《機(jī)械基礎(chǔ)》課件第3章 構(gòu)件的內(nèi)力和強(qiáng)度計(jì)算

第3章構(gòu)件的內(nèi)力和強(qiáng)度計(jì)算3.1強(qiáng)度計(jì)算的基本概念3.2內(nèi)力與截面法3.3桿件的內(nèi)力圖3.4桿件的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算習(xí)題33.1強(qiáng)度計(jì)算的基本概念1.變形固體及其基本假設(shè)變形固體指受力后形狀、大小發(fā)生改變的物體。變形固體有如下的基本假設(shè)：

(1)各向同性：物體各個(gè)方向的力學(xué)性能相同；

(2)均勻連續(xù)：物體內(nèi)被同一種物質(zhì)充滿，沒有空隙；

(3)小變形：物體受到外力后產(chǎn)生的變形與物體的原始尺寸相比很小，有時(shí)甚至可以忽略不計(jì)。

2.強(qiáng)度構(gòu)件抵抗破壞的能力稱為強(qiáng)度。

3.桿件構(gòu)件某一方向的尺寸遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)方向的尺寸時(shí)稱為桿件（見圖3－1(a)）。桿件的受力變形有拉伸與壓縮、剪切與擠壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲四種基本形式，圖3－1(b)即為桿件的彎曲。圖3－1桿件和桿件的彎曲3.2內(nèi)力與截面法3.2.1截面法的概念桿件的內(nèi)力指桿件受到外力作用時(shí)，其內(nèi)部產(chǎn)生的保持其形狀和大小不變的反作用力。該反作用力隨外力的作用而產(chǎn)生，隨外力的消失而消失。截面法是求桿件內(nèi)力的方法。

截面法求內(nèi)力的步驟：

(1)作一假想截面把桿件切開成兩部分（見圖3-2（a））；

(2)留下其中的一部分，并在切開處加上假設(shè)的內(nèi)力（如圖3-2(b)或圖3-2(c)所示）；

(3)以該部分為研究對(duì)象列靜力平衡方程，求解未知的內(nèi)力。圖3-2截面法求內(nèi)力3.2.2截面法的應(yīng)用截面法可用于桿件的拉壓、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲四種情況的截面內(nèi)力的計(jì)算，這四種內(nèi)力分別稱為軸力、剪力、扭矩和彎矩。

【例3-1】

如圖3-3(a)所示，桿件在A、B兩點(diǎn)受兩等值反向共線的力P的作用，求任意截面m-m處的內(nèi)力（軸力）。

解此桿受兩力作用而處于平衡。作假想截面m-m將桿件切開，留下左半段（稱為左截），并在截面上加上右半部分在該截面上對(duì)左半部分的作用力Nm；沿桿件的軸線取坐標(biāo)軸x。

列投影方程：∑Fx=0，-P+Nm=0

則

Nm=P

式中，Nm為m-m截面的內(nèi)力，又稱桿件的軸力。軸力與該截面垂直。圖3-3例3-1圖

注意：①也可留下右半段(稱為右截)，所得該截面的軸力Nm′向左（如圖3－3(c)所示）。此二內(nèi)力等值、反向、共線，為一對(duì)作用與反作用力。②規(guī)定軸力的方向?yàn)椋狠S力離開截面為正，指向截面為負(fù)。因此，例3－1中Nm與Nm′均為正。當(dāng)兩力相背時(shí)，桿件將伸長，這種變形稱為拉伸（見圖3－4(a)）；當(dāng)兩力相向時(shí)，桿件將縮短，這種變形稱為壓縮(見圖3－4(b))。圖3-4拉伸與壓縮(a)拉伸；(b)壓縮

【例3-2】

一螺栓受到兩個(gè)等值、反向而互相平行且距離很近的力P、P′的作用(見圖4-5(a))，求截面m-m的內(nèi)力。

解如圖3-5(b)所示，作假想截面將螺栓切開。取螺栓的下半部分為研究對(duì)象，在截面上加上內(nèi)力Q，如圖4-5（c）所示，列平衡方程：

∑x=0,P-Q=0

則Q=P

式中，Q稱為截面上的剪力，在該截面上與截面平行。取螺栓的上半部分為研究對(duì)象時(shí)，該截面上的剪力Q′向左，Q=Q′。構(gòu)件的這種受力情況稱為剪切。圖3－5例3－2圖

【例3-3】

一圓形桿件受兩個(gè)力偶矩相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面互相平行且垂直于桿件的軸線的力偶m，m′的作用(見圖3-6（a）)，求截面1-1上的內(nèi)力。

