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文檔簡介

可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程下面僅討論幾種特殊類型的二階微分方程，我們可以通過代換將它們化成一階的方程來解，即對(duì)于二階微分方程y″=f(x,y,y′)，設(shè)法作代換把它由二階降至一階，再利用前面所學(xué)的方法來求解即可.一、形如y″=f(x)的微分方程對(duì)于微分方程y″=f(x)，其右端僅含自變量x，如果以y′為未知數(shù)，就是一階微分方程，兩端積分得y′=∫f(x)dx+C1，再次積分得y=∫∫f(x)dxdx+C1x+C2.以此類推，對(duì)于n階微分方程，連續(xù)積分n次，便得含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.一、形如y″=f(x)的微分方程解方程y″=ex+6x.解連續(xù)二次積分，得y′=ex+3x2+C1，y=ex+x3+C1x+C2.【例15】二、形如y″=f(x,y′)的微分方程方程y″=f(x,y′)(12-13)

的右端不顯含y.令y′=p(x)，則代入方程(12-13)中，得=f(x,p)，這是一階方程，設(shè)其通解為p=φ(x,C1)，因y′=p(x)，于是=φ(x,C1)，兩端積分，得y=∫φ(x,C1)dx+C2.二、形如y″=f(x,y′)的微分方程解方程xy″=y′lny′.【例16】二、形如y″=f(x,y′)的微分方程【例17】三、形如y″=f(y,y′)的微分方程方程y″=f(y,y′)(12-14)

中不顯含自變量x.為了求出它的解，我們令y′=p，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則把y″化為對(duì)y的導(dǎo)數(shù)，即三、形如y″=f(y,y′)的微分方程求

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