【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修五導(dǎo)學(xué)案：《基本不等式的實(shí)際應(yīng)用》

第7課時(shí)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用1.進(jìn)一步生疏基本不等式,并會(huì)用基本不等式來(lái)解題.3.能利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題.今日我們來(lái)探究基本不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用,我們先來(lái)看個(gè)實(shí)際例子:如圖,有一張單欄的豎向張貼的海報(bào),它的印刷面積為72dm2(圖中陰影部分),上下空白各2dm,左右空白各1dm,則四周空白部分面積的最小值是dm2.

問(wèn)題1:設(shè)陰影部分的高為xdm,寬為72xdm,四周空白部分面積是ydm2.由題意得y=(x+4)(72x+2)-72=8+2(x+144x)≥8+2×2x當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值.

問(wèn)題2:用基本不等式解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟(1)先理解題意,設(shè)變量,設(shè)變量時(shí)一般把定為函數(shù);

(2)建立相應(yīng)的,把實(shí)際問(wèn)題抽象為問(wèn)題;

(3)在定義域內(nèi),求出函數(shù)的;

(4)正確寫(xiě)出答案.問(wèn)題3:利用基本不等式求最值時(shí),必需保證等號(hào)能成立,否則不能用它來(lái)求最值,比如求f(x)=sinx+2sinx,x∈(0,π)的最值時(shí),不能這樣做:f(x)=sinx+2sinx≥2sinx·2sinx=22,由于當(dāng)x∈(0問(wèn)題4:利用基本不等式求最值時(shí),肯定要緊扣“一正,二定,三相等”這三個(gè)條件,即每個(gè)項(xiàng)都是正值,和或積是定值,全部的項(xiàng)能同時(shí)相等.而“二定”這個(gè)條件是對(duì)不等式奇妙地進(jìn)行分析、組合、湊加系數(shù)等使之變成可用基本不等式的形式,如果要多次利用不等式求最值,還必需保證每次取“=”號(hào)的全都性.1.在下列不等式的證明過(guò)程中,正確的是().A.若a,b∈R,則ab+ba≥2aB.若a,b都為正數(shù),則lga+lgb≥2lgC.若x<0,則x+2x≥-2x·2D.若x≤0,則3x+3-x≥23x·2.已知x<54,則函數(shù)y=4x-2+14x-5A.5 B.1 C.3 D.43.某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸,每次都購(gòu)買(mǎi)x噸,運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x=噸.

4.已知a,b,c都為正數(shù),且a+b+c=1,求證:(1a-1)(1b-1)(1c-1)利用基本不等式求函數(shù)的最值求函數(shù)y=x2+8x-1(利用基本不等式解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司方案在一樓區(qū)內(nèi)建筑一個(gè)長(zhǎng)方形公園ABCD,公園由長(zhǎng)方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成.已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000平方米,人行道的寬分別為4米和10米(如圖所示).(1)若設(shè)休閑區(qū)的長(zhǎng)和寬的比A1B1B1C1=x(x>1),求公園ABCD所占面積S關(guān)于x(2)要使公園所占面積最小,則休閑區(qū)A1B1C1D1的長(zhǎng)和寬該如何設(shè)計(jì)?把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型如圖,某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級(jí)污水處理池,池的深度肯定,池的外圈周壁建筑單價(jià)為每米400元,中間有一條隔開(kāi)污水處理池的壁,其建筑單價(jià)為每米100元,池底建筑單價(jià)每平方米60元(池壁忽視不計(jì)).問(wèn):污水處理池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為多少米時(shí)可使總價(jià)最低.(1)已知x>0且x≠1,求lgx+logx10的取值范圍.(2)已知x≥52,求f(x)=2x某公司一年需要一種計(jì)算機(jī)元件8000個(gè),每天需同樣多的元件用于組裝整機(jī),該元件每年分n次進(jìn)貨,每次購(gòu)買(mǎi)元件的數(shù)量均為x,購(gòu)一次貨需手續(xù)費(fèi)500元,已購(gòu)進(jìn)而未使用的元件要付庫(kù)存費(fèi),假設(shè)平均庫(kù)存量為12x個(gè),每個(gè)元件的庫(kù)存費(fèi)為每年2元,假如不計(jì)其他費(fèi)用,請(qǐng)你幫公司計(jì)算,每年進(jìn)貨幾次花費(fèi)最小某投資商到一開(kāi)發(fā)區(qū)投資72萬(wàn)元建起一座蔬菜加工廠,第一年共支出12萬(wàn)元,以后每年支出增加4萬(wàn)元,從第一年起每年蔬菜銷(xiāo)售收入50萬(wàn)元.設(shè)f(n)表示前n年的純利潤(rùn)總和(f(n)=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額).(1)該廠從第幾年開(kāi)頭盈利?(2)若干年后,投資商為開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目,對(duì)該廠有兩種處理方案:①年平均純利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí),以48萬(wàn)元出售該廠;②純利潤(rùn)總和達(dá)到最大時(shí),以16萬(wàn)元出售該廠,問(wèn)哪種方案更合算?1.設(shè)0<x<1,則x(3-3x)取最大值時(shí)x的值為().A.34 B.12 C.32.設(shè)x>0,則y=3-3x-1x的最大值為()A.3 B.3-32 C.3-23 D.-13.已知正數(shù)x,y滿(mǎn)足8x+1y=1,則x+2y的最小值為4.某工廠要建筑一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池,其容積為4800立方米,深為3米,假如池底每平方米的造價(jià)為150元,池壁每平方米的造價(jià)為120元,問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低,最低總造價(jià)是多少元?(2021年·陜西卷)在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x為(m).

