【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修五教案：3.2-典型例題：一元二次不等式解法

一元二次不等式解法·典型例題[]例3若ax2＋bx－1＜0的解集為{x|－1＜x＜2}，則a＝________，b＝________．例4解下列不等式(1)(x－1)(3－x)＜5－2x(2)x(x＋11)≥3(x＋1)2(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)[]A．{x|x＞0} B．{x|x≥1}C．{x|x＞1} D．{x|x＞1或x＝0}[]A．(x－3)(2－x)≥0B．0＜x－2≤1D．(x－3)(2－x)≤0[]例9已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}與B＝{x|x2－2ax＋a＋2例10解關(guān)于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0．例11若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集．例13不等式|x2－3x|＞4的解集是________．例14設(shè)全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常數(shù))，且11∈B，則[]A．(UA)∩B＝RB．A∪(UB)＝RC．(UA)∪(UB)＝RD．A∪B＝R

參考答案例1：例2分析求算術(shù)根，被開(kāi)方數(shù)必需是非負(fù)數(shù)．解據(jù)題意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“兩根之外”，所以x≥3或x≤－2．例3：分析依據(jù)一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的兩個(gè)根，考慮韋達(dá)定理．解依據(jù)題意，－1，2應(yīng)為方程ax2＋bx－1＝0的兩根，則由韋達(dá)定理知例4：分析將不等式適當(dāng)化簡(jiǎn)變?yōu)閍x2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后依據(jù)“解公式”給出答案(過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們自己完成)．答:(1){x|x＜2或x＞4}(4)R(5)R說(shuō)明：不能使用解公式的時(shí)候要先變形成標(biāo)準(zhǔn)形式．例5：分析直接去分母需要考慮分母的符號(hào)，所以通常是接受移項(xiàng)后通分．∵x2＞0，∴x－1＞0，即x＞1．選C．說(shuō)明：本題也可以通過(guò)對(duì)分母的符號(hào)進(jìn)行爭(zhēng)辯求解．例6：故排解A、C、D，選B．兩邊同減去2得0＜x－2≤1．選B．說(shuō)明：留意“零”．例7：[(a－1)x＋1](x－1)＜0，依據(jù)其解集為{x|x＜1或x＞2}答選C．說(shuō)明：留意本題中化“商”為“積”的技巧．例8：解先將原不等式轉(zhuǎn)化為∴不等式進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為同解不等式x2＋2x－3＜0，即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集為{x|－3＜x＜1｝．說(shuō)明：解不等式就是逐步轉(zhuǎn)化，將生疏問(wèn)題化歸為生疏問(wèn)題．例9：分析先確定A集合，然后依據(jù)一元二次不等式和二次函數(shù)圖像關(guān)解易得A＝{x|1≤x≤4}設(shè)y＝x2－2ax＋a＋2(*)4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．說(shuō)明：二次函數(shù)問(wèn)題可以借助它的圖像求解．例10：分析不等式的解及其結(jié)構(gòu)與a相關(guān)，所以必需分類爭(zhēng)辯．解1°當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x－2＜0其解集為{x|x＜2}；4°當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式化為(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；從而可以寫出不等式的解集為：a＝0時(shí)，{x|x＜2｝；a＝1時(shí)，{x|x≠2}；說(shuō)明：爭(zhēng)辯時(shí)分類要合理，不添不漏．例11：分析由一元二次函數(shù)、方程、不等式之間關(guān)系，一元二次不等式的解集實(shí)質(zhì)上是用根來(lái)構(gòu)造的，這就使“解集”通過(guò)“根”實(shí)現(xiàn)了與“系數(shù)”之間的聯(lián)系．考慮使用韋達(dá)定理：解法一由解集的特點(diǎn)可知a＜0，依據(jù)韋達(dá)定理知：∵a＜0，∴b＞0，c＜0．解法二∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒數(shù)方程．且ax2＋bx＋c＞0解為α＜x＜β，說(shuō)明：要在一題多解中熬煉自己的發(fā)散思維。例12：分析將一邊化為零后，對(duì)參數(shù)進(jìn)行爭(zhēng)辯．進(jìn)一步化為(ax＋1－a)(x－1)＜0．(1)當(dāng)a＞0時(shí)，不等式化為(2)a＝0時(shí)，不等式化為x－1＜0，即x＜1，所以不等式解集為{x|x＜1}；綜上所述，原不等式解集為：例13：分析可轉(zhuǎn)化為(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4兩個(gè)一元二次不等式．答填{x|x＜－1或x＞4}．例14：分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即B＝{x|5－a＜x＜5