平行四邊形與特殊的平行四邊形

PAGEPAGE5平行四邊形的性質(zhì)與判定一、總結(jié)平行四邊形的性質(zhì)與判定原理：性質(zhì)原理判定原理邊兩組對(duì)邊分別平行；兩組對(duì)邊分別相等；兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；角3、對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)；4、兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；線4、對(duì)角線互相平分。5、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形?！締栴}1】我們學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)是從哪幾個(gè)方面來研究的？從“邊、角、線”三個(gè)方面，其中“線”指的是對(duì)角線?！締栴}2】判定一個(gè)四邊形是平行四邊形必須有幾個(gè)條件？必須具備兩個(gè)條件；注意判定原理5“對(duì)角線互相平分”也是兩個(gè)等量。圖圖P-01【平行四邊形對(duì)角線相關(guān)性質(zhì)】平行四邊形每一條對(duì)角線將其分成兩個(gè)全等的三角形；平行四邊形的對(duì)角線將其分成四個(gè)面積相等的小三角形；相對(duì)的兩個(gè)小三角形全等；相鄰兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之差就等于邊長(zhǎng)之差。如圖P-01，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，則ABO、ADO、CDO、CBO的面積相等。依據(jù)是每相鄰兩個(gè)三角形都是“等底同高”?！季毩?xí)〗⒈如圖P-01，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，若S⊿ABO=2，則S⊿ABD=；SABCD=⒉如圖P-01，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，則圖中共有對(duì)全等三角形。⒊如圖P-01，已知，ABCD的周長(zhǎng)為28，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，ABO的周長(zhǎng)比CBO的周長(zhǎng)多4，則AB=，BC=圖P-02⒋如圖P-01，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，已知AB=8，BC=6，⊿ABO的周長(zhǎng)為17，則CBO圖P-02在平行四邊形內(nèi)，過對(duì)角線交點(diǎn)且兩端點(diǎn)在平行四邊形邊上的線段一定被對(duì)角線交點(diǎn)平分；如圖P-02，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，線段EF過點(diǎn)O，則OE=OF；證AEO≌CFO即可〖練習(xí)〗⒈如圖P-02，ABCD中，EF過對(duì)角線交點(diǎn)O，若AB=5，BC=4，EO=3，則四邊形CDEF的周長(zhǎng)為圖P-03⒉如圖P-0圖P-03將此平行四邊形及圓O的面積分成相等的兩部分。③若設(shè)平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為2和2(>)，則此平行四邊形每條邊長(zhǎng)的取值范圍為<<〖練習(xí)〗⒈如圖P-01，若AC=8，BD=12，則AB的取值范圍是⒉三角形一邊上的中線的取值范圍為：大于另兩邊之差，小于另兩邊之和。圖P-04如圖P-04，已知D為圖P-04AB=5，AC=7，求AD的取值范圍?！继崾尽窖娱L(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連結(jié)BE、EC，易證得ABEC；記住此法：倍長(zhǎng)中線法，是常用的輔助線作法【四邊形四邊中點(diǎn)連線性質(zhì)】④順次連結(jié)四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形；圖P-05圖P-05HG、EF都平行且等于AC，∴HG平行且等于EF，得平行四邊形注：此性質(zhì)在學(xué)習(xí)了菱形、矩形后還有擴(kuò)充。【等腰三角形與平行線相關(guān)性質(zhì)】⑤從等腰三角形底邊上任一點(diǎn)做兩腰的平行線，圖P-0圖P-06且平行四邊形的周長(zhǎng)等于兩腰長(zhǎng)之和；如圖P-06，AB=AC，DE∥AC，DF∥AB易得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠B=∠C，∴∠1=∠C，∠2=∠B〖練習(xí)〗如圖P-06，ABC中，AB=AC=6，D是BC上一點(diǎn)，DE∥AC，DF∥AB，求四邊形AFDE的周長(zhǎng)。