解仍用左截法，留下截面左半段桿件，取坐標(biāo)軸x(見圖3-6(b))。列力偶平衡方程：

∑mx(F)=0，Mn-m=0

則Mn=m

式中，Mn為截面上的內(nèi)力，實(shí)際為一力偶，稱為扭矩，單位為N·m。扭矩與截面平行。如采用右截法，則如圖3-6(c)所示。圖3-6例3-3圖注意：①此桿件的截面為圓形，稱這類桿件為軸或圓軸。②圓軸受垂直于桿件軸線的力偶作用而平衡，這種受力情況稱為扭轉(zhuǎn)。③不論左截還是右截，對(duì)截面觀察，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的扭矩為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)向的扭矩為負(fù)，即同一截面上兩邊的扭矩?cái)?shù)值相等、轉(zhuǎn)向相反。【例3-4】

如圖3-7(a)所示，一水平桿件受A、B兩支座支承，桿上受一垂直力P的作用。設(shè)桿長L、a、b均已知，求1-1和2-2截面上的內(nèi)力。

解取桿AB為研究對(duì)象，求支座A、B的約束反力（見圖3-7（b）），得

作1-1截面，用左截法(如圖3-7（c）所示)。設(shè)截面形心為O，列平衡方程

∑Fy=0，NA-Q1=0

則

Q1=NA

式中，Q1為截面1-1上的剪力。

剪力的正負(fù)：左截時(shí)，Q向下為正，向上為負(fù)；右截時(shí)，Q向上為正，向下為負(fù)。觀察該圖，內(nèi)力Q1與NA組成了一力偶，則1-1截面上必有一內(nèi)力偶與之平衡。設(shè)截面的內(nèi)力偶為M1，列力偶平衡方程

∑mo(F)=0，M1-NA×(a-Δ)=0

得M1=NA×a

式中，M1為截面1-1上的內(nèi)力偶，稱為截面1-1上的彎矩，單位為N·m。單位為N·m；Δ為一無窮小量，如圖3－7(b)所示。圖3-7例3-4圖注意：①桿件受到垂直于軸線的力的作用時(shí)，其軸線會(huì)變彎，這類變形稱為彎曲。以彎曲變形為主要變形的桿件稱為梁。②在一般情況下，梁的任一橫截面上的內(nèi)力包含剪力和彎矩。③彎矩的正負(fù)：左截時(shí)，M逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)；右截時(shí)，M順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。請(qǐng)讀者按此法求出2－2截面上的剪力和彎矩。3.3桿件的內(nèi)力圖

由以上例題可以看出，當(dāng)桿件受到力的作用時(shí)，桿件上各段截面的內(nèi)力不同。為了清楚地反映桿件的內(nèi)力沿軸線變化的情況而作的圖稱桿件的內(nèi)力圖。下面分別對(duì)桿件在受到拉伸、扭轉(zhuǎn)、彎曲時(shí)，橫截面的內(nèi)力圖的作法進(jìn)行介紹。

1.軸力圖桿件在受到拉伸(壓縮)時(shí)，橫截面的內(nèi)力沿桿件軸心線變化的內(nèi)力圖形稱為軸力圖。

【例3-5】一左端固定的桿件受到三個(gè)沿軸線方向的力的作用，P1=15kN，P2=13kN，P3=8kN（見圖3-8（a）），求截面1-1、2-2、3-3（見圖3-8（b））的內(nèi)力，并畫出內(nèi)力圖。

解

(1）求出固定端反力R=10kN。（2）依前面介紹過的方法，分別求出各截面的內(nèi)力：作1-1截面（內(nèi)力圖見圖3-8(c)），得N1=10kN;

作2-2截面（內(nèi)力圖見圖3-8(d)），得N2=-5kN;

作3-3截面（內(nèi)力圖見圖3-8(e)），得N3=8kN。(3）定坐標(biāo)軸N-x，垂直坐標(biāo)軸N表示內(nèi)力，單位為kN；水平線為x軸，代表?xiàng)U件的軸線。

(4）按照正內(nèi)力在x軸上方，負(fù)內(nèi)力在x軸下方，參照各段內(nèi)力的大小，分段作表示內(nèi)力的水平線，即得到反映桿件各段內(nèi)力的圖線（見圖3-8(f)）。此圖稱為軸力圖。軸力圖清楚地反映出該桿件各段是受到拉伸或是壓縮，以及各段內(nèi)力的大小，比較直觀。為多個(gè)載荷作用下的拉壓桿的強(qiáng)度及變形計(jì)算帶來很大的方便。圖3-8例3-5圖

