【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(北師大版)選修1-1教案：第1章-教材點撥：充分條件與必要條件

充分條件與必要條件教材點撥一、充分條件圖1-1×圖1-1×BAC物理模型的直觀解釋：如圖1-2-1電路圖，當開關A閉合時，燈泡B亮，而當燈泡B亮時，開關A卻不愿定是閉合的；即要使燈泡B亮，只要開關A閉合著一個條件就夠了，我們就稱“開關A閉合”是“燈泡B亮”的充分條件。一般地，“若，則”是一個真命題，是指由通過推理可以得出，即由可推出，記作，那么，就稱條件是結論的充分條件（sufficientcondition）?！叭?，則”是一個真命題，是指由通過推理可以得出，即由可推出，記作，那么，就稱是的充分條件（sufficientcondition）。例如：①，那么，“”是“”成立的充分條件；②，那么，“”是“”成立的充分條件；③三邊對應相等的兩個三角形全等：“三邊對應相等”是“兩個三角形全等”的充分條件；④“”是函數(shù)為冪函數(shù)的充分條件；警示：充分條件就是某一個結論成立應當具備的條件，當命題具備此條件時，就可以得出此結論，或者要是此結論成立，只要具備此條件就夠了，而當命題不具備此條件時，結論也有可能成立。例如，當時，成立，但是，當時，也可以成立，即時，也成立，所以，是成立的充分條件，也是成立的充分條件?！纠糠抡帐纠膶懴铝忻}，并推斷條件是否為充分條件：示例：若，則，可以改寫成：；是充分條件；（1）個位數(shù)字是0的自然數(shù)能被5整除；（2）對角線相等的四邊形是矩形；（3）與同一平面所成的角相等的兩條直線平行；（4）若定義域為的函數(shù)為奇函數(shù)，則解：（1）個位數(shù)字是0的自然數(shù)這個自然數(shù)能被5整除；是充分條件；（2）四邊形的對角線相等這個四邊形是矩形；不是充分條件；（3）兩條直線與同一平面所成的角相等這兩條直線平行；不是充分條件；（4）定義域為的函數(shù)為奇函數(shù)；是充分條件。點撥:本例還是練習命題的條件和結論，同時推斷此命題的真假，由命題的真假可以推斷條件是否為充分條件，當命題為真時，條件是充分條件；當命題為假時，條件不是充分條件。針對性練習：下列各題中，哪些是的充分條件：（1）：且，：；（2）：，：；（3）：，：；（4）：直線∥平面，，：∥。解：（1）是的充分條件；（2）是的充分條件；（3）不是的充分條件；（4）不是的充分條件；點撥：可以用兩種方法推斷：（一）推斷命題的真假，如（4）是命題假如一條直線與一個平面平行，那么這條直線與這個平面內(nèi)的任意一條直線都平行，是假命題；（二）由：（1）由于且所以，即；（2）由得：代入得：=右邊；B×AC圖1-2（3）觀看，式子的正負是由和兩個式子的符號確定的，不能由一個式子的符號確定。B×AC圖1-2二、必要條件如圖1-2電路圖，當開關A閉合時，燈泡B不愿定亮，但是當開關A不閉合時，燈泡B確定不亮；當燈泡B亮時，可以知道開關A確定是閉合的；所以要使燈泡B亮，開關A必需是閉合的，我們稱開關A閉合是燈泡B亮的必要條件。一般地，“若，則”是一個真命題，是指由通過推理可以得出，即由可推出，記作“”那么，結論是條件的必要條件（necessarycondition）。“若，則”是一個真命題，是指由通過推理可以得出，即由可推出，記作“”，那么，就稱是的必要條件（necessarycondition）。警示：由必要條件的定義可以看出，必要條件與充分條件是一個真命題的兩種說法：①真命題的條件是充分條件，②真命題的結論是條件的必要條件，即假如此結論不成立，那么條件也就不成立。假命題的條件不是命題結論成立的充分條件，但是有可能是必要條件，例如，命題：“若：，則：”是假命題，不是的充分條件；由，所以是的必要條件?！纠恳阎}“若：，則：無實數(shù)根”，試推斷是的什么條件？是的什么條件？解：是的充分條件，不是必要條件，是的必要條件，不是充分條件。