⒊求證：平行四邊形一條對(duì)角線的兩個(gè)個(gè)端點(diǎn)到另一條對(duì)角線的距離相等。（要求畫圖，寫出已知、求證并證明）圖P-15【例2】如圖P-15，O是A圖P-15E、F、G分別是AB、AC、OB、OC的中點(diǎn)求證：四邊形DEFG是平行四邊形〖思路分析〗此類題型是利用中位線原理來證題，要證DEFG，只要證一組對(duì)邊平行且相等就可以了；我們可以選定DE與FG〖解題過程〗證：∵在ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)∴DE∥BC，DE=1/2BC（三角形中位線性質(zhì)）同理：FG∥BC，F(xiàn)G=1/2BC∴FG=DE（等量代換）FG∥DE∴有DEFG（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）〖練習(xí)〗求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分。（寫出已知、求證并證明）菱形的性質(zhì)與判定一、菱形的性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)比較平行四邊形菱形變化情況邊1、對(duì)邊平行1、對(duì)邊平行不變2、對(duì)邊相等2、四邊相等升級(jí)角3、對(duì)角相等3、對(duì)角相等不變線4、對(duì)角線互相平分4、對(duì)角線互相平分且垂直升級(jí)5、每條對(duì)角線平分每一組對(duì)角新性質(zhì)二、菱形的性質(zhì)與判定比較性質(zhì)判定邊1、對(duì)邊平行2、四邊相等1、四條邊都相等的四邊形是菱形2、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形角3、對(duì)角相等線4、對(duì)角線互相平分且垂直3、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形4、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形5、每條對(duì)角線平分每一組對(duì)角三、觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)？除了上表中的四種判定法之外，你還能找出哪些判定菱形的方法？所有這些方法，你能發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)嗎？你能不能用一句話說明，到底怎樣判定菱形的？上表的特點(diǎn)是：判定菱形，只用到了邊與線，而且用邊來判定時(shí)只用到了“四邊相等”的性質(zhì)；用“線”來判定時(shí)只用到了“互相垂直平分”的性質(zhì)。另外，如果已知的是四邊形，就必須要有三個(gè)條件才能證得菱形，如果已知的是平行四邊形，那么就只要再有一個(gè)條件就可以了。除了表中的四種方法，還可以這樣判定菱形：例如，先用“兩組對(duì)邊分別平行”來證一個(gè)四邊形是平行四邊形，再證它的一組鄰邊相等，或證它的對(duì)角線互相垂直……這樣就有很多的方法了。如果用一句話來總結(jié)，那就是：只要能先證它是平行四邊形，再證它一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直就可以了！四、菱形中的重要解題性質(zhì)【菱形的面積與對(duì)角線關(guān)系原理】菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半圖L-01圖L-01S菱形ABCD=ACBD【含60o或120o內(nèi)角的菱形相關(guān)性質(zhì)】菱形中若有一內(nèi)角為60o或120o，則菱形被較短的對(duì)角線分成兩個(gè)等邊三角形；較長(zhǎng)的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍。如圖L-01，∠BAD=60o，則有：等邊ABD，等邊BDC，AC=BD=AB【菱形的一些基本性質(zhì)】⒈菱形的四條邊都相等，周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)4；⒉如圖L-01，菱形被兩條對(duì)角線分成的四個(gè)小直角三角形都全等；圖L-02⒊如圖L-0圖L-02證明：連結(jié)AC、BD，交點(diǎn)為O，AC交HE于P，BD交HG于Q由中位線原理可得HG和EF都平行且等于1/2AC，∴HG與EF平行且相等，∴有EFGH又∵AC⊥BD，AC∥HG，∴HG⊥BD（垂直于平行線中的一條，必垂直另一條）∴∠HQO=90o，同理∠HPO=90o，又∵∠POQ=90o，∴∠QHE=90o，∴有矩形EFGH⒋四邊形ABCD對(duì)角線AC、BD相交于O，從以下條件中選取3條，可以判定四邊形ABCD是菱形的方法共有8種：①AB=BC，②AB=CD，③BC=AD，④AO=CO，⑤BO=DO，⑥AC⊥BD，⑦AB∥CD，⑧AD∥BC①②③“四條邊相等的四邊形”或“一組鄰邊相等的平行四邊形”①④⑤、①⑦⑧、①②⑦、①③⑧：“一組鄰邊相等的平行四邊形”②③⑥、⑥⑦⑧：“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形”④⑤⑥：“對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形”五、典型題例與思路分析證一個(gè)四邊形是菱形，有兩種思路：可以先由兩個(gè)條件證得平行四邊形，再加一個(gè)條件證得菱形；或者直接由三個(gè)條件證得菱形。