考題變式(我來(lái)改編):

第7課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)問(wèn)體系梳理問(wèn)題1:na1a1(1問(wèn)題2:a1(問(wèn)題3:a1-a1qnna1a問(wèn)題4:S基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.B設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則q3=a4a1=18,∴q=12,∴數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為12.CS8-S4S4=a53.152由an+2+an+1=6an,得qn+1+qn=6qn-1,即q2+q-6=0,解得q=2或-3(舍去),又a2=1,所以a1=12,S4=124.解:∵公比為q=2a,當(dāng)q=1,即a=12時(shí),Sn=n當(dāng)q≠1,即a≠12時(shí),則Sn=1∴Sn=n重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】當(dāng)q=1時(shí),S3=3a1=3a3,符合題目條件;當(dāng)q≠1時(shí),a1(1-q3)由于a1≠0,所以1-q3=3q2(1-q),即1+q+q2=3q2,解得q=-12綜上所述,公比q的值為1或-12【小結(jié)】對(duì)于等比數(shù)列來(lái)講,必需要考慮q=1和q≠1兩種狀況.探究二:【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則an=a1qn-1,由已知得a1+a2=2(1a1+1a2)=2(a1+由a1+a2=8(1a3+1a4)=∴a3a4=8q2,又∵a1>0,q>0,∴a解得a1=1,q=2,∴a(2)由(1)知bn=an2+log2an=4n-1+(n-∴Tn=(1+4+42+…+4n-1)+(0+1+2+3+…+n-1)=4n-14-1+【小結(jié)】求和時(shí)要留意分組求和法、錯(cuò)位相減法及裂項(xiàng)求和法等方法的應(yīng)用.探究三:【解析】(1)依據(jù)已知條件1整理得3解得3S2=2S3=6,即S(2)∵q≠1,則a可解得q=-12,a1=4∴Sn=4[1-(-12)n]1+1【小結(jié)】要熟記等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:∵S6≠2S3,∴q≠1,∴a由②÷①得1+q3=9,∴q=2,代入①得a1=12,∴an=a1qn-1=2n-2應(yīng)用二:由題意可知,該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n+12∴Sn=(1+12)+(2+14)+…+(n+12n)=(1+2+3+…+n)+(12+14+18+…+12應(yīng)用三:(1)由已知得(a1+d)2=a1(a1+3d),解得a1=d或d=0(舍去),所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)是an=nd.由于數(shù)列a1,a3,ak1,ak2,…,即數(shù)列d,3d,k1d,k2d,…,knd,…成等比數(shù)列,所以公比q=3dd=3,k1d=32d,即k1=所以數(shù)列{kn}是以k1=9為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,故kn=9×3n-1=3n+1.(2)Sn=132+233+33413Sn=133+234+33由①-②,并整理得Sn=14(1-13n)-n2·基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.D由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0,∴q=-2,則S5S2=a2.C由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3,得q2+q-6=0,∴q=2(負(fù)根舍去).∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.3.S232設(shè)等比數(shù)列的公比為q,若S2計(jì)算正確,則有q=2,但此時(shí)S3≠38,S4≠65與題設(shè)不符,故算錯(cuò)的就是S2,此時(shí),由S3=38可得q=32或q=-52;當(dāng)q=32時(shí),S4=65也正確;當(dāng)q=-52時(shí),S4不正