【優(yōu)化方案】2021高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(湖北理科)課后達(dá)標(biāo)檢測：第7章-第2課時(shí)

[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．(2022·吉林長春市調(diào)研)一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為()A.eq\f(3,2)π B．2πC．3π D．4π解析：選A.依題意知，該幾何體是一個底面半徑為eq\f(1,2)、高為1的圓柱，其表面積為2π(eq\f(1,2))2＋2π×eq\f(1,2)×1＝eq\f(3,2)π.2.一個正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為2eq\r(3)，它的三視圖中的俯視圖如圖所示，側(cè)視圖是一個矩形，則這個矩形的面積是()A．4 B．2eq\r(3)C．2D.eq\r(3)解析：選B.設(shè)底面邊長為x，則V＝eq\f(\r(3),4)x3＝2eq\r(3)，∴x＝2.由題意知這個正三棱柱的側(cè)視圖為長為2，寬為eq\r(3)的矩形，其面積為2eq\r(3).3．(2022·武漢市部分學(xué)校調(diào)研測試)如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A．16 B．24C．34 D．48解析：選A.由三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐，其底面是長為6，寬為2的矩形，高為4，故該幾何體的體積是V＝eq\f(1,3)×6×2×4＝16.4．(2022·廣東廣州模擬)設(shè)一個球的表面積為S1，它的內(nèi)接正方體的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)的值等于()A.eq\f(2,π) B.eq\f(6,π)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,2)解析：選D.設(shè)球的半徑為R，其內(nèi)接正方體的棱長為a，則易知R2＝eq\f(3,4)a2，即a＝eq\f(2\r(3),3)R，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πR2,6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)R))2)＝eq\f(π,2).5.(2021·高考浙江卷)已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是()A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3解析：選B.此幾何體為一個長方體ABCD-A1B1C1D1被截去了一個三棱錐A-DEF，如圖所示，其中這個長方體的長、寬、高分別為6、3、6，故其體積為6×3×6＝108(cm3)．三棱錐的三條棱AE、AF、AD的長分別為4、4、3，故其體積為eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×4×3)×4＝8(cm3)，所以所求幾何體的體積為108－8＝100(cm3)．二、填空題6．(2022·武漢市部分學(xué)校高三調(diào)研測試)已知圓柱M的底面半徑與球O的半徑相同，且圓柱M與球O的表面積相等，則它們的體積之比V圓柱∶V球＝________.解析：由題意，2πr2＋2πrh＝4πr2，則r＝h.故V圓柱∶V球＝πr2h∶eq\f(4,3)πr3＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)7．(2022·武漢市部分學(xué)校高三聯(lián)考)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是________cm2.解析：由三視圖可知，原幾何體是一個半圓錐，其底面半圓的半徑為2，高為3，故此幾何體的表面積是S＝eq\f(1,2)π×22＋eq\f(1,2)×4×3＋eq\f(1,2)π×2×eq\r(32＋22)＝2π＋eq\r(13)π＋6.答案：2π＋eq\r(13)π＋68．(2022·湖北武漢市武昌區(qū)聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖的正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰梯形，俯視圖是兩個同心圓，如圖所示，則該幾何體的表面積為________．解析：由三視圖知該幾何體為上底直徑為2，下底直徑為6，高為2eq\r(3)的圓臺，則幾何體的表面積S＝π×1＋π×9＋eq\f(1,2)×4×(2π＋6π)＝26π.答案：26π三、解答題9.(2022·浙江杭州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圓臺側(cè)＋S圓臺下底＋S圓錐側(cè)＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圓臺－V圓錐＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.10．一個幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個長為eq\r(3)、寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S.解：(1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形．S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).[力氣提升]一、選擇題1．(2022·宜昌市一中高三模擬)一個底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱內(nèi)接于半徑為eq\r(3)的球，則該棱柱體積的最大值為()A.eq\f(2\r(3),3) B．3eq\r(3)C.eq\f(3\r(3),2) D．6eq\r(3)解析：選B.設(shè)該三棱柱的底面邊長為a，高為h，則底面正三角形的外接圓半徑是eq\f(a,2sin60°)＝eq\f(a,\r(3))，依題意有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))2，即eq\f(a2,9)＋eq\f(h2,12)＝1,1＝eq\f(a2,18)＋eq\f(a2,18)＋eq\f(h2,12)≥3eq\r(3,\f(a2,18)×\f(a2,18)×\f(h2,12))，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a2,18)＝eq\f(h2,12)，即a＝eq\r(6)，h＝2時(shí)取等號，此時(shí)a2h取得最大值，因此該棱柱的體積eq\f(\r(3),4)a2h的最大值是eq\f(\r(3),4)×6×2＝3eq\r(3).2．