圖L-03【例1】如圖L-03，AD是ABC的一條角角平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥A圖L-03〖思路分析〗本例明顯可先證得AFDE，再加上一個(gè)條件“鄰邊相等”即可得菱形。證：∵DE∥AC，DF∥AB∴DE∥AF，DF∥AE∴有AFDE∵AD是角平分線∴∠1=∠2∵DE∥AC∴∠3=∠2∴∠1=∠3∴AE=DE∴有菱形AFDE（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）〖同類練習(xí)〗⒈如圖L-04，ABC中，∠C=90o，AD是角平分線，ED⊥BC，DF∥BC圖L-0圖L-04圖L-05⒉如圖L-05，ABC中，AB=AC，O是BC中點(diǎn)，OG⊥AB于G，OD⊥AC于D，DE⊥AB于E，GF圖L-05求證：四邊形ODPG是菱形圖L-06【例1】如圖L-06，ABC圖L-06線EF分別交AB、CD、BD于F、E、O求證：四邊形DFBE是菱形?！妓悸贩治觥奖纠茱@然可以利用對(duì)角線互相垂直平分來證菱形，我們可以用全等來證得對(duì)角線互相平分。證：∵有ABCD∴AB∥DC∴∠1=∠2，∠3=∠4∵EF垂直平分BD∴DO=BO∴DOE≌BOF∴OE=OF∵EF⊥BD∴有菱形DFBE（對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形）〖同類練習(xí)〗圖L-07⒈如圖L-07，過ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O作互相垂直的兩條直線分別交ABCD圖L-07求證：四邊形EFGH是菱形〖綜合練習(xí)〗⒈☆☆☆如圖L-08，ABC中，∠ACB=90o，AD是角平分線，DF⊥AB于F，CD⊥AB于E，求證：四邊形CDFG是菱形圖L-08〖提示〗用全等可證CD=DF，CG=GF，再證∠3=∠4得圖L-08⒉☆☆☆如圖L-09，E為四邊形ABCD邊AB上一點(diǎn)，且AED和EBC都是等邊三角形，F(xiàn)、G、H、I分別是四邊中點(diǎn)求證：四邊形FGHI是菱形〖提示〗連結(jié)AC和BD，先證AEC≌DEB，得AC=BD；再由中位線原理可得HI=FG=1/2AC，EI=HG=1/2BD，即四條邊都相等圖圖L-09⒊如圖L-10，AB∥EF，∠1=∠2，DC=DF，求證：四邊形DCEF是菱形圖圖L-10圖L-11⒋如圖L-11，ABCD中，EF∥圖L-11求證：①∠E=∠F②ABCD是菱形矩形的性質(zhì)與判定一、平行四邊形、菱形、矩形的性質(zhì)比較平行四邊形菱形矩形邊1、對(duì)邊平行2、對(duì)邊相等對(duì)邊平行2、四邊相等1、對(duì)邊平行2、對(duì)邊相等角3、對(duì)角相等3、對(duì)角相等3、四角相等（90o）線4、對(duì)角線互相平分4、對(duì)角線互相垂直平分5、對(duì)角線平分每一組對(duì)角4、對(duì)角線互相平分且相等二、矩形的性質(zhì)與判定比較性質(zhì)判定邊1、對(duì)邊平行2、對(duì)邊相等角3、四角相等（90o）1、四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形2、一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形線4、對(duì)角線互相平分且相等3、對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形4、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形三、平行四邊形、菱形、矩形的判定方法比較平行四邊形菱形矩形邊1、兩組對(duì)邊分別平行2、兩組對(duì)邊分別相等1、四條邊都相等的四邊形3、一組對(duì)邊平行且相等2、一組鄰邊相等的平行四邊形角4、兩組對(duì)角分別相等1、四個(gè)角都是直角的四邊形2、一個(gè)角是直角的平行四邊形線5、對(duì)角線互相平分3、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形3、對(duì)角線互相平分且相等的四邊形4、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形4、對(duì)角線相等的平行四邊形