2021高考數(shù)學(xué)(文-江蘇專用)二輪復(fù)習(xí)-專題四-第二講-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用14-【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義例1已知曲線y=x3+.(1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程;(2)求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程;(3)求斜率為1的曲線的切線方程.【分析】(1)由于點(diǎn)P(2,4)在曲線上,所以可求出切線的斜率,從而可求出切線方程;(2)求過點(diǎn)P(2,4)的切線方程,可能該點(diǎn)是切點(diǎn),也可能不是;(3)求斜率為1的曲線的切線方程,首先要求出切點(diǎn).【解答】(1)由于點(diǎn)P(2,4)在曲線y=x3+上,且y'=x2,所以在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率k=4,所以曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)設(shè)曲線y=x3+與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A,則切線的斜率k=,所以切線方程為y-=(x-x0),即y=·x-+.由于點(diǎn)P(2,4)在切線上,所以4=2-+,即-3+4=0,所以+-4+4=0,所以(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切線方程為x-y+2=0或4x-y-4=0.(3)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則切線的斜率為=1,x0=±1.由于切點(diǎn)為(-1,1)或,所以切線方程為y-1=x+1或y-=x-1,即x-y+2=0或3x-3y+2=0.【點(diǎn)評(píng)】解決函數(shù)切線的相關(guān)問題,需抓住以下關(guān)鍵點(diǎn):(1)切點(diǎn)是交點(diǎn);(2)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率.因此,解決此類問題,一般要設(shè)出切點(diǎn),建立關(guān)系—方程組;(3)求曲線的切線要留意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異.過點(diǎn)P的切線中,點(diǎn)P不愿定是切點(diǎn),點(diǎn)P也不愿定在已知曲線上;在點(diǎn)P處的切線,點(diǎn)P是切點(diǎn).變式設(shè)函數(shù)f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0.(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;(2)求證:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形的面積為定值,并求此定值.【解答】(1)方程7x-4y-12=0可化為y=x-3.當(dāng)x=2時(shí),y=.又f'(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點(diǎn),由y'=1+知,曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0,得y=-,從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為.令y=x,得y=x=2x0,從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0).所以點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為|2x0|=6.故曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為定值,此定值為6.利用導(dǎo)數(shù)爭(zhēng)辯函數(shù)的單調(diào)性例2設(shè)函數(shù)f(x)=,x≠0.(1)推斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性;(2)求證:對(duì)任意正數(shù)a,存在正數(shù)x,使不等式|f(x)-1|<a成立.【解答】(1)f'(x)==,令h(x)=(x-1)ex+1,則h'(x)=ex+ex(x-1)=xex.當(dāng)x>0時(shí),h'(x)=xex>0,所以h(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),所以h(x)>h(0)=0,故f'(x)=>0,即函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.(2)|f(x)-1|=,當(dāng)x>0時(shí),令g(x)=ex-x-1,則g'(x)=ex-1>0,故g(x)>g(0)=0,所以|f(x)-1|=,原不等式化為<a,即ex-(1+a)x-1<0.