【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教A版)基礎(chǔ)鞏固：第2章-第1節(jié)-函數(shù)及其表示

其次章第一節(jié)一、選擇題1．(文)若函數(shù)f(x)的定義域是[0,4]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f2x,x)的定義域是()A．[0,2] B．(0,2)C．(0,2] D．[0,2)[答案]C[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤4，,x≠0.))∴0<x≤2，故選C．(理)(2021·湖北荊門期末)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)ln(eq\r(x2－3x＋2)＋eq\r(－x2－3x＋4))的定義域?yàn)?)A．(－∞，－4]∪(2，＋∞)B．(－4,0)∪(0,1)C．[－4,0)∪(0,1]D．[－4,0)∪(0,1)[答案]D[解析]要使函數(shù)f(x)有意義，必需且只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠0，,x2－3x＋2≥0，,\r(x2－3x＋2)＋\r(－x2－3x＋4)>0，))解得－4≤x<0或0<x<1.故選D．2．(文)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1.))則f(f(3))＝()A．eq\f(1,5) B．3C．eq\f(2,3) D．eq\f(13,9)[答案]D[解析]由條件知f(3)＝eq\f(2,3)，f(f(3))＝f(eq\f(2,3))＝(eq\f(2,3))2＋1＝eq\f(13,9).(理)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,fx－3，x>0，))則f(2022)等于()A．－1 B．1C．－3 D．3[答案]B[解析]f(2022)＝f(2021)＝f(2010)＝……＝f(0)＝2×0＋1＝1.3．(2021·銀川模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6，x<0，))則不等式f(x)>f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)[答案]A[解析]由題意知f(1)＝3，故原不等式可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x2－4x＋6>3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,x＋6>3，))解之得－3<x<1或x>3，∴原不等式的解集為(－3,1)∪(3，＋∞)，故選A．4．(文)(2022·長(zhǎng)春市調(diào)研)下列函數(shù)中，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，并且是偶函數(shù)的是()A．y＝x2 B．y＝－x3C．y＝－lg|x| D．y＝2x[答案]C[解析]四個(gè)函數(shù)中，是偶函數(shù)的有A，C，又y＝x2在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，故選C．(理)(2022·吉林市質(zhì)檢)下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又為增函數(shù)的是()A．y＝(eq\f(1,2))x B．y＝sinxC．y＝x3 D．y＝eqlog\s\do5(\f(1,2))x[答案]C[解析]A、D中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，B中函數(shù)在定義域內(nèi)既有增區(qū)間又有減區(qū)間，y＝x3在定義域(－∞，＋∞)上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，故選C．5．(文)函數(shù)f(x)＝eq\f(2,2x－2)的值域是()A．(－∞，－1) B．(－1,0)∪(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[答案]D[解析]eq\f(1,fx)＝2x－1－1>－1，結(jié)合反比例函數(shù)的圖象可知f(x)∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)．(理)若函數(shù)y＝f(x)的值域是[eq\f(1,2)，3]，則函數(shù)F(x)＝f(x)＋eq\f(1,fx)的值域是()A．[eq\f(1,2)，3] B．[2，eq\f(10,3)]C．[eq\f(5,2)，eq\f(10,3)] D．[3，eq\f(10,3)][答案]B[解析]令t＝f(x)，則eq\f(1,2)≤t≤3，由函數(shù)g(t)＝t＋eq\f(1,t)在區(qū)間[eq\f(1,2)，1]上是減函數(shù)，在[1,3]上是增函數(shù)，且g(eq\f(1,2))＝eq\f(5,2)，g(1)＝2，g(3)＝eq\f(10,3)，可得值域?yàn)閇2，eq\f(10,3)]，選B．6．已知a、b為實(shí)數(shù)，集合M＝{eq\f(b,a)，1}，N＝{a,0}，f是M到N的映射，f(x)＝x，則a＋b的值為()A．－1 B．0C．1 D．±1[答案]C[解析]∵f(x)＝x，∴f(1)＝1＝a，若f(eq\f(b,a))＝1，則有eq\f(b,a)＝1，與集合元素的互異性沖突，∴f(eq\f(b,a))＝0，∴b＝0，∴a＋b＝1.二、填空題7．