【同步輔導】2021高中數(shù)學北師大版選修2-2導學案：《導數(shù)的綜合應用》

第5課時導數(shù)的綜合應用1.能利用導數(shù)爭辯函數(shù)的單調性、極值、最值等.2.能利用導數(shù)爭辯函數(shù)的一些綜合性問題.函數(shù)與導數(shù)是高中數(shù)學的核心內容,函數(shù)思想貫穿中學數(shù)學全過程.導數(shù)作為工具,供應了爭辯函數(shù)性質的一般性方法.作為“平臺”,可以把函數(shù)、方程、不等式、圓錐曲線等有機地聯(lián)系在一起,在力量立意的命題思想指導下,與導數(shù)相關的問題已成為高考數(shù)學命題的必考考點之一.函數(shù)與方程、不等式相結合是高考熱點與難點.問題1:在某個區(qū)間(a,b)內,假如f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內單調;假如f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內單調.f'(x)>0(或<0)只是函數(shù)f(x)在該區(qū)間單調遞增(或遞減)的條件,可導函數(shù)f(x)在(a,b)上單調遞增(或遞減)的充要條件是:對任意x∈(a,b),都有f'(x)≥0(或≤0)且f(x)在(a,b)的任意子區(qū)間上都不恒為零.利用此充要條件可以便利地解決“已知函數(shù)的單調性,反過來確定函數(shù)解析式中的參數(shù)的值或范圍”問題.

問題2:設函數(shù)f(x)在點x0四周有定義,假如對x0四周全部的點x,都有f(x)<f(x0),那么f(x0)是函數(shù)的一個,記作y極大值=f(x0);假如對x0四周的全部的點都有f(x)>f(x0),那么f(x0)是函數(shù)的一個,記作y微小值=f(x0),極大值與微小值統(tǒng)稱為.導數(shù)f'(x)=0的點不肯定是函數(shù)y=f(x)的極值點,如使f'(x)=0的點的左、右的導數(shù)值異號,則是極值點,其中左正右負點是極大值點,左負右正點是微小值點.極大值未必大于微小值.

問題3:將函數(shù)y=f(x)在(a,b)內的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是,最小的一個是.

1.已知e為自然對數(shù)的底數(shù),則函數(shù)y=xex的單調遞增區(qū)間是().A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]C.[1,+∞) D.(-∞,1]2.已知曲線f(x)=lnx在點(x0,f(x0))處的切線經過點(0,-1),則x0的值為().A.1e B.1 C.e D.3.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導函數(shù)f'(x)在(a,b)內的圖像如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內有微小值點個.

4.等比數(shù)列{an}中,a1=1,a2022=4,函數(shù)f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2022),求函數(shù)f(x)在點(0,0)處的切線方程.已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍問題若函數(shù)f(x)=x3-ax2+1在[0,2]內單調遞減,求實數(shù)a的取值范圍.利用極值推斷方程根的個數(shù)已知函數(shù)f(x)=x3-x2-x.(1)求f(x)的極值;(2)畫出它的大致圖像;(3)指出y=f(x)零點的個數(shù).對導數(shù)的綜合考查已知函數(shù)f(x)=x2+2alnx.(1)若函數(shù)f(x)的圖像在(2,f(2))處的切線斜率為1,求實數(shù)a的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值;(3)若函數(shù)g(x)=2x+f(x)在[1,2]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍若函數(shù)f(x)=13x3-12ax2+(a-1)x+1在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù),在區(qū)間(6,+∞)上為增函數(shù),試求實數(shù)a已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R).(1)若函數(shù)f(x)在x=-1和x=3處取得極值,試求a,b的值;(2)在(1)的條件下,f(x)與x軸有3個交點,求c的取值范圍.已知函數(shù)f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=lnxx,其中e是自然常數(shù),a∈(1)當a=1時,求f(x)的極值,并證明f(x)>g(x)+12恒成立(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)的最小值為3?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.1.函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且f(x)>0,f'(x)>0,則函數(shù)y=xf(x)().A.存在極大值 B.存在微小值C.是增函數(shù) D.是減函數(shù)2.函數(shù)y=x3+3x在(0,+∞)上的最小值為()A.4 B.5 C.3 D.13.已知函數(shù)f(x)=alnx+x在區(qū)間[2,3]上單調遞增,則實數(shù)a的取值范圍是.

