《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)大綱

《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)大綱

英文名稱:

MathematicalAnalysis課程編碼：F012201-3課內(nèi)教學(xué)時(shí)數(shù)：84+102+102=288(學(xué)時(shí))學(xué)分：6+6+6=18（學(xué)分）適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)開(kāi)課單位：數(shù)學(xué)與物理系撰寫(xiě)人：李聲鋒審核人：孫西超修訂時(shí)間：2014年8月

一、課程的性質(zhì)和任務(wù)《數(shù)學(xué)分析》課程是蚌埠學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門(mén)基礎(chǔ)課，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)理論之一；它的任務(wù)是使學(xué)生獲得極限理論、一元微積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)、多元微積分等方面的系統(tǒng)知識(shí)，能為后繼課程提供所需的基礎(chǔ)，同時(shí)還為培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立工作能力提供必要的訓(xùn)練。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)分析方法、培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、抽象思維能力以及處理實(shí)際問(wèn)題的綜合應(yīng)用能力。學(xué)生學(xué)好《數(shù)學(xué)分析》課程的基本內(nèi)容和方法，對(duì)今后的學(xué)習(xí)、研究和應(yīng)用都具有關(guān)鍵性的作用。特別地，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析還為深刻理解初等數(shù)學(xué)，指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究提供重要的方法。二、課程教學(xué)內(nèi)容的基本要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)

第一章

函數(shù)㈠

基本要求

理解函數(shù)的有關(guān)概念和具有特殊性質(zhì)的函數(shù)，掌握函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算。㈡

教學(xué)重點(diǎn)

函數(shù)的概念，函數(shù)的表示，函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算，初等函數(shù)。㈢

教學(xué)難點(diǎn)

函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算，反函數(shù)與初等函數(shù)。㈣

教學(xué)內(nèi)容1、函數(shù)(1)函數(shù)概念(2)函數(shù)的四則運(yùn)算(3)函數(shù)的圖象(4)數(shù)列2、四類具有特殊性質(zhì)的函數(shù)(1)有界函數(shù)(2)單調(diào)函數(shù)(3)奇函數(shù)與偶函數(shù)(4)周期函數(shù)3、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)(1)復(fù)合函數(shù)(2)反函數(shù)(3)初等函數(shù)

第二章極限㈠

基本要求

深刻理解數(shù)列極限的概念，對(duì)于ε-N不僅要領(lǐng)會(huì)思想方法，而且要用定義來(lái)證明有關(guān)極限問(wèn)題；熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)，正確理解數(shù)列收斂性的判別法；掌握并會(huì)證明收斂數(shù)列性質(zhì)、極限的唯一性、單調(diào)性、保號(hào)性及不等式性質(zhì)；掌握并會(huì)證明收斂數(shù)列的四則運(yùn)算定理、迫斂性定理及單調(diào)性定理，并會(huì)用這些定理求某些收斂數(shù)列的極限；準(zhǔn)確建立函數(shù)(包括單側(cè)極限)概念，深刻理解函數(shù)極限的ε-δ等定義，明了其幾何意義，并能給出函數(shù)不以某定義為極限的相應(yīng)陳述，能運(yùn)用函數(shù)的極限定義證明與函數(shù)極限有關(guān)的某些命題；掌握函數(shù)的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性質(zhì)等；掌握Heine定理與Cauchy準(zhǔn)則；掌握兩個(gè)重要極限并牢記結(jié)論，了解證明的基本思路和方法并能靈活地加以運(yùn)用；作為函數(shù)極限的特殊情形，要求掌握無(wú)窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，并由此求出某些函數(shù)的極限。㈡

教學(xué)重點(diǎn)

數(shù)列極限的定義與性質(zhì)，收斂判別的單調(diào)有界原理，函數(shù)極限的定義與性質(zhì)，兩個(gè)重要極限，無(wú)窮大與無(wú)窮小的定義與性質(zhì)。㈢

教學(xué)難點(diǎn)