(文)函數(shù)y＝eq\f(1,\r(6－x－x2))的定義域是________．[答案](－3,2)[解析]由6－x－x2>0，得x2＋x－6<0，即{x|－3<x<2}．(理)(2021·福州模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x)的定義域?yàn)開_______．[答案](－∞，－1)∪(－1,1][解析]∵要使函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x)有意義，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,x＋1≠0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1，,x≠－1，))∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≤1，且x≠－1}．[失誤與防范]本題若將函數(shù)f(x)的解析式化簡(jiǎn)為f(x)＝(x＋1)－eq\r(1－x)后求定義域，會(huì)誤認(rèn)為其定義域?yàn)?－∞，1]．事實(shí)上，上述化簡(jiǎn)過程擴(kuò)大了自變量x的取值范圍．防范錯(cuò)誤的有效方法是每一步變形時(shí)觀看一下是否為等價(jià)變換，否則應(yīng)附加限制條件保持等價(jià)．8．(文)假如函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x2,1＋x2)，那么f(1)＋f(2)＋…f(2022)＋f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(eq\f(1,2022))的值為________．[答案]0[解析]由于f(x)＋f(eq\f(1,x))＝eq\f(1－x2,1＋x2)＋eq\f(1－\f(1,x)2,1＋\f(1,x)2)＝eq\f(1－x2,1＋x2)＋eq\f(x2－1,x2＋1)＝0，f(1)＝0，故該式值為0.(理)規(guī)定記號(hào)“⊕”表示一種運(yùn)算，且a⊕b＝eq\r(ab)＋a＋b＋1，其中a、b是正實(shí)數(shù)，已知1⊕k＝4，則函數(shù)f(x)＝k⊕x的值域是________．[答案](2，＋∞)[解析]1⊕k＝eq\r(k)＋k＋2＝4，解之得k＝1，∴f(x)＝eq\r(x)＋x＋2，由于“⊕”的運(yùn)算對(duì)象是正實(shí)數(shù)，故x>0，∴f(x)>2.9．已知f(x－2)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x2，x>2，,2－x，x≤2，))則f(1)＝________.[答案]10[解析]f(1)＝f(3－2)＝1＋32＝10.三、解答題10．(文)函數(shù)f(x)＝x2＋x－eq\f(1,4).(1)若定義域?yàn)閇0,3]，求f(x)的值域；(2)若f(x)的值域?yàn)閇－eq\f(1,2)，eq\f(1,16)]，且定義域?yàn)閇a，b]，求b－a的最大值．[解析]∵f(x)＝(x＋eq\f(1,2))2－eq\f(1,2)，∴對(duì)稱軸為x＝－eq\f(1,2).(1)∵3≥x≥0>－eq\f(1,2)，∴f(x)的值域?yàn)閇f(0)，f(3)]，即[－eq\f(1,4)，eq\f(47,4)]．(2)∵x＝－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)＝－eq\f(1,2)是f(x)的最小值，∴x＝－eq\f(1,2)∈[a，b]，令x2＋x－eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，得x1＝－eq\f(5,4)，x2＝eq\f(1,4)，依據(jù)f(x)的圖象知當(dāng)a＝－eq\f(5,4)，b＝eq\f(1,4)時(shí)，b－a取最大值eq\f(1,4)－(－eq\f(5,4))＝eq\f(3,2).(理)已知f(x)是二次函數(shù)，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)y＝f(x2－2)的值域．[解析](1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝0，∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,2).))∴f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x.(2)由(1)知y＝f(x2－2)＝eq\f(1,2)(x2－2)2＋eq\f(1,2)(x2－2)＝eq\f(1,2)(x4－3x2＋2)＝eq\f(1,2)(x2－eq\f(3,2))2－eq\f(1,8)，當(dāng)x2＝eq\f(3,2)時(shí)，y取最小值－eq\f(1,8).∴函數(shù)y＝f(x2－2)的值域?yàn)閇－eq\f(1,8)，＋∞)．一、選擇題11．(文)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx2－1<x<0，,ex－1x≥0.))若f(1)＋f(a)＝2，則a的全部可能值為()A．1 B．1，－eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(2),2) D．1，eq\f(\r(2),2)[答案]B[解析]f(1)＝1，當(dāng)a≥0時(shí)，f(a)＝ea－1，∴1＋ea－1＝2，∴a＝1，當(dāng)－1<a<0時(shí)，f(a)＝sin(πa2)，∴1＋sin(πa2)＝2，∴πa2＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，∵－1<a<0，∴a＝－eq\f(\r(2),2)，故選B．