令φ(x)=ex-(1+a)x-1,則φ'(x)=ex-(1+a),由φ'(x)=0,得ex=1+a,解得x=ln(1+a).當(dāng)0<x<ln(1+a)時(shí),φ'(x)<0;當(dāng)x>ln(1+a)時(shí),φ'(x)>0.故當(dāng)x=ln(1+a)時(shí),φ(x)取得最小值φ(ln(1+a))=a-(1+a)ln(1+a).令s(a)=-ln(1+a),a>0,則s'(a)=-=-<0,故s(a)<s(0)=0,即φ(ln(1+a))=a-(1+a)ln(1+a)<0.對(duì)任意正數(shù)a,存在正數(shù)x,不等式|f(x)-1|<a成立.【點(diǎn)評(píng)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟:①確定函數(shù)f(x)的定義域;②求導(dǎo)函數(shù)f'(x);③在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;④依據(jù)③的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解題過程中要留意對(duì)含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行爭(zhēng)辯.利用導(dǎo)數(shù)爭(zhēng)辯函數(shù)的極值(最值)問題例3設(shè)函數(shù)f(x)=x3+mx2+nx.(1)假如g(x)=f'(x)-2x-3在x=-2處取得最小值-5,求函數(shù)f(x)的解析式;(2)假如m+n<10(m,n∈N*),且f(x)的單調(diào)減區(qū)間的長(zhǎng)度是正整數(shù),試求m,n的值.(注:區(qū)間(a,b)的長(zhǎng)度為b-a)【分析】(1)在x=-2處取得最小值-5,可得出兩個(gè)方程;(2)單調(diào)遞減,說明f'(x)<0恒成立.所以問題轉(zhuǎn)化為二次不等式的問題.【解答】(1)已知函數(shù)f(x)=x3+mx2+nx,對(duì)其求導(dǎo),得f'(x)=x2+2mx+n.又由于g(x)=f'(x)-2x-3=x2+(2m-2)x+n-3,所以g'(x)=2x+2m-2.又g(x)在x=-2處取極值,則g'(-2)=2×(-2)+(2m-2)=0,解得m=3,又g(x)在x=-2處取最小值-5.則g(-2)=(-2)2+(-2)×4+n-3=-5,解得n=2.所以f(x)=x3+3x2+2x.(2)要使f(x)=x3+mx2+nx單調(diào)遞減,則f'(x)=x2+2mx+n<0恒成立.又減區(qū)間長(zhǎng)度是正整數(shù),設(shè)f'(x)=x2+2mx+n=0兩根分別為a,b,則b-a為區(qū)間長(zhǎng)度.又b-a===2(m,n∈N*).又b-a為正整數(shù),且m+n<10,所以m=2,n=3或m=3,n=5符合題意.【點(diǎn)評(píng)】(1)求函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上的極值的步驟,第一步:求導(dǎo)數(shù)f'(x);其次步:求方程f'(x)=0的根x0;第三步:檢查f'(x)在x=x0左右的符號(hào).①左正右負(fù)f(x)在x=x0處取極大值.②左負(fù)右正f(x)在x=x0處取微小值.(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟,第一步:求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值、極大值或微小值;其次步:將y=f(x)的各極值與f(a),f(b)進(jìn)行比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.變式(2022·蘇州期末)已知a,b為常數(shù),a≠0,函數(shù)f(x)=ex.(1)若a=2,b=1,求函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)的極值.(2)①若a>0,b>0,求證:函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù);②若f(2)<0,f(-2)<e-2,且函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),求由全部點(diǎn)(a,b)組成的平面區(qū)域的面積.【解析】(1)由題知f'(x)=ex=(ax2+bx-b).當(dāng)a=2,b=1時(shí),f'(x)=(2x2+x-1)=(x+1)(2x-1).令f'(x)=0,得x=或x=-1(舍去).由于>0,所以當(dāng)x∈時(shí),f'(x)<0,f(x)是減函數(shù);當(dāng)x∈時(shí),f'(x)>0,f(x)是增函數(shù).所以當(dāng)x=時(shí),f(x)取得微小值且微小值為4.(2)由(1)知f'(x)=(ax2+bx-b),令g(x)=ax2+bx-b.