(2022·高考湖北卷)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑．“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d≈eq\r(3,\f(16,9)V).人們還用過一些類似的近似公式．依據(jù)π＝3.14159…推斷，下列近似公式中最精確的一個是()A．d≈eq\r(3,\f(16,9)V) B．d≈eq\r(3,2V)C．d≈eq\r(3,\f(300,157)V) D．d≈eq\r(3,\f(21,11)V)解析：選D.由球體積公式得d＝eq\r(3,\f(6,π)V)≈eq\r(3,1.90986093V).由于eq\f(16,9)≈1.77777778，eq\f(300,157)≈1.91082803，eq\f(21,11)≈1.90909091，而eq\f(21,11)最接近于eq\f(6,π)，所以選D.二、填空題3．(2021·高考課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為________．解析：如圖，設(shè)球O的半徑為R，則由AH∶HB＝1∶2得HA＝eq\f(1,3)·2R＝eq\f(2,3)R，∴OH＝eq\f(R,3).∵截面面積為π＝π·(HM)2，∴HM＝1.在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，∴R2＝eq\f(1,9)R2＋HM2＝eq\f(1,9)R2＋1，∴R＝eq\f(3\r(2),4).∴S球＝4πR2＝4π·(eq\f(3\r(2),4))2＝eq\f(9,2)π.答案：eq\f(9,2)π4．(2021·高考湖北卷)我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸.(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)解析：圓臺的軸截面是下底長為12寸，上底長為28寸，高為18寸的等腰梯形，雨水線恰為中位線，故雨水線直徑是20寸，∴降水量為eq\f(\f(π,3)102＋10×6＋62×9,π×142)＝3(寸)．答案：3三、解答題5．一個空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，其正視圖、俯視圖均為矩形，側(cè)視圖為直角三角形．(1)請畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；(2)證明：A1C⊥平面AB1C1.解：(1)幾何體的直觀圖如圖所示，四邊形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝eq\r(3)，BC＝B1C1＝1，四邊形AA1C1C是邊長為eq\r(3)的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，故該幾何體是直三棱柱，其體積V＝S△ABC·BB1＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).(2)證明：由(1)知平面AA1C1C⊥平面BB1C1C且B1C1⊥CC1，所以B1C1⊥平面ACC1A1.所以B1C1⊥A1C.由于四邊形ACC1A1為正方形，所以A1C⊥AC1.而B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1.6．(選做題)(2021·高考湖北卷)如圖，某地質(zhì)隊(duì)自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點(diǎn)向下鉆到A1處發(fā)覺礦藏，再連續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2＝d1，同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1<d2<d3，過AB，AC的中點(diǎn)M，N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個中截面，其面積記為S中．(1)證明：中截面DEFG是梯形；(2)在△ABC中，記BC＝a，BC邊上的高為h，面積為S.在估測三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量(即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V)時(shí)，可用近似公式V估＝S中·h來估算.已知V＝eq\f(1,3)(d1＋d2＋d3)S，試推斷V估與V的大小關(guān)系，并加以證明．解：(1)證明：依題意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2＝d1，B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1<d2<d3，所以四邊形A1A2B2B1、A1A2C2C1均是梯形．由AA2∥平面MEFN，AA2?平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN＝ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE.同理可證A1A2∥FG，所以DE∥FG.又點(diǎn)M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)D、E、F、G分別為A1B1、A2B2、A2C2、A1C1的中點(diǎn)，即DE、FG分別為梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位線，因此DE＝eq\f(1,2)(A1A2＋B1B2)＝eq\f(1,2)(d1＋d2)，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)(A1A2＋C1C2)＝eq\f(1,2)(d1＋d3)，而d1<d2<d3，故DE<FG，所以中截面DEFG是梯形．(2)V估<V.證明如下：由A1A2⊥平面ABC，MN?平面ABC，可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位線，可得MN＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)a，即為梯形DEFG的高，因此S中＝S梯形DEFG＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\