《動(dòng)態(tài)規(guī)劃及其應(yīng)用》課件

動(dòng)態(tài)規(guī)劃及其應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種重要的算法設(shè)計(jì)技巧，它通過將問題分解成子問題并保存子問題的解來解決優(yōu)化問題。它廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)、工程和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的定義與特點(diǎn)分而治之將大問題分解成若干個(gè)相互獨(dú)立的子問題，分別求解。重疊子問題子問題之間存在重疊，避免重復(fù)計(jì)算。最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問題的最優(yōu)解包含子問題的最優(yōu)解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心思想將大問題分解為子問題。重復(fù)使用子問題的解，避免重復(fù)計(jì)算。存儲(chǔ)子問題的解，以供后續(xù)使用。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本模型1狀態(tài)用一個(gè)或多個(gè)變量來描述問題的當(dāng)前狀態(tài)，例如，在背包問題中，狀態(tài)可以表示為(當(dāng)前重量，當(dāng)前價(jià)值)。2決策在每個(gè)狀態(tài)下可以做出的選擇，例如，在背包問題中，決策可以是選擇或不選擇當(dāng)前物品。3狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程描述了不同狀態(tài)之間如何轉(zhuǎn)換，以及如何根據(jù)決策更新狀態(tài)。它通常是一個(gè)遞歸方程，用于計(jì)算每個(gè)狀態(tài)的最優(yōu)解。4邊界條件定義了問題的初始狀態(tài)或結(jié)束狀態(tài)，例如，在背包問題中，邊界條件可以是空背包的重量和價(jià)值。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的求解步驟1定義狀態(tài)確定問題的子問題，并用狀態(tài)變量表示每個(gè)子問題。2確定邊界條件明確最小的子問題，并設(shè)置其初始狀態(tài)值。3建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程用狀態(tài)變量之間的關(guān)系，描述子問題之間的遞推關(guān)系。4計(jì)算最終結(jié)果根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，自底向上計(jì)算所有子問題，最終得到問題的解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用領(lǐng)域計(jì)算機(jī)科學(xué)算法優(yōu)化，編譯器設(shè)計(jì)，數(shù)據(jù)庫查詢，機(jī)器學(xué)習(xí)，數(shù)據(jù)挖掘，圖像處理等領(lǐng)域。運(yùn)籌學(xué)與管理科學(xué)生產(chǎn)計(jì)劃，庫存管理，資源分配，投資組合優(yōu)化，交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域。生物信息學(xué)基因序列比對(duì)，蛋白質(zhì)折疊預(yù)測(cè)，藥物設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問題的最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解拆解問題將問題分解成子問題，并利用子問題的最優(yōu)解來構(gòu)建原問題的最優(yōu)解關(guān)鍵原則動(dòng)態(tài)規(guī)劃中，最優(yōu)子結(jié)構(gòu)是其適用性的前提重復(fù)子問題遞歸調(diào)用在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中，子問題可能會(huì)被多次調(diào)用，導(dǎo)致重復(fù)計(jì)算。緩存結(jié)果通過緩存子問題的結(jié)果，可以避免重復(fù)計(jì)算，提高效率。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程描述了動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題中不同狀態(tài)之間的關(guān)系，它定義了如何從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)，以及每個(gè)狀態(tài)的最佳值如何計(jì)算。作用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心，它提供了求解問題的遞歸關(guān)系，通過逐步計(jì)算每個(gè)狀態(tài)的最佳值，最終得到問題的整體最優(yōu)解。遞歸實(shí)現(xiàn)分解問題將問題分解成更小的子問題，并假設(shè)子問題可以被遞歸地解決。遞歸調(diào)用使用遞歸函數(shù)調(diào)用自身，以解決子問題。組合結(jié)果將子問題的解組合起來，以獲得原始問題的解。自底向上實(shí)現(xiàn)1初始化首先初始化存儲(chǔ)結(jié)果的數(shù)組，并將邊界情況的值填入。2循環(huán)迭代根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，循環(huán)迭代計(jì)算每個(gè)狀態(tài)的值。3返回結(jié)果最終返回目標(biāo)狀態(tài)的值，即動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題的解。記憶化搜索1自頂向下遞歸調(diào)用2存儲(chǔ)結(jié)果避免重復(fù)計(jì)算3查找結(jié)果節(jié)省時(shí)間斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的經(jīng)典應(yīng)用案例之一。它是一個(gè)數(shù)列，其中每個(gè)數(shù)字都是前兩個(gè)數(shù)字的總和。例如，斐波那契數(shù)列的前幾個(gè)數(shù)字是0、1、1、2、3、5、8、13、21等。動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以有效地計(jì)算斐波那契數(shù)列的任何項(xiàng)。通過存儲(chǔ)先前計(jì)算的值并重復(fù)使用它們，動(dòng)態(tài)規(guī)劃避免了重復(fù)計(jì)算，從而提高了效率。背包問題背包問題是一類經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，它通常描述為：給定一組物品，每個(gè)物品都有自己的重量和價(jià)值，以及一個(gè)容量有限的背包，如何選擇物品放入背包以最大化背包中物品的總價(jià)值？背包問題有多種變體，包括0-1背包問題、完全背包問題、多重背包問題和混合背包問題等。這些問題在各種領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如資源分配、投資組合優(yōu)化和貨物裝載等。最長(zhǎng)公共子序列最長(zhǎng)公共子序列(LCS)問題是在兩個(gè)字符串中尋找最長(zhǎng)的公共子序列。