四、菱形、矩形的比較⒈二者都是特殊的的平行四邊形，菱形是將平行四邊形的一組鄰邊相等，矩形是將其一組鄰角相等；所以菱形的角方面沒有變化，而矩形的邊方面沒有變化；⒉菱形四邊相等，矩形四角相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，而矩形的對(duì)角線相等；⒊二者都既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心都是對(duì)角線交點(diǎn)，對(duì)稱軸都有2條，菱形的2條是對(duì)角線所在直線，矩形2條是對(duì)邊的中垂線；⒋菱形四邊中點(diǎn)連線所得是矩形，矩形四邊中點(diǎn)連線所得是菱形；⒌菱形對(duì)角線交點(diǎn)到四邊距離相等，矩形對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)距離相等；⒍二者的判定都可以先判定平行四邊形再加一個(gè)條件就可以了。五、練習(xí)⒈如圖J-01，四邊形EFGH是由ABCD四個(gè)內(nèi)角的角平分線圍成的圖J-01圖J-01〖提示〗證∠1+∠2=90o，則∠AED=90o，同理得出另三個(gè)角都等于90o圖J-02⒉求證：順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形圖J-02〖提示〗證四條邊都等于對(duì)角線長(zhǎng)⒊如圖J-03，O為菱形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)，過O點(diǎn)作AD、AB的垂線，與四邊分別相交于E、F、G、H求證：四邊形EFGH是矩形〖提示〗圖J-03由菱形性質(zhì)可知∠1=∠圖J-03線原理知OH=OE；同理可得OE=OF，OF=OG，所以HF與EG相等且互相平分，得矩形⒋求證：①菱形對(duì)角線交點(diǎn)到四邊的距離都相等；②矩形對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等。⒌如圖J-04，矩形ABCD中，AC與BD相交于O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F圖J-04求證：BE=CF圖J-04圖J-05⒍如圖J-05，過矩形ABCD頂點(diǎn)A作AE∥BD，交CD延長(zhǎng)線于E，猜想AEC的形狀并證明圖J-05 ⒎如圖J-06，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD邊上一點(diǎn)，EF⊥BE且EF=BE，已知矩形周長(zhǎng)為22cm，CE=3cm，求DE長(zhǎng)圖J-06圖J-06正方形的性質(zhì)與判定正方形的性質(zhì)與判定比較性質(zhì)判定邊1、對(duì)邊平行；2、四邊相等；1、一組鄰邊相等的矩形；角3、四角相等（都等于90o）2、一個(gè)角是直角的菱形；線4、對(duì)角線互相平分、垂直且相等3、對(duì)角線相等的菱形；4、對(duì)角線垂直的矩形；5、對(duì)角線互相平分、垂直且相等的四邊形二、正方形判定方法①簡(jiǎn)單地說，要判定一個(gè)四邊形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形；如上表中的判定原理1—4，都是這種方法；②判定正方形需要四個(gè)條件，比較平行四邊形、菱形和矩形的判定，判定平行四邊形只要兩個(gè)條件，判定菱形和矩形都要三個(gè)條件；③也可以先判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，再加一個(gè)條件判定成菱形（或矩形），最后再加一個(gè)條件判定成矩形（或菱形），就成了正方形。三、平行四邊形、菱形、矩形與正方形性質(zhì)比較平行四邊形菱形矩形正方形邊1、對(duì)邊平行1、對(duì)邊平行1、對(duì)邊平行1、對(duì)邊平行2、對(duì)邊相等2、四邊相等2、對(duì)邊相等2、四邊相等角3、對(duì)角相等3、對(duì)角相等3、四角相等3、四角相等對(duì)角線4、對(duì)角線互相平分4、對(duì)角線互相平分且垂直4、對(duì)角線互相平分且相等4、對(duì)角線互相平分、垂直且相等對(duì)稱性5、中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線交點(diǎn)5、中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線交點(diǎn)5、中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線交點(diǎn)5、中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線交點(diǎn)6、軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在直線是對(duì)稱軸6、軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)邊的中垂線是對(duì)稱軸6、軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在直線、兩條對(duì)邊的中垂線共是4條對(duì)稱軸四、例題與練習(xí)【例】如圖Z-01，RtABC中，∠ACB=90o，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，求證：四邊形CFDE是正方形?！