2021高考數(shù)學(xué)(文-江蘇專用)二輪復(fù)習(xí)-專題二-第二講-立體幾何綜合問題8-【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】

空間幾何體的表面積和體積例1(2022·江蘇卷)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1,S2,體積分別為V1,V2,若它們的側(cè)面積相等,且=,則的值是.【分析】圓柱的體積等于底面積乘以高,確定底面半徑與高的大小或比例關(guān)系是解題關(guān)鍵.【答案】【解析】設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1,h1,r2,h2,則2πr1h1=2πr2h2,即=.又==,所以=,所以==·=·==.【點(diǎn)評】解決圓柱的面積或體積問題時,常轉(zhuǎn)化到一些基本量的運(yùn)算上,比如高、底面圓半徑等.近三年江蘇高考中每年一道填空題,這一點(diǎn)要特殊關(guān)注.變式(2022·全國卷Ⅱ改編)若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為,D為BC中點(diǎn),則三棱錐A-B1DC1的體積為.【答案】1【解析】結(jié)合圖形,可知三棱錐A-B1DC1的高AD=,底面面積=,所以體積為··=1.【點(diǎn)評】此題為常見的關(guān)于立體幾何的基本運(yùn)算問題.弄清問題的基本運(yùn)算思路,把握基本方法,進(jìn)行必要的運(yùn)算即可解決問題.空間圖形的翻折問題例2如圖1所示,在邊長為12的正方形ADD1A1中,點(diǎn)B,C在線段AD上,AB=3,BC=4,作BB1∥AA1,分別交A1D1,AD1于點(diǎn)B1,P.作CC1∥AA1,分別交A1D1,AD1于點(diǎn)C1,Q,將該正方形沿BB1,CC1折疊,使得DD1與AA1重合,構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1.(1)求證:AB⊥平面BCC1B1;(2)求四棱錐A-BCQP的體積.圖1圖2(例2)【分析】翻折問題要時刻關(guān)注翻折前后的條件的變與不變.題中翻折前的線段AD就變成了翻折后的△ABC,而AB與BC的關(guān)系則有轉(zhuǎn)變.(1)主要考慮翻折后有AB⊥BC與AB⊥BB1;(2)直接利用體積公式求解即可.【解答】(1)在正方形ADD1A1中,由于CD=AD-AB-BC=5,所以三棱柱ABC-A1B1C1中△ABC的邊AC=5.由于AB=3,BC=4,所以AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC.由于四邊形ADD1A1為正方形,AA1∥BB1,所以AB⊥BB1.又BC∩BB1=B,BC,BB1平面BCC1B1,所以AB⊥平面BCC1B1.(2)由于AB⊥平面BCC1B1,所以AB為四棱錐A-BCQP的高.由于四邊形BCQP為直角梯形,且BP=AB=3,CQ=AB+BC=7,所以梯形BCQP的面積為S梯形BCQP=(BP+CQ)·BC=×(3+7)×4=20,所以四棱錐A-BCQP的體積=S梯形BCQP·AB=20.變式(2022·廣東卷)如圖1,已知四邊形ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如圖2所示的折疊,折痕EF∥DC.其中點(diǎn)E,F分別在線段PD,PC上,沿EF折疊后點(diǎn)P在線段AD上的點(diǎn)記為M,且MF⊥CF.(1)求證:CF⊥平面MDF;(2)求三棱錐M-CDE的體積.圖1圖2(變式)【解答】(1)由于PD⊥平面ABCD,PD平面PCD,所以平面PCD⊥平面ABCD,而平面PCD∩平面ABCD=CD,MD平面ABCD,MD⊥CD,所以MD⊥平面PCD.由于CF平面PCD,所以CF⊥MD.又CF⊥MF,MD,MF平面MDF,且MD∩MF=M,所以CF⊥平面MDF.(2)由于CF⊥平面MDF,DF平面MDF,所以CF⊥DF.又易知∠PCD=60°,所以∠CDF=30°,所以CF=CD=.由于EF∥DC,所以=,即=,所以DE=,所以PE=,所以S△CDE=CD·DE=,MD====,所以=S△CDE·MD=××=.存在性問題爭辯例3(2022·四川卷)在如圖所示的多面體中,四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形.(1)若AC⊥BC,求證:直線BC⊥平面ACC1A1.(2)設(shè)D,E分別是線段BC,CC1的中點(diǎn),在線段AB上是否存在一點(diǎn)M,使直線DE∥平面A1MC?請證明你的結(jié)論.(例3)【分析】結(jié)合條件AC⊥BC,再證得BC⊥AA1,即可證明直線BC⊥平面ACC1A1.先找到點(diǎn),再證明該點(diǎn)滿足條件.若在條件中多次毀滅“中點(diǎn)”,即可找“中點(diǎn)”并驗證.【解答】由于四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.由于AB,AC為平面ABC內(nèi)的兩條相交直線,所以AA1⊥平面ABC.由于直線BC平面ABC,所以AA1⊥BC.又已知AC⊥BC,且AA1,AC為平面ACC1A1內(nèi)的兩條相交直線,所以BC⊥平面ACC1A1.(例3)(2)當(dāng)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)時,DE∥平面A1MC.證明如下:如圖,取線段AB的中點(diǎn)M,連接A1M,MC,A1C,AC1,設(shè)O為A1C與AC1的交點(diǎn),由題知O為AC1的中點(diǎn).連接MD,OE,則MD,OE分別為△ABC,△ACC1的中位線,所以MD=AC,OE=AC,且MD∥AC,OE∥AC,因此MDOE.連接OM,從而四邊形MDEO為平行四邊形,所以DE∥MO.由于直線DE平面A1MC,MO平面A1MC,所以直線DE∥平面A1MC.即線段AB上存在一點(diǎn)M(線段AB的中點(diǎn)),使直線DE∥平面A1MC.變式如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn).(1)若PA=PD,求證:平面PQB⊥平面PAD;(2)若點(diǎn)M在線段PC上,PM=tPC,試確定實(shí)數(shù)t的值,使得PA∥平面MQB.(變式)【分析】要證面面平行,先證線面平行,題中關(guān)鍵要證AD⊥平面PQB.【解答】(1)由于PA=PD,Q為AD的中點(diǎn),所以PQ⊥AD.連接BD,由于四邊形ABCD為菱形,∠DAB=60°,所以AB=BD,所以BQ⊥AD.由于BQ平面PQB,PQ平面PQB,BQ∩PQ=Q,所以AD⊥平面PQB.由于AD平面PAD,所以平面PQB⊥平面PAD.(2)當(dāng)且僅當(dāng)t=時,PA∥平面MQB.證明如下:(變式)連接AC,設(shè)AC∩BQ=O,連接OM.在△AOQ與△COB中,由于AD∥BC,所以∠QOA=∠BOC,∠OAQ=∠OCB.