子序列不需要連續(xù)，但必須按順序出現(xiàn)在原始字符串中。例如，字符串"ABCBDAB"和"BDCABA"的最長(zhǎng)公共子序列是"BCBA"，長(zhǎng)度為4。編輯距離編輯距離是指兩個(gè)字符串之間進(jìn)行編輯操作（插入、刪除、替換）的最小次數(shù)，用來衡量?jī)蓚€(gè)字符串的相似度。例如，"kitten"和"sitting"之間的編輯距離為3。將"kitten"中的"k"替換為"s"。將"kitten"中的"e"替換為"i"。在"kitten"的末尾插入"g"。最短路徑問題最短路徑問題是指在給定的圖中，找到兩個(gè)指定節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。常見的算法包括：Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、A*算法等。股票交易問題股票交易問題可以看作是動(dòng)態(tài)規(guī)劃中經(jīng)典問題，它包含多種變體，例如：買賣股票的最佳時(shí)機(jī)、買賣股票的最佳時(shí)機(jī)II、買賣股票的最佳時(shí)機(jī)III等。通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃，我們可以找到最佳的交易方案，最大化收益。矩陣連乘問題問題描述給定n個(gè)矩陣的序列，計(jì)算它們的乘積，要求用最少的乘法次數(shù)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，將問題分解為子問題，并記錄子問題的解，以避免重復(fù)計(jì)算。硬幣找零問題問題描述給定一組面值的硬幣和一個(gè)目標(biāo)金額，求最少需要多少個(gè)硬幣才能湊出目標(biāo)金額。動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃，定義狀態(tài)dp[i]表示湊出金額i所需的最小硬幣數(shù)量。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程dp[i]=min(dp[i],dp[i-coin]+1)，其中coin是所有面值的硬幣。石子合并問題石子合并問題是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的經(jīng)典應(yīng)用之一，問題描述為：給定一排n堆石子，每堆石子有若干個(gè)石子，現(xiàn)在要將這些石子合并成一堆，每次只能合并相鄰的兩堆石子，合并的代價(jià)為這兩堆石子的總個(gè)數(shù)，求最小的合并代價(jià)?；顒?dòng)安排問題活動(dòng)安排問題是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，它要求我們?cè)诙鄠€(gè)活動(dòng)中選擇一個(gè)最大不相交活動(dòng)集合，使得選出的活動(dòng)數(shù)目最多。例如，我們有一個(gè)活動(dòng)列表，每個(gè)活動(dòng)都有一個(gè)開始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間。我們的目標(biāo)是選擇盡可能多的活動(dòng)，但這些活動(dòng)不能互相重疊。動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以用來解決這個(gè)問題，因?yàn)樗梢詫栴}分解成更小的子問題，并利用這些子問題的解來求解原問題。最長(zhǎng)遞增子序列最長(zhǎng)遞增子序列問題是動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的經(jīng)典問題。它要求在給定的序列中找到一個(gè)最長(zhǎng)的子序列，該子序列的所有元素都按遞增順序排列。例如，序列[1,3,2,4,5]的最長(zhǎng)遞增子序列為[1,2,4,5]。動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以有效地解決這個(gè)問題，它將問題分解成子問題，并通過存儲(chǔ)子問題的解來避免重復(fù)計(jì)算。最大子序列和最大子序列和問題是動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的經(jīng)典問題，旨在找到數(shù)組中所有子序列的最大和。例如，對(duì)于數(shù)組[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，其最大子序列和為6，對(duì)應(yīng)子序列為[4,-1,2,1]。該問題可以有效地使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法解決，通過記錄每個(gè)位置之前的最大子序列和來找到最終的最大值。數(shù)字三角形問題問題描述給定一個(gè)數(shù)字三角形，求從頂點(diǎn)到最底層某一位置的路徑，使得路徑上所有數(shù)字之和最大。動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃，從底層向上遞推計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的最大路徑和。最優(yōu)二叉搜索樹構(gòu)造根據(jù)給定的關(guān)鍵字及其概率，找到一個(gè)二叉搜索樹，使得平均搜索代價(jià)最小。動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃，構(gòu)建一個(gè)表格，存儲(chǔ)子問題的最優(yōu)解，逐步推導(dǎo)出最優(yōu)二叉搜索樹。應(yīng)用場(chǎng)景廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)庫索引、信息檢索、編譯器設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。0-1背包問題0-1背包問題是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的經(jīng)典應(yīng)用之一。假設(shè)有N件物品和一個(gè)容量為C的背包。每件物品i都有重量W[i]和價(jià)值V[i]，求將哪些物品裝入背包，使背包中物品的總價(jià)值最大。0-1背包問題中的“0-1”指的是每件物品只能選擇裝入或不裝入，不能部分裝入。完全背包問題完全背包問題是指，每個(gè)物品可以無限次地使用，求解在背包容量限制下，能夠裝入的最大價(jià)值。與0-1背包問題不同，完全背包問題允許重復(fù)選擇同一物品。每個(gè)物品都有重量和價(jià)值背包容量有限制每個(gè)物品可以無限次地使用多重背包問題物品種類有限每種物品都有特定的數(shù)量限制，比如背包里最多只能放3個(gè)蘋果。價(jià)值和重量約束每個(gè)物品都有自己的價(jià)值和重量，背包的容量有限，需要在價(jià)值最大化和重量限制之間取得平衡。動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解通過構(gòu)建狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，逐步求解出背包能夠容納的最大價(jià)值?；旌媳嘲鼏栴}混合背包問題是將三種背包問題綜合起來的一種背包問題，即同時(shí)包含了0-1背包、完全背包和多重背包的問題。在這種問題中，每件物品的類型可能不同，因此需要根據(jù)每件物品的類型選擇相應(yīng)的解法。例如，對(duì)于0-1背包問題，每件物