4.已知冪函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且在區(qū)間((1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)設函數(shù)g(x)=14f(x)+ax3+92x2-b(x∈R),其中a,b∈R.若函數(shù)g(x)僅在x=0處有極值,求a(2021年·新課標Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結論中錯誤的是().A.存在x0∈R,f(x0)=0B.函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對稱圖形C.若x0是f(x)的微小值點,則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)單調遞減D.若x0是f(x)的極值點,則f'(x0)=0考題變式(我來改編):

第5課時導數(shù)的綜合應用學問體系梳理問題1:遞增遞減充分問題2:極大值微小值極值問題3:最大值最小值基礎學習溝通1.A令y'=ex(1+x)≥0,又ex>0,∴1+x≥0,∴x≥-1.故選A.2.B依題意得,題中的切線方程是y-lnx0=1x0(x-x0).又該切線經過點(0,-1),于是有-1-lnx0=1x0(-x0),由此得lnx0=0,x0=3.1留意審題,題目給出的是導函數(shù)的圖像.先由導函數(shù)取值的正負確定函數(shù)的單調性,然后列表可推斷函數(shù)微小值點有1個.4.解:f'(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2022)+x·(x-a2)(x-a3)…(x-a2022)+x(x-a1)(x-a3)…(x-a2022)+…+x(x-a1)(x-a2)…(x-a2011),∴f'(0)=(-a1)·(-a2)…(-a2022)=(a1a2022)1006=22022,∴切線方程為y=22022x.重點難點探究探究一:【解析】f'(x)=3x2-2ax=x(3x-2a),當a=0時,f'(x)≥0,故y=f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增,與y=f(x)在[0,2]內單調遞減不符,舍去;當a<0時,由f'(x)≤0得23a≤x≤0,即f(x)的減區(qū)間為[23a,0],與y=f(x)在[0,2]內單調遞減不符,當a>0時,由f'(x)≤0得0≤x≤23a,即f(x)的減區(qū)間為[0,23a],由y=f(x)在[0,2]內單調遞減得23a≥2,即a綜上,可知a的取值范圍是[3,+∞).【小結】已知f(x)在區(qū)間(a,b)上的單調性,求參數(shù)范圍的方法:(1)利用集合的包含關系處理:f(x)在(a,b)上單調,則區(qū)間(a,b)是相應單調區(qū)間的子集;(2)利用不等式的恒成立處理:f(x)在(a,b)上單調,則f'(x)≥0或f'(x)≤0在(a,b)內恒成立,留意驗證等號是否成立.探究二:【解析】(1)由已知得f'(x)=3x2-2x-1,令f'(x)=0,解得x1=-13,x2=1當x變化時,f'(x)、f(x)的變化狀況如下表:x(-∞,-13-1(-13,11(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘微小值↗所以f(x)的極大值是f(-13)=527,微小值是f(1)=-(2)當x→-∞時,f(x)→-∞;當x→+∞時,f(x)→+∞.令f(x)=0得x=0或1±52,結合函數(shù)的單調性及極值可畫出f(x)的大致圖像(3)由圖像可知函數(shù)f(x)圖像與x軸有3個交點,即y=f(x)有3個零點.【小結】先求出函數(shù)的極值點和極值,從而把握函數(shù)在定義域上各個區(qū)間的單調性和在極值點處的函數(shù)值及x→∞時,f(x)的變化趨勢,據(jù)此可畫出函數(shù)的大致圖像,依據(jù)圖像,利用必修一中的零點定理,確定方程實數(shù)(函數(shù)零點)的個數(shù),這是導數(shù)的一個重要應用.探究三:【解析】(1)f'(x)=2x+2ax=由已知f'(2)=1,解得a=-3.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).