2024-2025學年北京市豐臺區(qū)高三上冊1月期末數(shù)學模擬檢測試卷（含解析）

2024-2025學年北京市豐臺區(qū)高三上學期1月期末數(shù)學模擬檢測試卷選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題中選出符合題目要求的一項。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C. D．3．已知雙曲線的離心率為，則漸近線方程為（

）A． B．C． D．4．直線截圓所得的弦長等于（

）A． B． C． D．5．展開式中所有二項式系數(shù)之和為8，則該展開式中的常數(shù)項為（

）A．-6 B．6 C．7 D．96．“”是“”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件7．在中，角，，所對的邊分別為a，b，c，且，若，則等于（

）A． B． C． D．8．生物學上，J型增長是指在理想狀態(tài)下，物種迅速爆發(fā)的一種增長方式，其表達式為，其中為初始個體數(shù)，為最終個體數(shù).若某種群在該模型下，個體數(shù)由100增長至120消耗了10天，則個體數(shù)由120增長至160消耗的時間大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．12 B．13 C．14 D．159．設(shè)，若是的最小值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合可以組成世間萬物的絢麗畫面，優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物，曲線為四葉玫瑰線，下列結(jié)論正確的是（

）A.方程，表示的曲線在第一和第三象限；B.曲線上任一點到坐標原點的距離都不超過1；C.曲線構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于；D.曲線上有5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．已知點在拋物線上，則點到拋物線的焦點的距離為．12．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，且是與2的等差中項，則q的值是．13．如圖，一倒立的圓錐和一個底面圓直徑為2R的圓柱內(nèi)裝等高H的液體，圓錐的軸截面為等腰直角三角形，圓柱的軸截面為矩形，，圓錐內(nèi)液體體積為V1，圓柱內(nèi)液體體積為V2，則＝．14．已知在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，則的最大值為；若，則的最大值為.15．如果數(shù)列滿足（k為常數(shù)），那么數(shù)列叫做等比差數(shù)列，k叫做公比差．下列四個結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號有①若數(shù)列滿足，則該數(shù)列是等比差數(shù)列；②數(shù)列是等比差數(shù)列；③所有的等比數(shù)列都是等比差數(shù)列；④存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列．解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．17．在某地區(qū)進行高中學生每周戶外運動調(diào)查，隨機調(diào)查了名高中學生戶外運動的時間（單位：小時），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(1)求的值；(2)為進一步了解這名高中學生戶外運動的時間分配，在，兩組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機抽取人進行訪談，記在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和期望；(3)以頻率估計概率，從該地區(qū)的高中學生中隨機抽取名學生，用“”表示這名學生中恰有名學生戶外運動時間在內(nèi)的概率，當最大時，此時k的值.（其中k=2.3.4）（直接寫出答案，結(jié)論不需要證明）18．已知函數(shù)．從下列四個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定．(1)求的解析式；(2)設(shè)，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．19．已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．(1)求；(2)證明：存在唯一的極小值點，且．20．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的短軸長為，離心率為分別是橢圓的上下頂點，過(1)求橢圓的標準方程；(2)求證：直線恒過定點；(3)求面積的最大值.21．已知等差數(shù)列，若存在有窮等比數(shù)列，滿足，其中，則稱數(shù)列為數(shù)列的長度為的“等比伴隨數(shù)列”．(1)數(shù)列的通項公式為，寫出數(shù)列的一個長度為的“等比伴隨數(shù)列”；(2)等差數(shù)列的公差為，若存在長度為的“等比伴隨數(shù)列”，其中，求的最大值；(3)數(shù)列的通項公式為，數(shù)列為數(shù)列的長度為的“等比伴隨數(shù)列”，其中，求的最大值．2024-2025學年北京市豐臺區(qū)高三上學期1月期末數(shù)學模擬檢測試卷選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題中選出符合題目要求的一項。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【詳解】因為，所以.故選：D.2．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C. D．【詳解】因為，所以．故選：C.3．已知雙曲線的離心率為，則漸近線方程為（

