平行四邊形典型例題

平行四邊形典型例題1．已知如圖12-1-19，所示□ABCD的對角線AC、BD相交于點O，OE上AD于E，OF⊥BC于F．求證：四邊形AECF是平行四邊形錯證：在△AOE和△COF中∵OE⊥AD，OF⊥BC

∴∠AEO=∠CFO=90°∵四邊形ABCD為平行四邊形∴OA＝OC，AD∥BC

∴∠EAC＝∠ACF∴△AOE≌△COF（AAS）

∴OF=OE∴四邊形AECF是平行四邊形錯誤分析：上面證明由OF＝OE，OA=OC不能說明EF與AC互相平分，因為原題設(shè)中沒有說明E、O、F三點共線，因此先證E、O、F三點共線．正確證明：在△AOE和△COF中∵OE⊥AD

OF⊥BC

∴∠AEO＝∠CFO＝90°∵四邊形ABCD為平行四邊形∴OA＝OC，AD∥BC

∴∠EAC=∠ACF∴△AOE≌△COF（AAS）

∴OF＝OE又∵AD∥BC，OE⊥AD，OF⊥BC∴E、O、F三點共線∴四邊形AECF是平行四邊形2．如圖12-1-22所示，現(xiàn)有一塊等腰直角三角形的鐵板，通過切割焊接成一個含有45°角的平行四邊形，請你設(shè)計一種最簡單的方案，并證明你的方案確實得到的是一個符合條件的平行四邊形．分析：運用三角形全等，平行四邊形的識別方法來解答，在證明時不要忽略證明F，E，D共線．解：取AC、BC的中點E、D連結(jié)ED，則沿ED切割下來，如圖使點E不變，點C與點A重合，再焊接上去最簡單．證明：在Rt△ABC中

∵AC＝BC

∴∠B=45°又∵E、D分別為AC、BC的中點∴EC＝DC

∴∠CED＝∠CDE＝45°∴∠AEF＝∠CED＝45°

∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED＝180°∴F、E、D在一條直線上

∵∠EAF＝∠C＝90°

∴AF∥CD又∵AF＝CD＝DB

∴四邊形AFDB是平行四邊形，且∠B＝45°3．如圖12-1-23，在□ABCD的對角線上取兩點E、F，且BF＝DE，請至少用兩種不同的方法證明四邊形AECF是平行四邊形，并指出哪種方法最簡便．分析：可證兩組對邊分別相等，也可證對角線互相平分．證明方法（一）在△ABF和△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∠ABF＝∠CDE．∴△ABF≌△CDE

∴AF＝CE同理可證AE＝CF，故四邊形AECF是平行四邊形方法（二）連AC交BD于O在□ABCD中，OA＝OC，OB＝OD∵BF＝DE

∴OE=OF

∴四邊形AECF為平行四邊形C．兩條對角線互相平分

D．一對鄰角互補6．以下結(jié)論正確的是（

）A．對角線相等，且一組對角也相等的四邊形是平行四邊形．B．一邊長為5，兩條對角線分別是4和6的四邊形是平行四邊形．C．一組對邊平行，且一組對角相等的四邊形是平行四邊形．D．對角線相等的四邊形是平行四邊形．7．在□ABCD中，點E、F分別在邊BC、AD上，如果點E，F(xiàn)分別由下列各種情況得到的，那么四邊形AECF不一定是平行四邊形的是（

）A．AE、CF分別平分∠DAB、∠BCDB．AE，CF使∠BEA＝∠CFDC．E、F分別是BC、AD的中點D．BE＝BC，AF＝AD8．□ABCD對角線交點為O，△OBC的周長為59cm，且AD＝28cm，兩對角線之差為14cm，則對角線長為（

）A．12cm和9cm

B．24cm和38cmC．8．5cm和22．5cm

D．15．5cm和29．5cm四、解答題1．如圖12-1-31所示，在□ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，四邊形AECF是平行四邊形嗎？2．如圖12-1-32所示，四邊形ABCD中∠B＝∠D，∠1＝∠2，則四邊形ABCD是平行四邊形嗎？為什么？3．如圖12-1-33所示，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F分別是OD、OB上一點，若∠ECD＝∠FAB，EC＝AF，則四邊形AECF是平行四邊形嗎？為什么？4．如圖12-1-34所示，四邊形ABCD中AB=CD，∠DBC＝90°，F(xiàn)D⊥AD于D，求證四邊形ABCD是平行四邊形．5．如圖12-1-35所示，△ABC中DE在BC邊上，N、M在AB、AC上，且EN與DM互相平分，MD∥AB，NE∥AC求證：BD＝DE＝CE五、證明題1．已知：如圖12-1-18，在□ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，且BE=DF.求證：（1）AE＝CF（2）AE∥CF2．已知：如圖12-1-19，四邊形ABCD為平行四邊形，E、F是直線BD延長線上的兩點，且DE＝BF，求證AE＝CF參考答案一、填空題1．平行四邊形

點撥：由一組對邊平行且相等，即可判斷2．平行四邊形3．130°，50°，130°4．平行四邊形

點撥：由題意可得兩組對邊分別平行5．4個

點撥：□ABCD，□ADFE，□EFCB，□EDFB6．3個

□AECF，□APCQ，□AMCN二、判斷題1．√

2．×點撥：對角線不一定相等，但互相平分3．√

4．√5．×點撥：對角線不平分一組對角，只是自己互相平分

6．√三、選擇題1．B

2．D

3．A

4．D

5．C

6．C

7．B

8．B四、解答題1．解：四邊形AECF是平行四邊形點撥：由□ABCD知∠BCD＝∠BAD，又AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，故∠EAF＝∠ECF，又∠AF∥EC，故∠AEC+∠EAF＝18O°，即∠AEC+∠ECF＝18O°，所以AE∥CF，故四邊形AECF是平行四邊形．2．解：四邊形ABCD是平行四邊形由∠1＝∠2得DC∥AB，所以∠D+∠DAB＝18O°，又∠B＝∠D，所以∠DAB+∠B＝180°，所以AD∥BC，即四邊形ABCD為平行四邊形．3．解：是平行四邊形點撥：AB∥CD，故∠ACD＝∠CAB，又∠ECD＝∠FAB，故∠ACD-∠ECD＝∠CAB-∠FAB，即∠ACE＝∠CAF，所以CE=AF，CE＝AF，故AFCE是平行四邊形．4．證明：∵BD⊥AD

∴∠BDA=90°∵∠DBC＝90°，DC＝AB，DB＝DB∴△ADB≌△CBD

∴AD＝BC∴四邊形ABCD是平行四邊形5．證明：∵NE，MD互相平分∴四邊形MNDE為平行四邊形

∴MNDE又∵MD∥AB，NE∥AC

∴四邊形MNBD、MNEC為平行四邊形∵MN＝BD，MN＝CE

∴BD=DE＝CE五、證明題1．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形∴ABDC

∴∠ABE＝∠CDF在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS）

∴AE＝CF

∴