點撥：方法（一）方程無實數(shù)根，所以，所以當時，方程無實數(shù)根，是的充分條件，是的必要條件，又由于由不能推出，所以由不能推出，不是的充分條件，不是的必要條件。方法（二）命題“：，：無實數(shù)根”等價于“：，：”，由于，所以命題“若：，則：”為真命題，命題“若：，則：”是假命題，由命題的真假來推斷充分條件和必要條件。針對性練習：推斷下列各命題中，是的什么條件？是的什么條件？（1）：，：；（2）：，：；（3）：，：直線與直線相互垂直；（4）：，：解：（1）是的充分條件，不是必要條件，是必要條件，不是充分條件；（2）是的必要條件，不是充分條件，是充分條件，不是必要條件；（3）是的充分條件，不是必要條件，是必要條件，不是充分條件；（4）是的必要條件，不是充分條件，是充分條件，不是必要條件；點撥：（1）（2）依據(jù)不等式的性質(zhì)可以推斷；（3）（4）驗證法和直接推導相結合。三、充要條件利用下列電路圖，我么可以形象的理解充分條件、必要條件、充要條件：如圖1-3的四個電路圖甲、乙、丙、丁，開關為A，C，燈泡為B，將“開關的閉合”作為條件，“燈泡亮”作為結論××B甲B×AC乙×B丙×BAC丁圖1-3圖乙中，開關A閉合時，燈泡B不愿定亮，即由開關A閉合，不能推出燈泡B亮，但是當燈泡B亮時，開關A確定是閉合的，即由燈泡B亮，確定能推知開關A閉合，我們稱“開關A閉合”是“燈泡B亮”的必要不充分條件；圖丁中，“開關A閉合”不能推知“燈泡B亮”，即由開關A閉合，不能推出燈泡B亮，而當燈泡B亮時，也不能確定開關A是否閉合，即由燈泡B亮，也不能推知開關A閉合，所以，我們稱“開關A閉合”是“燈泡B亮”的既不充分也不必要條件。圖甲，請同學們畫出開關A，C，，使得當開關A閉合時，燈泡B亮，而當燈泡B亮時，開關A不愿定閉合，即由開關A閉合，能推知燈泡B亮，由燈泡B亮，推知開關A不愿定是閉合，此時稱“開關A閉合”是“燈泡B亮”的充分也不必要條件；圖丙，請同學們畫出開關A，使得開關A閉合，則燈泡B亮；燈泡B亮時，開關A閉合，即“開關A閉合”是“燈泡B亮”的充分必要條件，簡稱為充要條件。再如，已知：數(shù)列是等差數(shù)列，：對任意的，有（常數(shù)）。我們知道，由，且，所以既是的充分條件，又是的必要條件；我們就稱是的充分必要條件，簡稱充要條件。我們還可以發(fā)覺，既是的充分條件，又是必要條件，所以也是的充要條件。一般地，假如既有，又有，就記作：此時，我們說，是的充分必要條件，簡稱充要條件（sufficientandnecessarycondition）,明顯，假如是的充要條件，那么也是的充要條件。概括地說，假如，那么與互為充要條件。引申與思考：（1）命題成立的條件一共可以分為四種條件：①充分不必要條件，即但是；②必要不充分條件：但是；③充要條件：且；④既不充分也不必要的條件：即且。（2）充要條件的意義是：是的充要條件就是“有，則必成立；無，則必不成立”，簡記為“有之必有果，無之則無果”。（3）推斷四種條件的步驟是：第一步，分清條件是什么，結論是什么；其次步，嘗試用條件推結論（證明充分性），再嘗試用結論（作為條件）去推條件（證明必要性）。其中列舉反例法是得出不具有充分性和必要性的重要方法。第三步，得出條件是結論的什么條件。（4）圖甲，將兩個開關A，C并聯(lián)后與燈泡B串聯(lián)；圖丙，【例】推斷下列條件，是的什么條件？（1）△中，Ｍ是的中點，：，：（2）：若函數(shù)過原點，：（3）：，：直線與圓相切（4）已知為在同一平面內(nèi)的非零向量。：，：解：（1）（2）的是的充要條件；（3）是的充分不必要條件；（4）是的必要不充分條件，點撥：（1）（2）需要推斷充分性和必要性，分兩步來證明。（3）當時，直線與圓也相切；（4）需要嫻熟的向量學問，由于，所以，所以只要在上的投影相等，不愿定有，例如，而，仍有。當時，與相等，，所以有。針對性練習：下列命題中：（１）△中，，垂足為Ｄ，：，：，則是的充要條件；（2）“”是“”的必要條件；（3）“”是“”的充要條件；（4）“”是“”