）A． B．C． D．【詳解】雙曲線的離心率為，故，則，故漸近線方程為，故選：A4．直線截圓所得的弦長等于（

）A． B． C． D．【詳解】由圓的方程知：圓心為，半徑，所以圓心為到直線距離為，所以直線被圓截得弦長為.故選：C5．展開式中所有二項式系數(shù)之和為8，則該展開式中的常數(shù)項為（

）A．-6 B．6 C．7 D．9【詳解】解：因為展開式中所有二項式系數(shù)之和為8，即，所以，展開式為，令，則，所以該展開式中的常數(shù)項為.故選：B6．“”是“”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【詳解】由得，所以即或，所以充分性不成立；由知，，所以，當且僅當，即時等號成立，又因為，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B7．在中，角，，所對的邊分別為a，b，c，且，若，則等于（

）A． B． C． D．【詳解】方法一：，由正弦定理可得，，，．又，．．，則．方法二：因為，由射影定理可得，又，．．，則．故選：A8．生物學上，J型增長是指在理想狀態(tài)下，物種迅速爆發(fā)的一種增長方式，其表達式為，其中為初始個體數(shù)，為最終個體數(shù).若某種群在該模型下，個體數(shù)由100增長至120消耗了10天，則個體數(shù)由120增長至160消耗的時間大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．12 B．13 C．14 D．15【詳解】由題意可得，，所以，即，所以，當，時，，即，所以，由給定數(shù)據(jù).故選：D9．設(shè)，若是的最小值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【詳解】由題意，函數(shù)，若是的最小值，可得，對稱軸為，若是的最小值，則，即得，可得，當時，可得，當且僅當時等號成立，要使得函數(shù)的最小值為，則，解得，綜上可得實數(shù)的取值范圍為.故選：A.10．數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合可以組成世間萬物的絢麗畫面，優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物，曲線為四葉玫瑰線，下列結(jié)論正確的是（

