ch8 電路的頻率響應(yīng)

第8章電路的頻率響應(yīng)

8－1多個正弦激勵下穩(wěn)態(tài)電路的響應(yīng)

8－2非正弦周期激勵下穩(wěn)態(tài)電路的響應(yīng)

8－3正弦穩(wěn)態(tài)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

8－4RLC電路的頻率響應(yīng)

8－5并聯(lián)諧振和串聯(lián)諧振

§8－1多個正弦激勵下穩(wěn)態(tài)電路的響應(yīng)

圖8-1所示電路含有多個獨立源，且各個電源的頻率不同，要求某支路電流ik（t）?可根據(jù)各自相應(yīng)的相量模型用相量法分別求解各響應(yīng)分量，再寫出各響應(yīng)分量相應(yīng)的時域表示式ik1（t）、ik2（t），…，最后運用疊加定理求得例8-1

如圖所示電路，已知求uC(t)。

解題中兩個正弦電源的頻率不同，不能畫出兩個獨立源共同作用時的相量模型。但是在求解每一個獨立源單獨作用的響應(yīng)時，仍可根據(jù)各自的相量模型進行求解。（1）uS(t)單獨作用時，相應(yīng)的相量模型如圖（b），其中則可得（2）iS(t)單獨作用時，相應(yīng)的相量模型如圖8-3（c）所示，其中則可得所以（3）由疊加定理得圖8-4兩個不同頻率正弦量的疊加§8－2非正弦周期激勵下穩(wěn)態(tài)電路的響應(yīng)外施激勵為一個或多個按正弦規(guī)律變化的正弦穩(wěn)態(tài)電路的響應(yīng)已做了分析，但在實際中，還會出現(xiàn)大量的非正弦量。這些按非正弦規(guī)律變化的電壓或電流，如果能按一定規(guī)律周而復(fù)始地變動，就稱為非正弦周期量（nonsinusoid）。

非正弦周期激勵下穩(wěn)態(tài)電路的響應(yīng)，可以應(yīng)用疊加定理進行計算。分析時首先應(yīng)用傅立葉級數(shù)（fourierseries）把非正弦周期信號分解為許多不同頻率的正弦量之和，然后應(yīng)用上節(jié)所述方法分別計算各種頻率正弦量作用下的響應(yīng)，再將這些響應(yīng)分量的瞬時表示式相加就可求得所需結(jié)果。其實質(zhì)是把非正弦周期電路的計算轉(zhuǎn)化為一系列正弦電路的計算，這樣仍可利用相量法進行分析。

應(yīng)用傅立葉級數(shù)，把非正弦周期信號分解為一個直流分量和一系列頻率成整數(shù)倍的正弦成分之和，其中頻率與非正弦周期信號頻率相同的分量稱為基波(fundamentalcomponent)或一次諧波分量(thefirstharmonic)，其他各項統(tǒng)稱為高次諧波(higher-orderharmonic)，即2次、3次、4次、…、n次諧波、…。幾種典型的非正弦周期量的波形，它們的傅立葉級數(shù)展開式分別為

k為奇數(shù)圖（b）所示等腰三角波k為奇數(shù)圖（a）所示矩形波（rectanglewave）（a）（b）（c）圖8-5幾種典型的非正弦周期信號圖（c）所示鋸齒波（sawtoothwave）例8-2

圖（a）所示RLC電路，已知R=10Ω，ωL=10Ω，1/ωC=20Ω，求電路中的電流i（t）。其中外施電壓源為解（1）直流分量US1=10V單獨作用時的等效電路如圖（b）所示，由圖可得（2）基波分量作用時的相量模型如圖（c）所示，其中（a）

（b）

（c）

（d）

（a）

（b）

（c）

（d）

（3）3次諧波分量作用時的相量模型如圖（d）所示，其中（4）由疊加定理得，電路中的電流為i（t）的波形如圖所示?？梢钥闯?，在非正弦周期激勵下，穩(wěn)態(tài)電路的響應(yīng)仍為一個非正弦周期量，其周期與一次諧波分量相同。非正弦周期量的有效值

設(shè)非正弦周期電壓為則該電壓的有效值為

正弦周期電壓的有效值等于各次諧波有效值平方和的平方根

同理非正弦周期電流的有效值I

為非正弦周期電路的平均功率

設(shè)圖示二端網(wǎng)絡(luò)N的端口電壓、電流是非正弦周期量，其中電壓和電流的乘積展開后為下面四項：

U0I0；以及以上四項對時間t在周期T內(nèi)積分可得其余兩項的積分結(jié)果為零。這樣可以得到網(wǎng)絡(luò)所吸收的平均功率為表明，非正弦周期電路的平均功率等于直流分量與各次諧波產(chǎn)生的平均功率之和。在非正弦周期電路中，疊加定理對平均功率是適用的。例8-3試求二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率。其中該二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓、電流分別為