2.扭矩圖桿件在受到扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的內(nèi)力沿桿件軸心線變化的圖形稱為扭矩圖。

【例3-6】

一圓軸受四個(gè)力偶作用(見圖3-9(a))，m1=110N·m，m2=50N·m，m3=20N·m，m4=30N·m。作軸的(扭矩圖)。

解作1-1截面，取其左段研究（見圖3-9(b)），設(shè)該截面的扭矩為Mn1，有平衡方程:

∑mx(F)=0，Mn1=-110Nm

同理可得截面2-2的扭矩Mn2=-50N·m（見圖3-9（c）），截面3-3的扭矩Mn3=-30N·m。由以上各截面的扭矩可作出圓軸的內(nèi)力圖。圖3-9例3-6圖

3.彎矩圖與剪力圖桿件在受到彎曲時(shí)，橫截面的剪力和彎矩沿桿件軸心線變化的圖形分別稱為剪力圖與彎矩圖。

【例3-7】已知一水平梁兩端由鉸鏈支承（稱簡(jiǎn)支梁），受力P=12kN（見圖3-10(a)）。作梁的內(nèi)力圖。

解

(1）先求出兩支點(diǎn)的反力，作梁的受力圖（見圖4-10（b））?！艶x=0∑mA(F)=0，P×2-NB×3=0∑y=0，NA+NB-P=0NA=P-NB=12-8=4kN

(2）作1-1截面，距A點(diǎn)為x1(見圖3-10(b))，并留下截面的左段。此時(shí)，右段對(duì)左段的作用相當(dāng)于固定端。在截面上加上內(nèi)力Q1和M1（均假設(shè)為正向，見圖3-10（c）），列平衡方程：

∑Fy=0

得截面1-1的剪力

Q1=NA=4kN

以梁的軸線為x軸，剪力Q的值為垂直坐標(biāo)軸，則在A-C段，剪力的圖線為一水平線，在x軸的上方，并與x軸平行。根據(jù)∑mC(F)=0可得截面1－1的彎矩為

M1(x)=NAx

可見為一隨截面位置而變化的一次函數(shù)，在圖線上是一斜直線。以梁的軸線為x軸，彎矩M的值為垂直坐標(biāo)軸，則當(dāng)x1=0時(shí)，M1=0;

當(dāng)x1=2m時(shí)，M1=NA×2=4×2=8kN·m。由以上兩點(diǎn)可畫出梁A-C段的彎矩圖線。圖3-10例3-7圖

（3）作截面2-2，距A點(diǎn)為x2，留下截面的左段。在截面上加上內(nèi)力Q2和M2（均假設(shè)為正向，見圖3-10(d)），列平衡方程：∑Fy=0

得截面2-2的剪力

Q2=NA-P=4-12=-8kN

則C-B段的剪力圖線為一水平線，在x軸的下方。A-C、C-B兩段圖線反映出水平梁各個(gè)橫截面的剪力的情況，稱為剪力圖（見圖3-10(e)）。再列力矩平衡方程：

∑mC(F)=0，M2-NAx2+P(x-2)=0

M2=NAx-P(x-2)=4x2-12(x2-2)=24-8x2由上式可以看出，該段彎矩圖線也為一斜直線：當(dāng)x=2m時(shí)，M2=MC=24-8×2=8kNm；當(dāng)x=3m時(shí)，M2=MB=0。由此可以繪出C-B段的彎矩圖線。連同已繪出的A-C段彎矩圖線稱為梁的彎矩圖，如圖3-10(f)所示。

【例3-8】水平梁在C處受力偶m的作用（見圖3-11(a)），設(shè)L、a、b均已知，求作梁的彎矩圖。

解

(1）先求出兩支座反力：NA=NB=m/L（見圖3-11(b)，注意NA的方向）。

(2）求剪力和彎矩。在A-C段距A點(diǎn)x1處作1-1截面，取左段，在截面上加上內(nèi)力Q1、M1（見圖3-11(c)），列平衡方程：

∑Fy=0，-NA-Q1=0

則

剪力為一常數(shù)，其圖線應(yīng)為一水平線，在x軸的下方，并與x軸平行（見圖3-11(e)）。再列力矩平衡方程：

∑mC(F)=0，NAx1+M1=0M1=-NAx1

可見彎矩圖線為一斜直線。當(dāng)x=0時(shí)，M1=MA=0;

