2021高中數學(人教A版)選修2-2課時作業(yè)12

課時作業(yè)(十二)一、選擇題1．一周長為l的扇形，當面積達到最大值時，扇形的半徑的()A.eq\f(l,3) B.eq\f(l,6)C.eq\f(l,4) D.eq\f(l,8)答案C解析設半徑為r，則弧長為l－2r.S扇＝eq\f(1,2)·弧長·半徑＝eq\f(1,2)(l－2r)·r＝－r2＋eq\f(l,2)r.令S′扇＝－2r＋eq\f(l,2)＝0，得r＝eq\f(l,4).2．以長為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內接矩形的面積的最大值為()A．10 B．15C．25 D．50答案C3．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使體積最大，則其高為()A.eq\f(20\r(3),3)cm B．100cmC．20cm D.eq\f(20,3)cm答案A4．海輪每小時使用的燃料費與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為30海里/時，當速度為10海里/時時，它的燃料費是每小時25元，其余費用(無論速度如何)都是每小時400元．假如甲、乙兩地相距800海里，那么要使該海輪從甲地航行到乙地的總費用最低，它的航速應為()A．30海里/時 B．25海里/時C．20海里/時 D．10海里/時答案C二、填空題5．如圖，兩個工廠A、B相距0.6km，變電站C距A、B都是0.5km，方案鋪設動力線，先由C沿AB的垂線至D，再與A、B相連，D點選在距AB________km處時，動力線最短．答案eq\f(\r(3),10)解析設CD⊥AB，垂足為E，DE的長為xkm.由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5，得AE＝EB＝0.3.∴CE＝eq\r(AC2－AE2)＝eq\r(0.52－0.32)＝0.4.∴CD＝0.4－x.∴AD＝BD＝eq\r(AE2＋DE2)＝eq\r(0.32＋x2)＝eq\r(0.09＋x2).∴動力線總長l＝AD＋BD＋CD＝2eq\r(0.09＋x2)＋0.4－x.令l′＝2·eq\f(2x,2\r(0.09＋x2))－1＝eq\f(2x－\r(0.09＋x2),\r(0.09＋x2))＝0，即2x－eq\r(0.09＋x2)＝0.解得x＝eq\f(\r(3),10).(∵x＞0)當x＜eq\f(\r(3),10)時，l′＜0；當x＞eq\f(\r(3),10)時，l′＞0.∴l(xiāng)在x＝eq\f(\r(3),10)時有最小值．6．內接于半徑為R的球且體積最大的圓柱體的高為______．答案eq\f(2\r(3),3)R解析作軸截面如右圖，設圓柱高為2h，則底面半徑為eq\r(R2－h(huán)2).圓柱體體積為V＝π(R2－h(huán)2)·2h＝2πR2h－2πh3.令V′＝0，得2πR2－6πh2＝0.∴h＝eq\f(\r(3),3)R，即當2h＝eq\f(2\r(3),3)R時，圓柱體的體積最大．三、解答題7．當圓柱形金屬罐的表面積為定值S時，應怎樣制作，才能使其容積最大？解析設圓柱的高為h，底面半徑為R，則S＝2πRh＋2πR2，∴h＝eq\f(S－2πR2,2πR).①∴V＝πR2h＝eq\f(1,2)R(S－2πR2)＝eq\f(1,2)RS－πR3.∴V′(R)＝eq\f(1,2)S－3πR2.令V′(R)＝0，得S＝6πR2，代入①式中h＝eq\f(6πR2－2πR2,2πR)＝2R.∴h＝2R時，圓柱的容積最大．8．某單位用2160萬元購得一塊空地，方案在該地塊上建筑一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經測算，假如將樓房建為x(x≥10)層，那么每平方米的平均建筑費用為560＋48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝eq\f(購地總費用,建筑總面積))解析設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元，則f(x)＝(560＋48x)＋eq\f(2160×10000,2000x)＝560＋48x＋eq\f(10800,x)(x≥10，x∈N*)，f′(x)＝48－eq\f(10800,x2).令f′(x)＝0，得x＝15.當x>15時，f′(x)>0；當10<x<15時，f′(x)<0.因此，當x＝15時，f(x)取最小值f(15)＝2000(元)．答：為了樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為15層．9．甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比，比例系數為b(b>0)；固定部分為a元．(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數，并指出這個函數的定義域；(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？解析(1)依題意汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為eq\f(s,v)，全程運輸成本為y＝a·eq\f(s,v)＋bv2·eq\f(s,v)＝s(eq\f(a,v)＋bv)，∴所求函數及其定義域為y＝s(eq\f(a,v)＋bv)，v∈(0，c]．(2)由題意s、a、b、v均為正數．由y′＝s(b－eq\f(a,v2))＝0，得v＝eq\r(\f(a,b)).但v∈(0，c]．①若eq\r(\f(a,b))≤c，則當v＝eq\r(\f(a,b))時，全程運輸成本y最小；②若eq\r(\f(a,b))>c，則v∈(0，c]，此時y′<0，即y在(0，c]上為減函數．所以當v＝c時，y最小．綜上可知，為使全程運輸成本y最?。攅q\r(\f(a,b))≤c時，行駛速度v＝eq\r(\f(a,b))；當eq\r(\f(a,b))>c時，行駛速度v＝c.10．(2010·湖北卷)為了在夏季降溫存冬季供暖時削減能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建筑隔熱層．某幢建筑物要建筑可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建筑成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建筑費用與20年的能源消耗費用之和．(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．解析設隔熱層厚度為xcm，由題設，每年能源消耗費用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建筑費用為C1(x)＝6x.最終得隔熱層建筑費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即