【北京特級教師】2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-3課后練習(xí)：離散型隨機變量及其分布列(三)

專題離散型隨機變量及其分布列(三)課后練習(xí)主講老師：王春輝數(shù)學(xué)高級老師如圖所示是某學(xué)校一名籃球運動員在五場競賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運動員在這五場競賽中得分的方差為_________.(注：方差，其中為x1，x2，…，xn的平均數(shù))某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組頻數(shù)B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組頻數(shù)(Ⅰ)分別估量用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；(Ⅱ)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(以試驗結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn).(Ⅰ)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：5678p0.4ab0.1且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；(Ⅱ)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估量總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望.(Ⅲ)在(Ⅰ)、(Ⅱ)的條件下，若以“性價比”為推斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由.注：(1)產(chǎn)品的“性價比”=；(2)“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內(nèi)的頻率如下表：時間(分鐘)10202030304040505060的頻率的頻率0現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站．(Ⅰ)為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？(Ⅱ)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(Ⅰ)的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間相互獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時間(分)12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個顧客開頭辦理業(yè)務(wù)時計時.(Ⅰ)估量第三個顧客恰好等待4分鐘開頭辦理業(yè)務(wù)的概率.(Ⅱ)表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.某花店每天以每枝元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價格出售，假如當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.(1)若花店一天購進枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量(單位：枝，)的函數(shù)解析式.(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.(i)若花店一天購進枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；(ii)若花店方案一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應(yīng)購進16枝還是17枝？請說明理由.如圖，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0，1，0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構(gòu)成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機變量V(假如選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi)，此時“立體”的體積V=0).(1)求V=0的概率.(2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望.一個均勻的正四周體的四個面上分別涂有1,2,3,4四個數(shù)字，現(xiàn)隨機投擲兩次，正四周風(fēng)光朝下的數(shù)字分別為x1，x2，記ξ＝(x1－3)2＋(x2－3)2.(1)分別求出ξ取得最大值和最小值時的概率；(2)求ξ的分布列．專題離散型隨機變量及其分布列(三)課后練習(xí)參考答案6.8詳解：，.(Ⅰ)A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估量值為0.3，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估量值為0.42(Ⅱ)X-224P0.040.540.42X的分布列為X的數(shù)學(xué)期望2.68詳解：(Ⅰ)由試驗結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的頻率為，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估量值為0.3.由試驗結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估量值為0.42(Ⅱ)用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間的頻率分別為0.04，,0.54,0.42，因此X的可能值為-2,2,4P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,X-224P0.040.540.42即X的分布列為X的數(shù)學(xué)期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68(Ⅰ)(Ⅱ)4.8(Ⅲ)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性.詳解：(Ⅰ)由于＝6,所以即，又由的概率分布列得即.由解得(Ⅱ)由已知得，樣本的頻率分布表如下：345678f0.30.20.20.10.10.1用這個樣本的頻率分布估量總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)的概率分布列如下：345678P0.30.20.20.10.10.1所以，即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.(Ⅲ)乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性，理由如下：由于甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6,價格為6元/件，所以其性價比為.由于乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8,價格為4元/件，所以其性價比為所以乙廠的產(chǎn)品更具可購買性.(Ⅰ)甲應(yīng)選擇路徑,乙應(yīng)選擇路徑．(Ⅱ)X的分布列為012P0.040.420.54數(shù)學(xué)期望為.詳解：(Ⅰ)表示大事“甲選擇路徑時，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，表示大事“乙選擇路徑時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，，．用頻率估量相應(yīng)的概率，則有：，；∵，∴甲應(yīng)選擇路徑；，；∵，∴乙應(yīng)選擇路徑．(Ⅱ)用A，B分別表示針對(Ⅰ)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，由(Ⅰ)知，，又大事A，B相互獨立，的取值是0，1，2，∴，，∴X的分布列為012P0.040.420.54∴．(Ⅰ)0.22.(Ⅱ)X012P0.50.490.01期望是0.51.詳解：設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間，用頻率估量概率，得Y的分布列如下：12345P0.10.40.30.10.1(Ⅰ)A表示大事“第三個顧客恰好等待4分鐘開頭辦理業(yè)務(wù)”，則大事A對應(yīng)三種情形：①第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘，且其次個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘；②第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，且其次個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘；③第一個和其次個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘.所以.(Ⅱ)X全部可能的取值為0，1，2.對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘，所以；對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘且其次個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘，所以；X=2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以,所以X的分布列為X012P0.50.490.01∴.(1).(2)的分布列為期望76，方差44.(ii)應(yīng)購進17枝.詳解：(1)當(dāng)時，.當(dāng)時，，得：.(2)(i)可取，，，.的分布列為..(ii)購進17枝時，當(dāng)天的利潤為y=(14×5－3×5)×0.1+(15×5－2×5)×0.2+(16×5－1×5)×0.16+17×5×0.54=76.4，76.4>76得：應(yīng)購進17枝.(1)(2)的分布列為VP期望詳解：(1)從6個點中隨機選取3個點總共有種取法，選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi)的取法有種，因此的概率為(2)V的全部可能取值為，因此的分布列為VP由V的分布列可得(1)eq\f(1,16)；eq\f(1,16).(2)ξ的分布列為：ξ012458Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)詳解：(1)擲出點數(shù)x可能是：1,2,3,4.則x－3分別得：－2，－1,0,1.于是(x－3)2的全部取值分別為：0,1,4.因此ξ的全部取值為：0,1,2,4,5,8.當(dāng)x1＝1且x2＝1時，ξ＝(x1－3)2＋(x2－3)2可取得最大值8，P(ξ＝8)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)；當(dāng)x1＝3且x2＝3時，ξ＝(x1－3)2＋(x2－3)2可取得最小值0，P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16).(2)由(1)知ξ的全部取值為：0,1,2,4,5,8.P(ξ＝0)＝P(ξ＝8)＝eq\f(1,16)；當(dāng)ξ＝1時，(x1，x2)的全部取值為(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4)．即P(ξ＝1)＝eq\f(4,16)；當(dāng)ξ＝2時，(x1，x2)的全部取值為(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4)．即P