高 階 函 數(shù)課件

高階函數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)引例

求變速直線運(yùn)動物體的瞬時加速度.分析如果物體的運(yùn)動方程為s=s(t)，則變速直線運(yùn)動的瞬時速度v是路程s對時間t的導(dǎo)數(shù)，即而加速度a又是速度v對時間t的變化率，也就是速度v對時間t的導(dǎo)數(shù)，即a=dv/dt.于是這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)d/dt(ds/dt)或(s′)′稱為s對t的二階導(dǎo)數(shù)，記為s″(t).所以，物體運(yùn)動的加速度就是路程s對時間t的二階導(dǎo)數(shù).一、高階導(dǎo)數(shù)一般地，如果函數(shù)y=fx的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)仍是x的可導(dǎo)函數(shù)，就稱y′=f′(x)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y=fx的二階導(dǎo)數(shù)，記為y″,f″(x),d2y/dx2或d2f(x)/dx2.相應(yīng)地，把y=fx的導(dǎo)數(shù)f′(x)稱為函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù).一、高階導(dǎo)數(shù)二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).由高階導(dǎo)數(shù)的定義知，求函數(shù)y=f(x)的高階導(dǎo)數(shù)，只需連續(xù)多次求導(dǎo)數(shù)即可，因此仍可應(yīng)用前面的求導(dǎo)方法進(jìn)行計算.一、高階導(dǎo)數(shù)

【例1】一、高階導(dǎo)數(shù)

求指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的n階導(dǎo)數(shù).【例2】一、高階導(dǎo)數(shù)

求正弦函數(shù)y=sinx的n階導(dǎo)數(shù).【例3】一、高階導(dǎo)數(shù)

求冪函數(shù)y=xα(α∈R)的n階導(dǎo)數(shù).【例4】一、高階導(dǎo)數(shù)

設(shè)y=ln(1+x)，求y(n).【例5】一、高階導(dǎo)數(shù)【例6】一、高階導(dǎo)數(shù)

設(shè)f(x)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且f′(x)=f2(x)，求證：f(x)的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)=n!fn+1(x).證明由f′(x)=f2(x)，得所以原命題成立.【例7】一、高階導(dǎo)數(shù)二、萊布尼茨公式如果函數(shù)u=ux與v=vx都在點x處具有n階導(dǎo)數(shù)，那么u(x)+v(x)與u(x)-v(x)在點x處都具有n階導(dǎo)數(shù)，且u(x)±v(x)（n）=[u(x)](n)±[v(x)](n),但乘積u(x)·v(x)的n階導(dǎo)數(shù)卻并不如此簡單.由［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)首先得出上式稱為萊布尼茨公式.

設(shè)y=x2sinx,求y(20).解設(shè)u(x)=sinx,vx=x2,則由萊布尼茨公式知【例8】二、萊布尼茨公式三、應(yīng)用舉例

年齡在0與36個月之間的男嬰的平均體重可以表示成函數(shù)ω(t)=8.15+1.82t－0.0596t2+0.000758t3，其中t用月來度量，而ω用磅（1磅=0.454千克）來度量，求一個標(biāo)準(zhǔn)男嬰體重增長的加速度.解對ω(t)=8.15+1.82t－0.0596t2+0.000758t3求導(dǎo)，得ω′(t)=1.82－0.1192t+0.002274t2，ω″(t)=－0.1192