二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性微分方程的一般形式是其中P(x)，Q(x)及f(x)是自變量x的已知函數(shù)，函數(shù)f(x)稱為方程(12-15)的自由項(xiàng).當(dāng)f(x)=0時(shí)，方程(12-15)變?yōu)檫@個(gè)方程稱為二階齊次線性微分方程，相應(yīng)地，方程(12-15)稱為二階非齊次線性微分方程.(12-15)(12-16)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)對(duì)于二階齊次線性微分方程，有下述兩個(gè)定理.定理1

如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程(12-16)的兩個(gè)解，則y=C1y1(x)+C2y2(x)(12-17)

也是方程(12-16)的解，其中C1，C2是任意常數(shù).證

將式(12-17)代入方程(12-16)的左端，有(C1y1+C2y2)″+P(x)(C1y1+C2y2)′+Q(x)(C1y1+C2y2)=(C1y″1+C2y″2)+P(x)(C1y′1+C2y′2)+Q(x)(C1y1+C2y2)=C1［y″1+P(x)y′1+Q(x)y1］+C2［y″2+P(x)y′2+Q(x)y2］=0，所以式(12-17)是方程(12-16)的解.齊次線性方程的這個(gè)性質(zhì)表明它的解符合疊加原理.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)設(shè)y1(x)，y2(x),…，yn(x)是定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù)，如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)k1，k2，…，kn,使得當(dāng)x∈I時(shí)恒有k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn=0，則稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)；否則稱為線性無關(guān).根據(jù)定義可知，在區(qū)間I上兩個(gè)函數(shù)是否線性相關(guān)，只要看它們的比是否為常數(shù).如果比為常數(shù)，則它們線性相關(guān)，否則線性無關(guān).定義6二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)例如，函數(shù)y1(x)=sin2x，y2(x)=6sinxcosx是兩個(gè)線性相關(guān)的函數(shù)，因?yàn)槎鴜1(x)=e4x，y2(x)=ex是兩個(gè)線性無關(guān)的函數(shù)，因?yàn)橛辛撕瘮?shù)線性無關(guān)的概念后，有下面的定理.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)如果y1(x)與y2(x)是方程(12-16)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則y=C1y1(x)+C2y2(x)就是方程(12-16)的通解，其中C1，C2是任意常數(shù).證由定理1知，y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程(12-16)的解，因?yàn)閥1(x)與y2(x)線性無關(guān)，所以其中兩個(gè)任意常數(shù)C1與C2不能合并，即它們是相互獨(dú)立的，所以y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程(12-16)的通解.定理2二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)例如，對(duì)于方程y″－5y′+6y=0，容易驗(yàn)證y1=e2x與y2=e3x

是它的兩個(gè)特解，又所以y=C1e2x+C2e3x就是該方程的通解.由一階線性微分方程的討論知，一階非齊次線性微分方程的通解可以表示為對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的通解與一個(gè)非齊次線性微分方程的特解的和.實(shí)際上，不僅一階非齊次線性微分方程的通解具有這樣的結(jié)構(gòu)，而且二階甚至更高階的非齊次線性微分方程的通解也具有同樣的結(jié)構(gòu).二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理3

設(shè)y*是方程(12-15)的一個(gè)特解，而Y是其對(duì)應(yīng)的齊次方程(12-16)的通解，則y=Y+y*(12-18)就是二階非齊次線性微分方程(12-15)的通解.證把式(12-18)代入方程(12-15)的左端，得(Y+y*)″+P(x)(Y+y*)′+Q(x)(Y+y*)

=(Y″+y*″)+P(x)(Y′+y*′)+Q(x)(Y+y*)

=［Y″+P(x)Y′+Q(x)Y］+［y*″+P(x)y*′+Q(x)y*］=0+f(x)=f(x),即y=Y+y*是方程(12-15)的解.由于對(duì)應(yīng)齊次方程的通解Y=C1y1(x)+C2y2(x)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)含有兩個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)C1，C2，所以y=Y+y*是方程(12-15)的通解.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(解的疊加原理)設(shè)y1*與y2*分別是方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)與y″+P(x)y′+Q(x)y=f2(x)

的特解，則y1*+y2*是方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x)(12-19)

的特解.證

將y1*+y2*代入方程(12-19)左端，得(y1*+y2*)″+P(x)(y1*+y2*)′+Q(x)(y1*+y2*)=［y1*″+P