①由于a>0,b>0,所以二次函數(shù)g(x)的圖象開口向上,對(duì)稱軸x=-<0,且g(1)=a>0,所以g(x)>0對(duì)一切x∈[1,2]恒成立.又>0,所以f'(x)>0對(duì)一切x∈(1,2)恒成立.由于f(x)的函數(shù)圖象是不間斷的,所以f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù).②由于f(2)<0,f(-2)<e-2,所以即(*)由①知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),所以f'(x)≥0對(duì)x∈(1,2)恒成立.則g(x)=ax2+bx-b≥0對(duì)x∈(1,2)恒成立.所以(**)在(*)(**)的條件下,可知b<0且1<-≤2,且g==-b·≥0恒成立.(變式)綜上,點(diǎn)(a,b)滿足的線性約束條件是由全部點(diǎn)(a,b)形成的平面區(qū)域?yàn)椤鱋AB(如圖陰影部分所示),其中A,B,C(1,0).則S△OAB=S△OAC-S△OBC=×=,即由所求點(diǎn)(a,b)組成的平面區(qū)域的面積為.利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題例4某單位打算對(duì)本單位職工實(shí)行年醫(yī)療費(fèi)用報(bào)銷制度,擬制定年醫(yī)療總費(fèi)用在2萬元至10萬元(包括2萬元和10萬元)的報(bào)銷方案,該方案要求同時(shí)具備下列三個(gè)條件:①報(bào)銷的醫(yī)療費(fèi)用y(單位:萬元)隨醫(yī)療總費(fèi)用x(單位:萬元)增加而增加;②報(bào)銷的醫(yī)療費(fèi)用不得低于醫(yī)療總費(fèi)用的50%;③報(bào)銷的醫(yī)療費(fèi)用不得超過8萬元.(1)請(qǐng)你分析該單位能否接受函數(shù)模型y=0.05(x2+4x+8)作為報(bào)銷方案;(2)若該單位打算接受函數(shù)模型y=x-2lnx+a(a為常數(shù))作為報(bào)銷方案,請(qǐng)你確定整數(shù)a的值.(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.69,ln10≈2.3)【分析】(1)方案(1)是二次函數(shù)模型,應(yīng)留意檢驗(yàn)最值與部分值的關(guān)系.(2)方案(2)是格外規(guī)函數(shù)模型,只有通過求導(dǎo)來求極值.【解答】(1)函數(shù)y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函數(shù),滿足條件①.當(dāng)x=10時(shí),y有最大值7.4萬元,小于8萬元,滿足條件③.但當(dāng)x=3時(shí),y=<,即y≥不恒成立,不滿足條件②.故該函數(shù)模型不符合該單位報(bào)銷方案.(2)對(duì)于函數(shù)模型y=x-2lnx+a,設(shè)f(x)=x-2lnx+a,則f'(x)=1-=≥0.所以f(x)在[2,10]上是增函數(shù),滿足條件①.由條件②,得x-2lnx+a≥,即a≥2lnx-在x∈[2,10]上恒成立,令g(x)=2lnx-,則g'(x)=-=,由g'(x)>0,得x<4;由g'(x)<0,得x>4.所以g(x)在(0,4)上是增函數(shù),在(4,10)上是減函數(shù).所以a≥g(4)=2ln4-2=4ln2-2.由條件③,得f(10)=10-2ln10+a≤8,解得a≤2ln10-2.另一方面,由x-2lnx+a≤x,得a≤2lnx在x∈[2,10]上恒成立,所以a≤2ln2.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[4ln2-2,2ln2],所以滿足條件的整數(shù)a的值為1.【點(diǎn)評(píng)】在求實(shí)際問題的最值時(shí),一般先找出自變量的因變量,建立函數(shù)關(guān)系式,并確定其定義域,然后利用導(dǎo)數(shù)求解相關(guān)的最值問題,留意實(shí)際問題的意義,不符合的解要舍去.變式(2022·徐州、宿遷三檢)依據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,某工藝品廠的日產(chǎn)量最多不超過20件,每日產(chǎn)品廢品率p與日產(chǎn)量x(單位:件)之間近似地滿足關(guān)系式p=(日產(chǎn)品廢品率=×100%).已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元,而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元.(該車間的日利潤y=日正品贏利額-日廢品虧損額)(1)將該車間日利潤y(單位:千元)表示為日產(chǎn)量x(單位:件)的函數(shù);(2)當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為多少件時(shí),日利潤最大?最大日利潤是幾千元?【解答】(1)由題意可知y=2x(1-p)-px=(2)考慮函數(shù)f(x)=當(dāng)1≤x≤9時(shí),f'(x)=2-,令f'(x)=0,得x=15-3.當(dāng)1≤