《高考導(dǎo)航》2022屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)-第九章-第7講-離散型隨機(jī)變量及其分布列-輕松闖關(guān)

1．袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量X，則X全部可能取值的個(gè)數(shù)是()A．5 B．9C．10 D．25解析：選B.X的全部可能取值為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9個(gè)．2．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：選C.設(shè)X的分布列為X01Pp2p即“X＝0”表示試驗(yàn)失敗，“X＝1”表示試驗(yàn)成功，設(shè)失敗率為p，則成功率為2p.由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3)，故應(yīng)選C.3．設(shè)隨機(jī)變量Y的分布列為Y－123Peq\f(1,4)meq\f(1,4)則“eq\f(3,2)≤Y≤eq\f(7,2)”的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析：選C.依題意知，eq\f(1,4)＋m＋eq\f(1,4)＝1，則m＝eq\f(1,2).故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤Y≤\f(7,2)))＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).4．在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不便利，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不便利的村莊數(shù)，則下列概率中等于eq\f(Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(6,8),Ceq\o\al(10,15))的是()A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)解析：選C.X聽從超幾何分布，P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,7)Ceq\o\al(10－k,8),Ceq\o\al(10,15))，故k＝4，故選C.5．若隨機(jī)變量η的分布列為η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(η<x)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A．x≤2 B．1≤x≤2C．1<x≤2 D．1<x<2解析：選C.由隨機(jī)變量η的分布列知：P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，則當(dāng)P(η<x)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是1<x≤2.6．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，則P(x1≤ξ≤x2)等于________．解析：由分布列性質(zhì)可有：P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．答案：1－(α＋β)7．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01P9c2－c3－8c則常數(shù)c＝________，P(X＝1)＝________．解析：依分布列的性質(zhì)知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9c2－c≥0，,3－8c≥0，,9c2－c＋3－8c＝1，))解得c＝eq\f(1,3)，故P(X＝1)＝3－8×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)eq\f(1,3)8．在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球，從中隨機(jī)取一球，登記它的顏色，然后放回，再取一球，又登記它的顏色，寫出這兩次取出白球數(shù)X的分布列為________．解析：X的全部可能值為0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)×2,Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).∴X的分布列為X012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)答案：X012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)9.(2021·長(zhǎng)沙調(diào)研)某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開頭營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)覺(jué)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率．(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；(2)記X為其次天開頭營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列．解：(1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨)＝P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為1件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).(2)由題意知，X的可能取值為2，3.P(X＝2)＝P(當(dāng)天商品銷售量為1件)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)；P(X＝3)＝P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為2件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為3件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(9,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).所以X的分布列為X23Peq\f(1,4)eq\f(3,4)10.(2022·高考重慶卷節(jié)選)一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片．(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列．(注：若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個(gè)數(shù)字的中位數(shù))解：(1)由古典概型的概率計(jì)算公式知所求概率為p＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(5,84).(2)X的全部可能值為1，2，3，且P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(17,42)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(43,84)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,12).故X的分布列為X123Peq\f(17,42)eq\f(43,84)eq\f(1,12)1．在一次購(gòu)物活動(dòng)中，假設(shè)每10張券中有一等獎(jiǎng)券1張，可獲得價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)券3張，每張可獲得價(jià)值10元的獎(jiǎng)品；其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)．某顧客從這10張券中任取2張．(1)求該顧客中獎(jiǎng)的概率；(2)求該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X(元)的概率分布．解：(1)該顧客中獎(jiǎng)的概率p＝1－eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝1－eq\f(15,45)＝eq\f(2,3).(2)X的全部可能取值為0，10，20，50，60.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，P(X＝10)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,5)，P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，P(X＝50)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,15)，P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15).故X的概率分布如下表所示：X010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)2.2022年8月22日是鄧小平同志110周年誕辰，為紀(jì)念鄧小平同志110周年誕辰，促進(jìn)廣安乃至四川旅游業(yè)進(jìn)一步進(jìn)展，國(guó)家旅游局把2022年“5.19”中國(guó)旅游日主會(huì)場(chǎng)放在四川廣安．為迎接今年旅游日的到來(lái)，某旅行社組織了14人參與“四川旅游常識(shí)”學(xué)問(wèn)競(jìng)賽，每人回答3個(gè)問(wèn)題，答對(duì)題目個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)下表：答對(duì)題目個(gè)數(shù)0123人數(shù)3254依據(jù)上表信息解答以下問(wèn)題：(1)從14人中任選3人，求3人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為6的概率；(2)從14人中任選2人，用X表示這2人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和，求隨機(jī)變量X的分布列．解：(1)記“3人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為6”為大事A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,14))＝eq\f(10＋40＋18,14×26)＝eq\f(17,91)，即3人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為6的概率為eq\f(17,91).(2)依題意可知X的全部可能取值為0，1，2，3，4，5，6.則P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,14))＝eq\f(3,7×13)＝eq\f(3,91)，P(X＝1)eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,14))＝eq\f(6,7×13)＝eq\f(6,91)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(2,14))＝eq\f(16,7×13)＝eq\f(16,91)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(2,14))＝eq\f(22,7×13)＝eq\f(22,91)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,14))＝eq\f(18,7×13)＝eq\f(18,91)，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,14))＝eq\f(20,7×13)＝eq\f(20,91)，P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,14))＝eq\f(6,7×13)＝eq\f(6,91).從而X的分布列為X0123456Peq\f(3,91)eq\f(6,91)eq\f(16,91)eq\f(22,91)eq\f(18,91)eq\f(20,91)eq\f(6,91)3.袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為eq\f(1,7).現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪番摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球?yàn)橹?，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是相等的，用ξ表示終止時(shí)所需要的取球次數(shù)．(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；(2)求隨機(jī)變量ξ的概率分布；(3)求甲取到白球的概率．解：(1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題意知eq\f(1,7)＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(\f(n（n－1）,2),\f(7×6,2))＝eq\f(n（n－1）,7×6)，所以n(n－1)＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)．即袋中原有3個(gè)白球．(2)由題意知ξ的可能取值為1，2，3，4，5.P(ξ＝1)＝eq\f(3,7)；P(ξ＝2)＝eq\f(4×3,7×6)＝eq\f(2,7)；P(ξ＝3)＝eq\f(4×3×3,7×6×5)＝eq\f(6,35)；P(ξ＝4)＝eq\f(4×3×2×3,7×6×5×4)＝eq\f(3,35)；P(ξ＝5)＝eq\f(4