P2=0WP=P0+P1+P2+P3=10+12.5+0+7.07=29.57W§8－3正弦穩(wěn)態(tài)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

對單輸入單輸出電路來說，正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)指的是響應(yīng)（輸出）相量與激勵（輸入）相量之比，記作H(jω)，即

其中是輸入正弦激勵的相量形式，可以是電壓源或電流源的相量，為響應(yīng)相量，是要研究的某條支路的電壓或流過某條支路的電流的相量形式，由于激勵和響應(yīng)都是頻率的函數(shù)，所以網(wǎng)絡(luò)函數(shù)又稱為頻率響應(yīng)函數(shù)，簡稱頻響。當(dāng)響應(yīng)和激勵屬于電路的同一端口時，該網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為策動點函數(shù)（drivingpointfunction）或驅(qū)動點函數(shù)。根據(jù)輸入、輸出的不同，策動點函數(shù)又分為以下兩種：策動點阻抗函數(shù)和策動點導(dǎo)納函數(shù)。策動點阻抗函數(shù)的輸入是電流源，輸出是電壓；策動點導(dǎo)納函數(shù)的輸入是電壓源，輸出是電流。當(dāng)響應(yīng)和激勵屬于電路的不同端口時，則該網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為轉(zhuǎn)移函數(shù)（transferfunction）。根據(jù)輸入、輸出的不同，轉(zhuǎn)移函數(shù)分為以下四種：電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)、電流轉(zhuǎn)移函數(shù)、轉(zhuǎn)移阻抗函數(shù)和轉(zhuǎn)移導(dǎo)納函數(shù)。

（c）電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)

輸入、輸出為兩個不同端口的電壓時為電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)。（d）電流轉(zhuǎn)移函數(shù)

（e）轉(zhuǎn)移阻抗函數(shù)

（f）轉(zhuǎn)移導(dǎo)納函數(shù)輸入、輸出為兩個不同端口的電流時為電流轉(zhuǎn)移函數(shù)；輸入是電流，輸出為電壓轉(zhuǎn)移阻抗函數(shù)；輸入是電壓，輸出為電流為轉(zhuǎn)移導(dǎo)納函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(jω)是頻率ω的復(fù)值函數(shù)，表征了在單一正弦激勵作用下，響應(yīng)相量隨頻率ω變化的情況，寫作

（8-7）其中|H(jω)|是H(jω)的模，它是ω的實函數(shù)，反映了響應(yīng)與激勵的幅值之比（或有效值之比）隨ω變化的規(guī)律，稱作電路的幅頻特性。以ω為橫軸，H(jω)為縱軸，繪出|H(jω)|隨ω的變化曲線稱為幅頻特性曲線。

3.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的求解方法。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是由電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)來決定的，與電路的輸入無關(guān)。在電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知的條件下，求解電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以用外施電源法。另外，求解策動點阻抗或?qū)Ъ{時，如果只有阻抗或?qū)Ъ{的串并聯(lián)組合，則直接用阻抗的串并聯(lián)公式或Y－Δ的等效變換計算即可。求解轉(zhuǎn)移函數(shù)時，可以用分壓、分流公式直接進行計算。

例8-4

求圖（a）所示電路在負(fù)載端開路時的策動點阻抗

/和轉(zhuǎn)移阻抗

/。

解求解策動點阻抗時，可以直接利用阻抗的串并聯(lián)公式求轉(zhuǎn)移阻抗時，可外加電流源，則可見，所求的策動點阻抗和轉(zhuǎn)移阻抗皆是頻率的函數(shù)，隨著頻率的改變，相應(yīng)的阻抗也會發(fā)生變化?！?－4RLC電路的頻率響應(yīng)