(理)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－4ax<1，,logaxx≥1))是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．(－∞，3)C．[eq\f(3,5)，3) D．(1,3)[答案]D[解析]解法1：由f(x)在R上是增函數(shù)，∴f(x)在[1，＋∞)上單增，由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性知a>1，①又由f(x)在(－∞，1)上單增，∴3－a>0，∴a<3，②又由于f(x)在R上是增函數(shù)，為了滿足單調(diào)區(qū)間的定義，f(x)在(－∞，1]上的最大值3－5a要小于等于f(x)在[1，＋∞)∴3－5a≤0，即a≥eq\f(3,5)，③由①②③可得1<a<3.解法2：令a分別等于eq\f(3,5)、0、1，即可排解A、B、C，故選D．[點(diǎn)評(píng)]f(x)在R上是增函數(shù)，a的取值不僅要保證f(x)在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函數(shù)，還要保證x1<1，x2≥1時(shí)，有f(x1)<f(x2)．12．(2022·烏魯木齊地區(qū)診斷)若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，c＝eq\f(ln5,5)，則()A．a(chǎn)<b<c B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c[答案]B[解析]解法1：eq\f(ln2,2)－eq\f(ln3,3)＝eq\f(3ln2－2ln3,6)＝eq\f(ln8－ln9,6)<0，∴a<beq\f(ln5,5)－eq\f(ln2,2)＝eq\f(2ln5－5ln2,10)＝eq\f(ln25－ln32,10)<0，∴c<a，∴c<a<b.解法2：設(shè)f(x)＝eq\f(lnx,x)(x>1)，則f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，當(dāng)x>e時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，∴f(3)>f(4)>f(5)，∴eq\f(ln3,3)>eq\f(ln4,4)>eq\f(ln5,5)，∴eq\f(ln3,3)>eq\f(ln2,2)>eq\f(ln5,5)，∴b>a>c.13．(2022·遼寧省協(xié)作校聯(lián)考)下圖可能是下列哪個(gè)函數(shù)的圖象()A．y＝2x－x2－1 B．y＝eq\f(2xsinx,4x＋1)C．y＝(x2－2x)ex D．y＝eq\f(x,lnx)[答案]C[解析]由圖象可知，x<0時(shí)，函數(shù)值恒大于0，排解A、B、D，故選C．14．(2022·吉林省九校聯(lián)合體摸底)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱．若對(duì)任意的x，y∈R，f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，則當(dāng)x>3時(shí)，x2＋y2的取值范圍是()A．(3,7) B．(9,25)C．(13,49) D．(9,49)[答案]C[解析]∵y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，∴y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，即函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，又∵y＝f(x)是增函數(shù)，∴不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0?f(x2－6x＋21)<f(8y－y2)?x2－6x＋21－8y＋y2<0?(x－3)2＋(y－4)2<4.即點(diǎn)(x，y)是以(3,4)為圓心，以2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)，如圖當(dāng)x>3時(shí)，點(diǎn)(x，y)是右半圓內(nèi)部分，x2＋y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，∵A(3,2)，C(3,4)，∴|OA|2＝13，|OC|2＝25，∴|OB|＝7，∴13<x2＋y2<49.二、填空題15．(文)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1，x≤0，,x\f(1,2)，x>0，))若f(x0)＝1，則x0的值為________．[答案]－1或1[解析]當(dāng)x0≤0時(shí)，f(x0)＝2－x0－1，∵f(x0)＝1，∴2－x0－1＝1，∴2－x0＝2，∴x0＝－1；當(dāng)x0>0時(shí)，f(x0)＝，∵f(x0)＝1，∴＝1，∴x0＝1.綜上可得x0的值為－1或1.(理)(2021·四川省內(nèi)江市第一次模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x|x＋bx＋c，則下列命題中正確命題的序號(hào)有________．