《高考導(dǎo)航》2022屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)-第三章-第5講-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-輕松闖關(guān)

1．函數(shù)y＝eq\r(cosx－\f(\r(3),2))的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,6)))，k∈ZC.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,6)))，k∈ZD．R解析：選C.∵cosx－eq\f(\r(3),2)≥0，得cosx≥eq\f(\r(3),2)，∴2kπ－eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.2．函數(shù)f(x)＝(1＋sinx)(sin2x＋cos2x－sinx)是()A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為2π的奇函數(shù)D．最小正周期為2π的偶函數(shù)解析：選B.f(x)＝(1＋sinx)(1－sinx)＝1－sin2x＝cos2x＝eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)，所以f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù)．3．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,6)－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為()A．－1－eq\r(3) B．－1C．0 D．2－eq\r(3)解析：選D.∵0≤x≤9，∴－eq\f(π,3)≤eq\f(πx,6)－eq\f(π,3)≤eq\f(7π,6)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,6)－\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).∴y∈[－eq\r(3)，2]，∴ymax＋ymin＝2－eq\r(3).4．假如函數(shù)y＝3sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對(duì)稱，則|φ|的最小值為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析：選A.依題意得，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝±1，則eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，因此|φ|的最小值是eq\f(π,6).5．(2022·高考安徽卷)設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．當(dāng)0≤x<π時(shí)，f(x)＝0，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)))＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．0 D．－eq\f(1,2)解析：選A.∵f(x＋π)＝f(x)＋sinx，∴f(x＋2π)＝f(x＋π)－sinx.∴f(x＋2π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)．∴f(x)是以2π為周期的周期函數(shù)．又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π－\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))－eq\f(1,2).∵當(dāng)0≤x<π時(shí)，f(x)＝0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))＝0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(1,2).故選A.6．比較大?。簊ineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))________sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))).解析：由于y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上為增函數(shù)且－eq\f(π,18)＞－eq\f(π,10)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))＞sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))).答案：＞7．(2022·高考山東卷)函數(shù)y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x的最小正周期為_(kāi)_______．解析：∵y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，∴函數(shù)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.答案：π8．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))的值域?yàn)開(kāi)_______，并且取最大值時(shí)x的值為_(kāi)_______．解析：∵0≤x≤eq\f(π,3)，∴eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤π，∴0≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，∴－1≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－1≤1，即值域?yàn)閇－1，1]，且當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝1，即x＝eq\f(π,12)時(shí)，y取最大值．答案：[－1，1]eq\f(π,12)9．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x.(1)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(2)求f(x)圖象上與原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心的坐標(biāo)．解：f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．(1)由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)得，kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ＋eq\f(π,6)，kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)．(2)由sin(2x＋eq\f(π,6))＝0，得2x＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，即x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z)．∴f(x)圖象上與原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心坐標(biāo)是(－eq\f(π,12)，0)．10．(2022·高考天津卷)已知函數(shù)f(x)＝cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在閉區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值和最小值.解：(1)由已知，有f(x)＝cosx·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,2)sinx·cosx－eq\f(\r(3),2)cos2x＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,4)sin2x－eq\f(\r(3),4)(1＋cos2x)＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,4)sin2x－eq\f(\r(3),4)cos2x＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由于f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上是減函數(shù)，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上是增函數(shù)．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－eq\f(1,4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝－eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，所以，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值為eq\f(1,4)，最小值為－eq\f(1,2).1．若函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，且|φ|<\f(π,2)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上是單調(diào)減函數(shù)，且函數(shù)值從1削減到－1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．1解析：選C.由題意得函數(shù)f(x)的周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，此時(shí)f(x)＝sin(2x＋φ)，將點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))代入上式得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))，所以φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，于是feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).2．(2021·開(kāi)封市第一次摸底)已知函數(shù)f(x)＝sin2xcosφ＋cos2xsinφ(x∈R)，其中φ為實(shí)數(shù)，且f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)))對(duì)任意實(shí)數(shù)R恒成立，記p＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))，q＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))，r＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)))，則p、q、r的大小關(guān)系是()A．r<p<q B．q<r<pC．p<q<r D．q<p<r解析：選C.f(x)＝sin2xcosφ＋cos2xsinφ＝sin(2x＋φ)，∴f(x)的最小正周期T＝π.∵f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)))是最大值．∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,18)))，∴p＝sineq\f(25π,18)，q＝sineq\f(31π,18)，r＝sineq\f(7π,18)，∴p<q<r.3．當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))時(shí)，函數(shù)y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．解析：∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，∴sinx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,8).∴當(dāng)sinx＝eq\f(1,4)時(shí)，ymin＝eq\f(7,8)，當(dāng)sinx＝－eq\f(1,2)或sinx＝1時(shí)，ymax＝2.答案：eq\f(7,8)24．(2021·內(nèi)蒙古包頭一模)給出下列命題：①函數(shù)f(x)＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的一個(gè)對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，0))；②已知函數(shù)f(x)＝min{sinx，cosx}，則f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))；③若α、β均為第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ.其中全部真命題的序號(hào)是________．解析：對(duì)于①，令x＝－eq\f(5,12)π，則2x＋eq\f(π,3)＝－eq\f(5,6)π＋eq\f(π,3)＝－eq\f(π,2)，有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12)π))＝0，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12)π，0))為f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心，①為真命題；對(duì)于②，結(jié)合圖象知f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))，②為真命題；對(duì)于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但sin390°＝eq\f(1,2)＜sin60°＝eq\f(\r(3),2)，故③為假命題，所以真命題為①②.答案：①②5．(2021·遼寧省五校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinωx＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))，x∈R.(1)若ω＝eq\f(1,2)，求f(x)的最大值及相應(yīng)x的集合；(2)若x＝eq\f(π,8)是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期．解：由已知：f(x)＝sinωx－cosωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4))).(1)若ω＝eq\f(1,2)，則f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，又x∈R，則eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))≤eq\r(2)，∴f(x)max＝eq\r(2)，此時(shí)eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.即x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝4kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).(2)∵x＝eq\f(π,8)是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，∴eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)ω－\f(π,4)))＝0，∴eq\f(π,8)ω－eq\f(π,4)＝kπ，k∈Z，又0<ω<10，∴ω＝2，∴f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，此時(shí)其最小正周期為π.6．(選做題)已知a>0，函數(shù)f(x)＝－2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2a＋b，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，－5≤f(x)≤1.(1)求常數(shù)a，b的值；(2)設(shè)g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))且lgg(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6))).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－