當(dāng)正弦激勵的頻率變化時，RLC電路的響應(yīng)也會發(fā)生相應(yīng)的變化，RLC電路的響應(yīng)隨頻率變化的這種關(guān)系，稱為RLC電路的頻率響應(yīng)（frequencyresponse）。電路的電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)為電路的電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)為所以（8-9）（8-10）（a）幅頻特性曲線（b）相頻特性曲線圖8-12RLC串聯(lián)電路的幅頻特性曲線和相頻特性曲線由|H(jω)|可知，當(dāng)ω=0或ω=∞時，|H(jω)|=0；當(dāng)1-ω2LC=0時，即時，|H(jω)|=1達到最大值；當(dāng)ω高于或低于ω0時，|H(jω)|均將下降，并最終趨于零?？梢娫撾娐肪哂袔ǎ╞andpass）濾波的特性，其中的ω0稱為中心頻率。為了表明RLC電路對不同頻率信號的選擇性，通常將所對應(yīng)的頻率范圍定義為通頻帶，在時，電路所損耗的功率恰好為時的一半，因此轉(zhuǎn)移函數(shù)時所對應(yīng)的兩個頻率點ω1、ω2分別稱為上半功率頻率和下半功率頻率（half-powerfrequencies），前者高于中心頻率也稱為上截止頻率（uppercutofffrequencies），后者低于中心頻率也稱為下截止頻率（lowercutofffrequencies）。

時，可得，即解得因為ω應(yīng)始終為正值，所以上式開方項前均取正號，則得兩個截止頻率為

（8-11）ω0與ω1、ω2的關(guān)系為上截止頻率和下截止頻率的差值就是通頻帶，通頻帶的寬度即帶寬（bandwidth）為圖8-13所示電路是由RLC并聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡(luò)，設(shè)該單口網(wǎng)絡(luò)的等效導(dǎo)納為Y，則下面來分析RLC并聯(lián)電路的頻率響應(yīng)。若輸出取自電流，則電流轉(zhuǎn)移函數(shù)為（8-13）（8-13）由電流轉(zhuǎn)移函數(shù)知（8-14）（8-15）同理，在時，兩個截止頻率分別為

（8-16）

因此RLC并聯(lián)電路的帶寬為（8-17）

對于RLC電路來說，可以用品質(zhì)因數(shù)來衡量其幅頻特性曲線的陡峭程度，所謂品質(zhì)因數(shù)（qualityfactor）指的是中心頻率對帶寬的比值，通常用Q來表示，即（8-18）

在一定時，帶寬BW與品質(zhì)因數(shù)Q成反比，Q越大，BW越小，通頻帶越窄，曲線越尖銳，電路對偏離中心頻率信號的抑制能力越強，對信號的選擇性越好；反之，Q越小，帶寬BW越大，通頻帶越寬，曲線越平坦，電路對信號的選擇性越差。所以品質(zhì)因數(shù)Q是描述電路頻率選擇性優(yōu)劣的物理量。（a）幅頻特性曲線（b）相頻特性曲線圖8-14RLC串聯(lián)電路對不同Q值的的幅頻特性曲線和相頻特性曲線對RLC串聯(lián)電路來說，其品質(zhì)因數(shù)Q為（8-19）對RLC并聯(lián)電路來說，其品質(zhì)因數(shù)Q為§8－5并聯(lián)諧振和串聯(lián)諧振

8.5.1并聯(lián)諧振圖示RLC并聯(lián)電路從端口a、b看進去的等效導(dǎo)納為如果在端口外接一個電流源，在電流源的電流一定時，端口兩端電壓為此時等效導(dǎo)納的虛部為零，單口網(wǎng)絡(luò)端口兩端的電壓將達到最大值，而且電壓與電流同相，此時稱電路達到了諧振狀態(tài)。諧振時，單口網(wǎng)絡(luò)的等效導(dǎo)納Y=G的模達到最小值，而等效阻抗Z=1/G=R的模則達到最大值。要求解RLC并聯(lián)電路達到諧振時的頻率，根據(jù)Im[Y]=0得稱為諧振頻率?？梢娭C振頻率恰好等于帶通濾波電路的中心頻率，因此前面所說的中心頻率其實就是帶通濾波電路的諧振頻率。諧振時，單口網(wǎng)絡(luò)端口兩端電壓為諧振時各元件上流過的電流分別為可見電容和電感的導(dǎo)納和等于零，電容和電感并聯(lián)的支路相當(dāng)于開路，單口網(wǎng)絡(luò)等效為純電導(dǎo)，流過電導(dǎo)的電流與外施電流源電流相等。諧振時的品質(zhì)因數(shù)將品質(zhì)因數(shù)Q代入可見所以并聯(lián)諧振又稱為電流諧振。諧振時電路的相量圖如下圖所示圖GCL并聯(lián)電路諧振時的相量圖8.5.2串聯(lián)諧振右圖所示電路從端口a、b看進去的等效阻抗為其中根據(jù)諧振條件，即，可知諧振頻率串聯(lián)諧振時流過單口網(wǎng)絡(luò)端口的電流為各元件上的電壓分別為表明諧振時電容電壓和電感電壓大小相等方向相反，此時