①函數(shù)f(x)在R上有最小值；②當(dāng)b>0時(shí)，函數(shù)在R上是單調(diào)增函數(shù)；③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，c)對(duì)稱；④當(dāng)b<0時(shí)，方程f(x)＝0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根的充要重要條件是b2>4|c|；⑤方程f(x)＝0可能有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根．[答案]②③④[解析]f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋cx≥0,－x2＋bx＋cx<0))取b＝0知，①⑤錯(cuò)；簡(jiǎn)潔推斷②，③正確；b<0時(shí)，方程f(x)＝0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于c－eq\f(b2,4)<0且c＋eq\f(b2,4)>0，∴b2>4c且b2>－4c，∴b2>4|c|，故填②、③、④.三、解答題16．(文)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C(單位：元)與日產(chǎn)量x(單位：t)滿足函數(shù)關(guān)系式C＝10000＋20x，每日的銷售額R(單位：元)與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式為R＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,30)x3＋ax2＋290x，0<x<120，,20400，x≥120.))已知每日的利潤(rùn)y＝R－C，且當(dāng)x＝30時(shí)，y＝－100.(1)求a的值；(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大，并求出最大值．[解析](1)∵當(dāng)x＝30時(shí)，y＝－100，∴－100＝－eq\f(1,30)×303＋a×302＋270×30－10000，∴a＝3.(2)當(dāng)0<x<120時(shí)，y＝－eq\f(1,30)x3＋3x2＋270x－10000.令y′＝－eq\f(1,10)x2＋6x＋270＝0，可得：x1＝90，x2＝－30(舍去)，所以當(dāng)x∈(0,90)時(shí)，原函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)x∈(90,120)時(shí)，原函數(shù)是減函數(shù)．∴當(dāng)x＝90時(shí)，y取得極大值14300.當(dāng)x≥120時(shí)，y＝10400－20x≤8000.所以當(dāng)日產(chǎn)量為90t時(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大值14300元．(理)某種商品在30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系如圖所示：該商品在30天內(nèi)日銷售量Q(件)與時(shí)間t(天)之間的關(guān)系如表所示：第t天5152030Q(件)35252010(1)依據(jù)供應(yīng)的圖象，寫出該商品每件的銷售價(jià)格P與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；(2)在所給直角坐標(biāo)系中，依據(jù)表中供應(yīng)的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)(t，Q)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，并確定日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式；(3)求該商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天？(日銷售金額＝每件的銷售價(jià)格×日銷售量)[解析](1)P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋200<t<25，t∈N*，,－t＋10025≤t≤30，t∈N*.))(2)圖略，Q＝40－t(t∈N*)．(3)設(shè)日銷售金額為y(元)，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋8000<t<25，t∈N*，,t2－140t＋400025≤t≤30，t∈N*.))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t－102＋9000<t<25，t∈N*，,t－702－90025≤t≤30，t∈N*.))若0<t<25(t∈N*)，則當(dāng)t＝10時(shí)，ymax＝900；若25≤t≤30(t∈N*)，則當(dāng)t＝25時(shí)，ymax＝1125.由1125>900，知ymax＝1125，∴這種商品日銷售金額的最大值為1125元，30天中的第25天的日銷售金額最大．17．(文)(2022·湖北武漢聯(lián)考)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x≠0}，且滿足對(duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)推斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論．[解析](1)令x1＝x2＝1，則f(1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，∴f(1)(2)f(x)為偶函數(shù)．證明：令