）A.方程，表示的曲線在第一和第三象限；B.曲線上任一點到坐標原點的距離都不超過1；C.曲線構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于；D.曲線上有5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）．【詳解】對于A，因為，所以與異號，所以表示的曲線在第二和第四象限，所以A錯誤，對于B，設(shè)曲線上一點，則其到原點的距離為，考慮到該圖形對稱性，故研究第一象限的點，因為，所以，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以，所以，當且僅當時取等號，所以曲線上任一點到坐標原點的距離都不超過1，所以B正確，對于C，以為圓心，1為半徑的圓的面積為，由B知曲線在圓內(nèi)部，所以曲線構(gòu)成的四葉玫瑰線面積小于，所以C錯誤，對于D，由B可知曲線在圓內(nèi)部，而圓內(nèi)在第一象限無整點，所以曲線在第一象限沒有經(jīng)過整點，由曲線的對稱性可知，曲線在其它象限也沒有經(jīng)過整點，所以由圖可知曲線只經(jīng)過整點，所以D錯誤，故選：B二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．已知點在拋物線上，則點到拋物線的焦點的距離為．【詳解】因為點在拋物線上，所以.所以，拋物線：，焦點：所以到焦點的距離.故412．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，且是與2的等差中項，則q的值是．【詳解】由題意有：，而，顯然，，則，所以，故，可得．故1.13．如圖，一倒立的圓錐和一個底面圓直徑為2R的圓柱內(nèi)裝等高H的液體，圓錐的軸截面為等腰直角三角形，圓柱的軸截面為矩形，，圓錐內(nèi)液體體積為V1，圓柱內(nèi)液體體積為V2，則＝．【詳解】因為圓錐的軸截面為等腰直角三角形，且，則圓錐的水面圓的直徑為，由，所以V1＝V2，即.故14．已知在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，則的最大值為；若，則的最大值為.【詳解】如圖：以為原點，以所在的直線為,軸建立如圖所示的坐標系，則，，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，設(shè)圓的半徑為，，，，，圓的方程為，設(shè)點的坐標為，則，，故的最大值為，，，，，，，，，故的最大值為3，故，315．如果數(shù)列滿足（k為常數(shù)），那么數(shù)列叫做等比差數(shù)列，k叫做公比差．下列四個結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號有①若數(shù)列滿足，則該數(shù)列是等比差數(shù)列；②數(shù)列是等比差數(shù)列；③所有的等比數(shù)列都是等比差數(shù)列；④存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列．【詳解】①數(shù)列滿足，則，滿足等比差數(shù)列的定義，故①正確；②數(shù)列，，不滿足等比差數(shù)列的定義，故②錯誤；③設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，滿足等比差數(shù)列，故③正確；④設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故當時，滿足，故存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列，即④正確；故①③④解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【詳解】（1）因為為等邊三角形，為的中點，所以．過作，垂足為，因為底面為直角梯形，，，，，所以，則，由得，所以因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面．因為平面，所以．又，平面，所以平面．（2）由（1）可知，，，兩兩垂直，以為原點，過且平行于的直線為軸，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，由（1）可知，軸⊥平面，不妨取平面的法向量為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．17．在某地區(qū)進行高中學生每周戶外運動調(diào)查，隨機調(diào)查了名高中學生戶外運動的時間（單位：小時），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(1)求的值；(2)為進一步了解這名高中學生戶外運動的時間分配，在，兩組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機抽取人進行訪談，記在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和期望；(3)以頻率估計概率，從該地區(qū)的高中學生中隨機抽取名學生，用“”表示這名學生中恰有名學生戶外運動時間在內(nèi)的概率，當最大時，此時k的值.（其中k=2.3.4）（直接寫出答案，結(jié)論不需要證明）【詳解】（1）由已知，解得，所以平均數(shù)為.（2）這名高中學生戶外運動的時間分配，在，兩組內(nèi)的學生分別有人，和人；所以根據(jù)分層抽樣可知人中在的人數(shù)為人，在內(nèi)的人數(shù)為人，所以隨機變量的可能取值有，，所以，，則分布列為期望；（3）由頻率分布直方圖可知運動時間在內(nèi)的頻率為，則，若為最大值，則，即，即，解得，又，且，則.18．已知函數(shù)．從下列四個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定．(1)求的解析式；(2)設(shè)，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【詳解】（1）因為，所以，顯然當時為奇函數(shù)，故②不能選，若選擇①③，即最大值為，所以，解得，所以，又，所以，即，，解得，，故不能唯一確定，故舍去；若選擇①④，即圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，解得，所以，又，所以，解得，所以；若選擇③④，即圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，解得，所以，又的最大值為，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，又x∈0,π，所以在0,π上的單調(diào)遞增區(qū)間有和.19．已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．(1)求；(2)證明：存在唯一的極小值點，且．【詳解】（1）函數(shù)定義域為，由題意可知，，聯(lián)立解得．（2）由（1）可知，則，令，則，所以函數(shù)在區(qū)間0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以存在唯一實數(shù)使得gx0=0，即當x∈0,x0時，g當x∈x0,+∞時，gx>0，即單調(diào)遞增，所以由①知，，所以．一方面由知，；另一方面，由于是的唯一的極小值點，且，所以．綜上所述，，證畢．20．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的短軸長為，離心率為分別是橢圓的上下頂點，過(1)求橢圓的標準方程；(2)求證：直線恒過定點；(3)求面積的最大值.【詳解】（1）因為，又解得：故橢圓的標準方程為（2）證明：方法一：當軸時，不可能垂直，故可設(shè)直線方程為由，得，設(shè)，則，所以，又因為，所以即，即：，所以代入可得，整理，解得（舍）或，所以直線的方程為，令，得，所以直線過定點，方法二：顯然均不