【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1學(xué)案：《充分必要條件的綜合應(yīng)用》

第3課時(shí)充分必要條件的綜合應(yīng)用1.能夠分清充分條件、必要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件的關(guān)系.2.利用充分必要條件的學(xué)問(wèn)解決與集合、函數(shù)、三角函數(shù)、平面對(duì)量、數(shù)列、不等式、立體幾何等問(wèn)題.上一節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了充分條件、必要條件和充要條件的基本概念,并能簡(jiǎn)潔地進(jìn)行論證,充分必要條件是一種重要的數(shù)學(xué)工具,是集合、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、平面對(duì)量等學(xué)問(wèn)的綜合交匯點(diǎn),地位重要,本節(jié)課我們將共同探究充分必要條件的綜合應(yīng)用,我們先思考并回答下面幾個(gè)問(wèn)題.問(wèn)題1:充分條件與必要條件的定義:(1)若p?q,則p是q的條件;

(2)若q?p,則p是q的條件;

(3)若p?q且q?p,則p是q的條件;

(4)若p?q且q?/p,則p是q的條件;

(5)若p?/q且q?p,則p是q的條件;

(6)若p?/q且q?/p,則p是q的條件.

問(wèn)題2:充分必要條件與集合間的關(guān)系記條件p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B,則:若A?B,則p是q的條件;

若A?B,則p是q的條件;

若B?A,則p是q的條件;

若B?A,則p是q的條件;

若A=B,則p是q的條件;

若A?B,且A?B,則p是q的條件.

問(wèn)題3:四種命題間的充分必要關(guān)系:把p與q分別記作命題的條件與結(jié)論,則原命題與逆命題的真假同p與q之間的關(guān)系如下:(1)假如原命題真,逆命題假,那么p是q的條件;

(2)假如原命題假,逆命題真,那么p是q的條件;

(3)假如原命題與逆命題都真,那么p是q的條件;

(4)假如原命題與逆命題都假,那么p是q的條件.

1.不等式2x2+x-3<0成立的一個(gè)充分條件是().A.{x|x>3或x<-2} B.{x|-2<x<3}C.{x|-12<x<3} D.{x|0<x<12.已知a、b∈R,則“a>b”是“a3>b3”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.“x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanx=1”的條件.(填“充分不必要”“必要不充分”或“充分必要”4.已知集合A={y|y=x2-32x+1,x∈[34,2]},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分條件,求實(shí)數(shù)m充分必要條件的判定已知數(shù)列{an},“對(duì)任意的n∈N+,點(diǎn)P(n,an)都在直線y=2x+1上”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件充要條件的探求已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m).(1)求點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形的充要條件;(2)求∠A為直角的充要條件.充要條件的證明設(shè)a,b,c為△ABC的三邊,求證:方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是∠A=90°.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,則“|q|=2”是“S6=7S2”的().A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件已知關(guān)于x的一元二次方程(m∈Z),mx2-4x+4=0,①x2-4mx+4m2-4m-5=0, ②求方程①和②的根都是整數(shù)的充要條件.設(shè)p是不為0和1的實(shí)數(shù),Sn=pn+q(n∈N+)是數(shù)列an的前n項(xiàng)和求證:數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件是q=-11.“α=π3”是“cosα=12”的(A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,且D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則“f(0)=0”是“y=f(x)為奇函數(shù)”的().A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.已知條件p:函數(shù)g(x)=logm(x-1)為減函數(shù),條件q:關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有解,則p是q的條件.(填“充分不必要”“必要不充分”或“充分必要”4.求一元二次方程ax2+2x+1=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分必要條件.(2021年·天津卷)設(shè)a,b∈R,則“(a-b)a2<0”是“a<b”的().A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件考題變式(我來(lái)改編):