①當a≥0時,f'(x)>0,因此f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+∞),這時函數(shù)無極值;②當a<0時f'(x)=2(當x變化時,f'(x),f(x)的變化狀況如下:x(0,-a-(-a,+∞f'(x)-0+f(x)↘微小值↗因此函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,-a),單調遞增區(qū)間是(-a,+∞當x=-a時,函數(shù)有微小值f(-a)=-a+2aln(3)由g(x)=2x+x2+2alnx得g'(x)=-2x2+2因函數(shù)g(x)為[1,2]上的單調減函數(shù),則g'(x)≤0在[1,2]上恒成立,即-2x2+2x+2ax≤0在[1,2]上恒成立,即a≤1x-x2在[1令h(x)=1x-x2,則h'(x)=-1x2-2x=-(1x2+2x)<0在[1所以h(x)在[1,2]為減函數(shù),故h(x)min=h(2)=-72,所以a≤-7易知當a=-72時也滿足題意故實數(shù)a的取值范圍為a≤-72【小結】本題簡潔消滅以下失誤:①通過第(1)問的條件“函數(shù)f(x)的圖像在(2,f(2))處的切線斜率為1”求出的a值,有的同學錯誤地將其作為第(2)問的條件;②對于(2)得到的不等式不能正確地進行爭辯;③對于(3)的恒成立問題,意識不到將其分別參數(shù),致使處理起來比較繁瑣.思維拓展應用應用一:函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)=x2-ax+a-1.令f'(x)=0,解得x=1或x=a-1.當a-1≤1,即a≤2時,函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù),不合題意;當a-1>1,即a>2時,函數(shù)f(x)在(-∞,1)上為增函數(shù),在(1,a-1)內為減函數(shù),在(a-1,+∞)上為增函數(shù).依題意應當x∈(1,4)時,f'(x)<0;當x∈(6,+∞)時,f'(x)>0.所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7.所以a的取值范圍是[5,7].應用二:(1)f'(x)=3x2-2ax+b,∵函數(shù)f(x)在x=-1和x=3處取得極值,∴-1,3是方程3x2-2ax+b=0的兩根,∴-1+3=2(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c,f'(x)=3x2-6x-9,當x變化時,f'(x)、f(x)的變化狀況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘微小值↗而f(-1)=c+5,f(3)=c-27,依據(jù)題意有c+5>0且c-27<0,∴c的取值范圍為-5<c<27.應用三:(1)當a=1時,f(x)=x-lnx,∴f'(x)=1-1x=x∴當0<x<1時,f'(x)<0,此時f(x)單調遞減;當1<x≤e時,f'(x)>0,此時f(x)單調遞增.∴f(x)的微小值為f(1)=1.∴f(x)在(0,e]上的最小值為1.令h(x)=g(x)+12=lnxx+12,則h'(x當0<x<e時,h'(x)>0,則h(x)在(0,e]上單調遞增,∴h(x)max=h(e)=1e+12<12+12=1=f(∴f(x)>g(x)+12恒成立(2)假設存在實數(shù)a,使f(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3.∵f'(x)=a-1x=ax①當a≤0時,f(x)在(0,e]上單調遞減,∴f(x)min=f(e)=ae-1=3,∴a=4e(舍去∴當a≤0時,不存在實數(shù)a使f(x)的最小值為3.②當0<1a<e,即a>1e時,f(x)在(0,1a)上單調遞減,在(1a,∴f(x)min=f(1a)=1+lna=3,∴a=e2,滿足條件③當1a≥e,即0<a≤1e時,f(x)在(0,e]上單調遞減,f(x)min=f(e)=ae-1=3,∴a=4e∴當1a≥e時,不存在實數(shù)a使f(x)的最小值為3綜上,存在實數(shù)a=e2,使得當x∈(0,e]時,f(x)有最小值3.基礎智能檢測1.C∵y'=f(x)+xf'(x),而函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)且f(x)>0,f'(x)>0,∴y'>0在(0,+∞)上恒成立.因此y=xf(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).2.Ay'=3x2-3x2,令y'=0,即x2-1x2=0,解得x=±1.由于x>0,所以x=1.在(0,+∞)上,由于只有一個微小值,所以它也是最小值,從而函數(shù)在(0,+∞)上的最小值為13+3.[-2,+∞)∵f(x)=alnx+x,∴f'(x)=ax+1.又∵f(x)在[2,3]上單調遞增,∴ax+1≥0在x∈[2,3]上恒成立,∴a≥(-x)max=-2,∴a∈[-2,+∞4.解:(1)∵f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調增函數(shù),∴-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,∴-1<m<3.又m∈Z,∴m=0,1,2,而m=0,2時,f(x)=x3不