件進(jìn)行排列，有種選擇.第6次測(cè)試找到第二件次品，此時(shí)只剩下件次品，所以只有種選擇.根據(jù)排列組合的乘法原理，總的測(cè)試情況數(shù)為種.（2）測(cè)試次就找到所有次品的情況:第1次測(cè)試找到一件次品，有種選擇，第2次測(cè)試找到另一件次品，有種選擇，所以這種情況共有種測(cè)試情況.

測(cè)試次找到所有次品的情況:第1次測(cè)試找到一件次品，有種選擇，第2次測(cè)試找到一件正品，從件正品中選件，有種選擇，第3次測(cè)試找到另一件次品，有種選擇，這種情況共有種測(cè)試情況.第1次測(cè)試找到一件正品，從件正品中選件，有種選擇，第2次測(cè)試找到一件次品，有種選擇，第3次測(cè)試找到另一件次品，有種選擇，這種情況共有種測(cè)試情況.

根據(jù)加法原理，至多測(cè)試次就能找到所有次品的測(cè)試情況數(shù)為種.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)和，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.對(duì)于點(diǎn)有，即①.對(duì)于點(diǎn)有，即②.將②代入①可得：.展開得.移項(xiàng)化簡(jiǎn)得，即，解得.把代入②得.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖所示，兩圓外離，公切線有四條，由于第二象限內(nèi)的點(diǎn)在圓上顯然滿足題意的是.下面求公切線斜率.顯然斜率存在，設(shè)切線.圓心到切線（即）的距離（?），圓心到切線（即）的距離（??），兩個(gè)式子比，得到由.化簡(jiǎn)得到，則或者.即或者.當(dāng)時(shí)，代入方程（?），得到，兩邊平方整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，代入方程（?），同樣得到，解得.由于且由圖知道，因此，.故滿足題意的的斜率為.

【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，所以，在中，，，，由余弦定理可得，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）過(guò)點(diǎn)作，由平面，所以平面，又平面，所以，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面和平面的夾角的余弦值為.18．【答案】(1)（i）；（ii）(2)【詳解】（1）（i）設(shè)事件為“取出的人的檔案中有女生檔案”，則為“取出的人的檔案中沒有女生檔案”.第一個(gè)檔案袋內(nèi)有份男生檔案和份女生檔案，總共份檔案.第一次取到男生檔案的概率為，因?yàn)椴环呕?，此時(shí)剩下份檔案，其中男生有份，所以第二次取到男生檔案的概率為，那么.所以.

（ii）求在取出的這2人的檔案中有女生的條件下，第2次取出的檔案是女生的概率設(shè)事件為“第次取出的檔案是女生”，事件為“取出的人的檔案中有女生檔案”.根據(jù)條件概率公式.計(jì)算，即取出的人檔案中有女生且第次取出的是女生的概率.分兩種情況：第一種情況，第一次取男生第二次取女生，概率為；第二種情況，第一次取女生第二次取女生，概率為.所以.已知，則.（2）設(shè)事件為“從第二個(gè)檔案中取出的檔案是女生”.分兩種情況：若從第一個(gè)檔案袋中取出的是男生檔案，概率為，此時(shí)第二個(gè)檔案袋中有份男生檔案和份女生檔案，共份檔案，那么從第二個(gè)檔案袋中取出女生檔案的概率為，這種情況下的概率為.若從第一個(gè)檔案袋中取出的是女生檔案，概率為，此時(shí)第二個(gè)檔案袋中有份男生檔案和份女生檔案，共份檔案，那