當(dāng)x1=a-Δ時(shí)（Δ為無窮小量），M1=-NA(a-Δ)=-ma/L。可繪出該段彎矩圖線（見圖3-11(f)）。圖3－11例3－8圖(3）在C-B段距A點(diǎn)x2處作2-2截面，并加上內(nèi)力Q2、M2（見圖3-11(d)），列平衡方程：

∑Fy=0，-NA-Q2=0其圖線與左段相同。

再列力矩平衡方程：

∑mC(F)=0，NAx-m+M2=0

可見其圖線仍為一直線。當(dāng)x2=a+Δ時(shí)，當(dāng)x2=L時(shí)，由以上兩點(diǎn)可繪出C-B段的彎矩圖線（見圖3-11（f））。3.4桿件的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算

3.4.1桿件應(yīng)力的概念求出桿件的內(nèi)力后，一般還不能判斷桿件是否易被破壞。如當(dāng)兩個(gè)受拉伸的桿件的內(nèi)力相同時(shí)，桿件粗的就不容易破壞，顯然這與桿件的橫截面面積有關(guān)。因此，要判斷桿件在外力作用下是否破壞，不僅要知道內(nèi)力的大小，還要知道內(nèi)力在桿件橫截面上的分布規(guī)律及分布的密集程度。從而就引出了應(yīng)力的概念。

取截面上的微面積ΔA，其上作用的內(nèi)力的合力為ΔP（見圖3－12（a）），則ΔP/ΔA稱為微面積ΔA上的平均應(yīng)力，用pm表示，即

當(dāng)ΔA趨于無窮小時(shí)，則得該點(diǎn)的應(yīng)力p。p為一矢量，可分解成垂直于截面的分量σ和切于截面的分量τ(見圖3-12(b))。σ稱截面上的正應(yīng)力，τ稱為截面上的剪應(yīng)力。桿件變形不同，其截面上的應(yīng)力的性質(zhì)和分布也不同,其截面上的應(yīng)力的性質(zhì)和分布也不同，一般分為拉應(yīng)力、扭轉(zhuǎn)應(yīng)力、彎曲應(yīng)力等。圖3－12桿件截面的應(yīng)力

3.4.2桿件的強(qiáng)度計(jì)算

1.拉伸與壓縮強(qiáng)度計(jì)算拉伸強(qiáng)度條件

其中：N——橫截面上的軸力，單位為N；

A——橫截面的面積，單位為m2；［σl］——桿件材料的許用拉伸應(yīng)力，單位為MPa；σ——桿件橫截面上的實(shí)際工作應(yīng)力，單位為MPa。壓縮強(qiáng)度條件其中：N、A同上;

［σy］——桿件材料的許用壓縮應(yīng)力，單位為MPa；

σ——桿件橫截面上的實(shí)際工作應(yīng)力，單位為MPa。［σl］、［σy］均由實(shí)驗(yàn)得出。【例3-9】圖3-13(a)中的起重機(jī)由斜桿BC與橫梁AB組成。斜桿直徑d=55mm，材料為鍛鋼，其許用應(yīng)力［σ］=200MPa，最大吊重W=50kN，α=20°。試校核斜桿的強(qiáng)度。

解取銷釘B為研究對(duì)象，畫出其受力圖（見圖3－13(b)）。求出兩桿的內(nèi)力：校核強(qiáng)度故斜桿強(qiáng)度足夠。圖3-13例3-9圖【例3-10】冷鐓機(jī)的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖3-14所示。鍛壓時(shí)，連桿接近水平位置，承受鍛壓力P=1100kN，連桿截面為矩形，高寬比為h/b=1.4，材料的許用應(yīng)力［σ］=58MPa。試確定截面尺寸h和b。

解此時(shí)的鍛壓力即為連桿所受的軸向力（壓力），由強(qiáng)度計(jì)算公式可得截面面積的計(jì)算式為代入各值,得而A=h×b=1.4b2

即1.4b2=189cm2

得b=11.64cm，h=16.3cm圖3-14例3-10圖

2.剪切與擠壓強(qiáng)度計(jì)算剪切強(qiáng)度條件：式中:

τ——構(gòu)件剪切面的實(shí)際剪切應(yīng)力，單位為MPa；Q——構(gòu)件橫截面上的剪力，單位為N；A——剪切面面積，單位為m

2；［τ］——材料的許用剪切應(yīng)力，單位為MPa。

擠壓強(qiáng)度條件：式中:

σjy——構(gòu)件受擠面的實(shí)際擠壓應(yīng)力，單位為MPa；

Pjy——構(gòu)件受擠面的擠壓力，單位為N；

Ajy——實(shí)用擠壓面面積，單位為m2；［σjy］——材料的許用擠壓應(yīng)力，單位為MPa。

【例3-11】如圖3-15(a)所示的拖車掛鉤靠銷釘連接。已知掛鉤部分的鋼板厚度δ=8mm，銷釘材料的許用剪切應(yīng)力［τ］=60MPa，許用擠壓應(yīng)力［σjy］=100MPa，拖力P=15kN。試設(shè)計(jì)銷釘?shù)闹睆絛。圖3-15例3-11圖

解(1)

按剪切強(qiáng)度計(jì)算。銷釘受力圖如圖3-15(b)所示。銷釘有兩個(gè)剪切面，用截面法將銷釘沿剪切面截開（見圖3-15(c)），以銷釘中段為研究對(duì)象，由靜力平衡條件可得每一截面上的剪力銷釘受剪面積剪切強(qiáng)度計(jì)算公式得銷釘直徑(2）按銷釘擠壓強(qiáng)度計(jì)算。此時(shí)，擠壓力Pjy=P/2，實(shí)用擠壓面積為A=dδ,得【例3-12】一齒輪通過平鍵與軸連接（見圖3-16（a））。已知軸傳遞的力偶矩mO=1.5kNm，軸的直徑d=100mm，鍵的尺寸：寬b=28mm，高h(yuǎn)=16mm，長L=42mm。鍵材料的許用剪切應(yīng)力［τ］=40MPa，許用擠壓應(yīng)力［σjy］=100MPa。校核鍵的強(qiáng)度。圖3-16例3-12圖

解（1）校核鍵的剪切強(qiáng)度。沿鍵的剪切面m-m將鍵截開，以鍵的下部分和軸一起作為研究對(duì)象（見圖3-16(c)），設(shè)剪切面上的剪力為Q，有如下平衡方程:得鍵的剪切面積為A=bl=28×42=1176mm2

由剪切強(qiáng)度條件得(2）按擠壓強(qiáng)度校核。由圖3-16（c），得擠壓力

Pjy=Q=30kN

鍵與軸的接觸面為平面，則擠壓面即為該平面，擠壓面積由擠壓強(qiáng)度條件得3.圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件式中:τ——橫截面上的實(shí)際扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力，單位為MPa；［τ］——軸材料的許用扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力，單位為MPa。Mn——橫截面上的扭矩，單位為N·m；Wn——橫截面的抗扭截面模量，單位為m3。當(dāng)軸的直徑為D時(shí)，對(duì)于空心軸，當(dāng)外徑為D、內(nèi)徑為d時(shí)，其中，【例3-13】一汽車傳動(dòng)軸由無縫鋼管制成，其外徑D=90mm，壁厚t=2.5mm，材料為45號(hào)鋼，許用剪應(yīng)力［τ］=60MPa，工作時(shí)的最大外力偶矩M=1.5kNm。求:(1)校核軸的強(qiáng)度；(2）將軸改成實(shí)心軸，計(jì)算相同條件下軸的直徑；(3）比較實(shí)心軸與空心軸的重量。

解（1）校核軸的強(qiáng)度。軸受的扭矩（2）計(jì)算實(shí)心軸的直徑。實(shí)心軸與空心軸的強(qiáng)度相同，兩軸的抗扭截面模量應(yīng)相等。設(shè)實(shí)心軸的直徑為D1，則其抗扭截面模量為Wn1，有即（3）比較實(shí)心軸與空心軸的重量。由于兩軸長度相等，材料相同，兩者重量比即為橫截面面積之比。設(shè)實(shí)心軸的橫截面面積為空心軸的橫截面面積為故兩相比較，空心軸省材料?！纠?-14】一傳動(dòng)軸受力情況如圖3-17(a)所示，已知材料的許用剪應(yīng)力［τ］=40MPa，設(shè)計(jì)軸的直徑。圖3－17例3－14圖

解作軸的扭矩圖（見圖3－17（b））。設(shè)軸的直徑為d，按軸的強(qiáng)度條件得取軸徑d=53mm。

4.桿件的彎曲強(qiáng)度計(jì)算以彎曲變形為主要變形的桿件稱為梁。梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件式中:σ——梁的橫截面上的正應(yīng)力，單位為MPa；Mmax——梁的最大彎矩，單位為N·

m；WZ——梁的抗彎截面模量，單位為m3,按下式計(jì)算。