平行線與相交線全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識(shí)講解

《平行線與相交線》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】熟練掌對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角及垂線的概念及性質(zhì)，了解點(diǎn)到直線的距離與兩平行線間的距離的概念；2.區(qū)別平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用；3.了解命題的概念及構(gòu)成，并能通過(guò)證明或舉反例判定命題的真假；4.了解平移的概念及性質(zhì).【高清課堂：相交線與平行線單元復(fù)習(xí)403105知識(shí)結(jié)構(gòu)】【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、相交線1.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角112∠1與∠2有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即∠3+∠4=180°要點(diǎn)詮釋?zhuān)孩艑?duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角.對(duì)頂角的特征:有公共頂點(diǎn)，角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線.⑵如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角.⑶如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角的特征:有公共頂點(diǎn)，有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線．⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè).2.垂線及性質(zhì)、距離（1）垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖1所示，符號(hào)語(yǔ)言記作：AB⊥CD，垂足為O.要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂袛鄡蓷l直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個(gè)角中，是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直.（2）垂線的性質(zhì)：垂線性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記).垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)稱(chēng)：垂線段最短.（3）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，如圖2：PO⊥AB，點(diǎn)P到直線AB的距離是垂線段PO的長(zhǎng).要點(diǎn)詮釋?zhuān)捍咕€段PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條.知識(shí)點(diǎn)二、平行線1．平行線判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行．判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．判定方法3：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．要點(diǎn)詮釋?zhuān)焊鶕?jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行.【思路點(diǎn)撥】這是初學(xué)幾何時(shí)較為復(fù)雜的題目，通常是過(guò)“拐點(diǎn)”(拐角處的頂點(diǎn))作平行線為輔助線，把一個(gè)大角分成兩個(gè)角，分別與兩個(gè)已知角建立起了聯(lián)系．【答案與解析】解：過(guò)E點(diǎn)作EF∥AB，因?yàn)锳B∥CD(已知)，所以EF∥CD．所以∠4＝∠D(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．又因?yàn)椤螪＝∠2(已知)，所以∠4＝∠2(等量代換)．同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1．因?yàn)椤?+∠2+∠3+∠4＝180°(平角定義)，所以∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠BED＝90°．故BE⊥DE．【總結(jié)升華】解此題的關(guān)鍵是如何構(gòu)造平行關(guān)系，即過(guò)哪一點(diǎn)作哪條直線的平行線，只有通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)才能逐步達(dá)到熟練解題的目的．舉一反三：【變式1】如圖所示，已知直線AB∥CD，當(dāng)點(diǎn)E在直線AB與CD之間時(shí)，有∠BED＝∠ABE+∠CDE成立；而當(dāng)點(diǎn)E在直線AB與CD之外時(shí)，下列關(guān)系式成立的是().A．∠BED＝∠ABE+∠CDE或∠BED＝∠ABE-∠CDEB．∠BED＝∠ABE-∠CDEC．∠BED＝∠CDE-∠ABE或∠BED＝∠ABE-∠CDED．∠BED＝∠CDE-∠ABE【答案】C（提示：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB）【變式2】已知：如圖，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1＝∠3.求證：AB∥DC.【答案】證明：∵∠ABC＝∠ADC,∴（等式性質(zhì)）.又∵BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC,∴∠1＝，∠2＝（角平分線的定義）.∴∠1＝∠2（等量代換）.又∵∠1＝∠3（已知）,∴∠2＝∠3（等量代換）.∴AB∥DC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).類(lèi)型三、命題及平移4.在小學(xué)，學(xué)習(xí)對(duì)“幾何的初步認(rèn)識(shí)”我們知道：一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°，現(xiàn)在學(xué)習(xí)了平行線性質(zhì)以后，你能說(shuō)出這是為什么嗎?【答案與解析】已知：三角形ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°．證明：過(guò)A點(diǎn)作EF∥BC．則∠EAB=∠B，∠FAC=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠B+∠BAC+∠C=∠EAB+∠BAC+∠CAF=180°(平角定義)，∴∠A+∠B+∠C=180°．【總結(jié)升華】準(zhǔn)確寫(xiě)出題設(shè)和結(jié)論后，再進(jìn)行證明.5.（吉林）如圖所示，把邊長(zhǎng)為2的正方形的局部進(jìn)行圖①～④的變換，組成圖⑤，則圖⑤的面積是()A．18B．16C．12D．8【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平移的基本性質(zhì)，平移不改變圖形的形狀和大小，即圖形平移后面積不變，則⑤面積可求．【答案】B【解析】圖①到圖②是將一個(gè)等腰三角形由下方平移到上方．圖③到圖④是將右邊的小長(zhǎng)方形平移到左側(cè)，所以圖④中陰影部分的面積與邊長(zhǎng)為2的正方形的面積是相等的，圖⑤是由4個(gè)圖④組成的，所以圖⑤的面積是4×4＝16．【總結(jié)升華】平移是由平移的方向和距離決定的．平移的性質(zhì)是平移前后，圖形的形狀、大小不變.類(lèi)型四、實(shí)際應(yīng)用6.手工制作課上，老師先將一張長(zhǎng)方形紙片折疊成如圖所示的那樣，若折痕與一條邊BC的夾角∠EFB=30°，你能說(shuō)出∠EGF的度數(shù)嗎？【思路點(diǎn)撥】長(zhǎng)方形的對(duì)邊是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF=∠EFG=30°，又因?yàn)檎酆笾睾喜糠窒嗟?，所以∠GEF=∠DEF=30°，所以∠DEG=2∠DEF=60°，又因?yàn)閮芍本€平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，所以∠EGC=180°－∠DEG，問(wèn)題可解.【答案與解析】解：因?yàn)锳D∥BC（已知），所以∠DEF=∠EFG=30°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.因?yàn)椤螱EF=∠DEF=30°（對(duì)折后重合部分相等），所以∠DEG=2∠DEF=60°.所以∠EGC=180°－∠DEG=180°－60°=120°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）.【總結(jié)升華】本題利用了：（1）折疊的性質(zhì)：折