第3課時(shí)充分必要條件的綜合應(yīng)用學(xué)問(wèn)體系梳理問(wèn)題1:(1)充分(2)必要(3)充要(4)充分不必要(5)必要不充分(6)既不充分也不必要問(wèn)題2:充分充分不必要必要必要不充分充要既不充分也不必要問(wèn)題3:(1)充分不必要(2)必要不充分(3)充要(4)既不充分也不必要基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.D解不等式2x2+x-3<0得-32<x<1,∴集合{x|-32<x<1}的一個(gè)子集就是不等式2x2+x-3<0成立的一個(gè)充分條件,故選2.C由于y=x3是奇函數(shù)且為遞增函數(shù),所以由a3>b3得a>b,所以“a>b”是“a3>b3”的充要條件,選C.3.充分不必要由tanx=1得x=kπ+π4(k∈Z),所以“x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanx=14.解:y=x2-32x+1=(x-34)2+∵x∈[34,2],∴716≤y≤∴A={y|716≤y≤2由x+m2≥1得x≥1-m2,∴B={x|x≥1-m2},∵“x∈A”是“x∈B”的充分條件,∴A?B,∴1-m2≤716,解得m≥34或m≤-故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-34]∪[34,+∞重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】由于Pn(n,an)在直線y=2x+1上,所以an=2n+1(n∈N+),當(dāng)n≥2時(shí),an-1=2(n-1)+1=2n-1,于是an-an-1=2(常數(shù)).又a1=3,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列反過(guò)來(lái),令an=n(n∈N+),則an為等差數(shù)列,但點(diǎn)(n,n)不在直線y=2x+1上【答案】A【小結(jié)】在條件和結(jié)論的相互推理過(guò)程中,肯定要留意大前提是什么.探究二:【解析】(1)由于OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),所以AB=(3,1),AC=(2-m,1-m).點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形?A、B、C三點(diǎn)不共線?2-m3≠1-m1,即m≠12.所以點(diǎn)A、B、(2)∠A為直角的充要條件是AB.AC=0,所以3(2-m)+(1-m)=0,解得m=74【小結(jié)】查找命題的充分必要條件在推導(dǎo)過(guò)程中每一步必需是等價(jià)可逆的,這樣才能確保所得到的結(jié)論是原命題的充要條件.探究三:【解析】充分性:由于∠A=90°,所以a2=b2+c2.于是方程x2+2ax+b2=0可化為x2+2ax+a2-c2=0,所以x2+2ax+(a+c)(a-c)=0,所以[x+(a+c)][x+(a-c)]=0,該方程有兩根為x1=-(a+c),x2=-(a-c).同樣另一方程x2+2cx-b2=0也可化為x2+2cx-(a2-c2)=0,即[x+(a+c)][x+(c-a)]=0,也有兩根x3=-(a+c),x4=-(c-a).可以發(fā)覺(jué)x1=x3,所以方程有公共根.必要性:設(shè)x0是方程的公共根,則x由①+②得x0=-(a+c),代入①中并整理可得a2=b2+c2.所以∠A=90°.證明完畢.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:A若q=1,則S6=7S2明顯不成立.由S6=7S2得a1(1-q6)1-q=7×a1(1-q2)1-q,即1-q6=7(1-q2),所以q6-7q2+6=0.若|q|=2,則q2=2,滿足q6-7q2+6=0.當(dāng)q=-1時(shí),滿足q6-7q2+6=0,但應(yīng)用二:方程①有實(shí)數(shù)根的充要條件是Δ=16-4×4×m≥0且m≠0,解得m≤1,且m≠0,方程②有實(shí)數(shù)根的充要條件是Δ=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,解得m≥-54所以-54≤m<0且0<m≤1,而m∈Z,故m=-1或m=1當(dāng)m=-1時(shí),方程①為x2+4x-4=0,無(wú)整數(shù)根;當(dāng)m=1時(shí),方程①為x2-4x+4=0,方程②為x2-4x-5=0,①和②均有整數(shù)根.從而,①和②均有整數(shù)根?m=1.反之,m=1,方程①為x2-4x+4=0,方程②為x2-4x-5=0,①和②均有整數(shù)根,所以①和②均有整數(shù)根的充要條件是m=1.應(yīng)用三:先證充分性:當(dāng)q=-1時(shí),Sn=pn-1,S1=p-1;當(dāng)n≥2,n∈N+時(shí),an=Sn-Sn-1=(p-1則an-1=(p-1)pn-所以an是等比數(shù)列再證必要性:依題意易知a1=S1=p+q,an=(p-1)pn-1(n≥2,n∈N明顯,當(dāng)n≥2時(shí),an是等比數(shù)列,其公比為∴a2=pa1,即p2-p=p2+pq,得q=-1.證明完畢.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.B由cosα=12,得α=π3+2kπ或α=-π3+2kπ,k∈Z,所以“α=π3”是“cosα=122.D若f(x)=x2,則滿足f(0)=0,但f(x)是偶函數(shù);若f(x)=1x,則函數(shù)f(x)是奇函數(shù),但f(0)沒(méi)有意義,故選D3.充分不必要函數(shù)g(x)=logm(x-1)為減函數(shù),則有0<m<1,