妓悸贩治觥饺缜八?，要判定一個(gè)四邊形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形；或反之亦然。本例我們可以先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等；或先證它是菱形，再證它有一個(gè)直角。圖Z-0圖Z-01證：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90o，∴∠ACB=∠CFD=∠CED=90o，∴有矩形CFDE（三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等）∴有正方形CFDE（一組鄰邊相等的矩形是正方形）證法二：先證菱形，再證一個(gè)內(nèi)角為90o證：∵DE⊥BC∴∠DEB=90o，又∵∠ACB=90o，∴∠ACB=∠DEB∴DE∥CF同理DF∥CE∴有CFDE又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等）∴有菱形CFDE又∵∠DEB=90o∴有正方形CFDE（一個(gè)角是直角的菱形是正方形）〖練習(xí)〗⒈如圖Z-02，矩形ABCD中，AE平分∠DAB，交CD于E，EF⊥AB于F圖圖Z-02圖Z-01〖提示〗用“一組鄰邊相等的矩形是正方形”⒉如圖Z-03，在正方形ABCD中，AE=BF，AF、ED相交于G圖Z-03圖Z-01①求證：AF=DE圖Z-03圖Z-01〖提示〗①證ABF≌DAE（SAS）②證∠2+∠3=90o：由①得∠1=∠3；∠1+∠2=90o圖Z-04圖圖Z-04圖Z-01〖提示〗證AOF≌BOE（AAS）②如圖Z-05，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AG⊥BE交EB延長(zhǎng)線于G，AG交DB延長(zhǎng)線于F，其它條件不變，OE=OF還成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論圖Z-05圖Z-01【實(shí)踐題】只給你測(cè)量長(zhǎng)度的工具，怎樣測(cè)出一個(gè)矩形的物件是否合格？圖圖J-11【實(shí)踐題】不用任何工具，怎樣檢驗(yàn)一張紙片是正方形？圖Z-04圖Z-01【專題一】紙片折疊題型此類題型的關(guān)鍵在折疊前后的等量關(guān)系，要能找到哪些線段和角是不變的，它們是題中的隱含條件，要注意應(yīng)用。⒈☆☆☆如圖ZD-01，將ABCD紙片沿EF折疊，使C點(diǎn)正好落在A點(diǎn)，D點(diǎn)落在G點(diǎn)，①求證：ABE≌AGF圖ZD-01②判斷四邊形AECF圖ZD-01〖提示〗①折疊之后的等量關(guān)系要清楚：∠D=∠G，∠BAD=∠BCD，AG=CD，AE=EC再由ABCD得∠D=∠B，AB=CD；最后證∠1=∠2，三個(gè)條件就具備了②AE=EC，AE∥EC，可證AECF，由①可知AE=AF，所以可得它是……圖ZD-02⒉☆☆☆如圖ZD-02圖ZD-02⒊☆☆如圖ZD-03，兩張寬度相同的小紙條疊放在一起，圍成一個(gè)四邊形ABCD，判斷這個(gè)四邊形的形狀并證明〖提示〗寬度相同，即高相等，利用面積法可證得AB=AD；而ABCD的證明就……圖圖ZD-03⒋☆☆如圖ZD-04，將矩形紙片ABCD沿BD折疊，C點(diǎn)落在F處，BF交AD于E。已知AB=4，BC=8，求DE長(zhǎng)圖ZD-04〖提示〗設(shè)DE=，則AE=8-；易證∠1=∠3得BE=DE=，在RtABE中，用勾股定理列出方程即可解得圖ZD-04⒌如圖ZD-05，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊后，點(diǎn)B到達(dá)的位置，C與AD交于點(diǎn)E，求證：D∥AC圖ZD-05〖提示〗易證等腰ACE與等腰BDE，則∠1=∠2，∠4=∠5，又由于∠AEC=∠BED，則∠1=∠2=∠4=∠5，得證平行。圖ZD-05圖ZD-06⒍如圖ZD-06，將矩形紙片沿AE、EF折疊，使C點(diǎn)落在G處，B點(diǎn)落在H處；已知∠2=30o，AB=圖ZD-06⒎如圖ZD-07，在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折疊后，點(diǎn)C落在AB邊上的P處，點(diǎn)D落在G處，AD與PG交于H，∠1=30o①求BE、DF