極限的概念，極限性質(zhì)證明，無(wú)窮小的比較。㈣

教學(xué)內(nèi)容1、數(shù)列極限(1)極限思想(2)數(shù)列的極限

(3)數(shù)列極限的概念2、收斂數(shù)列(1)收斂數(shù)列的性質(zhì)(2)收斂數(shù)列的四則運(yùn)算(3)數(shù)列的收斂判別法(4)子數(shù)列3、函數(shù)的極限(1)擴(kuò)充的實(shí)數(shù)集(2)自變量的變化過(guò)程和函數(shù)的變化趨向(3)(+∞,b)類型的極限(4)(a,b)類型的極限(5)例(6)(a,∞)類型和其他類型的無(wú)窮大(7)無(wú)窮小4、函數(shù)極限的定理，(1)函數(shù)極限的性質(zhì)(2)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系(3)函數(shù)極限存在判別法(4)例(5)無(wú)窮小和無(wú)窮大的比較

第三章連續(xù)函數(shù)㈠

基本要求

深刻理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)（含單側(cè)連續(xù)）的定義，并能熟練寫(xiě)出函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的各種等價(jià)敘述；從分析導(dǎo)致函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)的所有可能的因素出發(fā)，理解函數(shù)在一點(diǎn)間斷以及函數(shù)間斷點(diǎn)的概念，從反面加深對(duì)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)這一概念的理解，并能熟練準(zhǔn)確地識(shí)別不同類別的間斷點(diǎn)；明確函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)是函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念為基礎(chǔ)的，使學(xué)生清楚區(qū)分函數(shù)連續(xù)與連續(xù)函數(shù)的不同內(nèi)涵；掌握連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)，連續(xù)函數(shù)的有理運(yùn)算性質(zhì)并能加以證明，熟悉復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性和反函數(shù)的連續(xù)性；深刻理解初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上都是連續(xù)的，并能運(yùn)用連續(xù)性的概念以及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)加以證明，能熟練運(yùn)用這一結(jié)論求初等函數(shù)的極限；掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)，理解其幾何意義，并能在各種有關(guān)的具體問(wèn)題中加以運(yùn)用。㈡

教學(xué)重點(diǎn)

連續(xù)性的概念和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。㈢

教學(xué)難點(diǎn)

一致連續(xù)性概念。㈣

教學(xué)內(nèi)容1、連續(xù)函數(shù)(1)連續(xù)函數(shù)的概念(2)間斷點(diǎn)及其分類2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及其性質(zhì)(2)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(3)反函數(shù)的連續(xù)性(4)初等函數(shù)的連續(xù)性

第四章實(shí)數(shù)的連續(xù)性㈠

基本要求

深刻理解刻劃實(shí)數(shù)完備性的確界定理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、致密性定理、有界覆蓋定理、Cauchy收斂原理等幾個(gè)等價(jià)命題，并且會(huì)用確界定理證明一些問(wèn)題；會(huì)用“閉區(qū)間套定理”的二分法證明；“致密性定理”的抽子列法證明，并能證明其它的一些定理；會(huì)用單調(diào)有界定理與數(shù)列極限的Cauchy收斂原理來(lái)證明一些極限存在與不存在；掌握運(yùn)用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，理解其證明的思想方法。㈡

教學(xué)重點(diǎn)

上、下確界的定義，實(shí)數(shù)連續(xù)性的基本定理及其證明，一致連續(xù)的概念。㈢

教學(xué)難點(diǎn)

閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明。㈣

教學(xué)內(nèi)容1、實(shí)數(shù)連續(xù)性定理(1)閉區(qū)間套定理(2)確界定理(3)有限覆蓋定理(4)聚點(diǎn)定理(5)致密性定理(6)柯西收斂準(zhǔn)則2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明(1)性質(zhì)的證明(2)一致連續(xù)性

第五章導(dǎo)數(shù)與微分㈠

基本要求

了解導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ)，并由此掌握用導(dǎo)數(shù)解決具體問(wèn)題的思想方法；掌握求導(dǎo)的基本方法，熟記基本公式，熟練地解決一般的求導(dǎo)問(wèn)題；了解連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性之間的關(guān)系；理解微分的意義。㈡

教學(xué)重點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)與微分的定義，運(yùn)算及應(yīng)用，高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。㈢

教學(xué)難點(diǎn)

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。㈣

教學(xué)內(nèi)容1、導(dǎo)數(shù)，(1)實(shí)例(2)導(dǎo)數(shù)概念2、求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式(1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算(2)反函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(4)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3、隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)法則(1)隱函數(shù)求導(dǎo)法則(2)參數(shù)方程求導(dǎo)法則4、微分(1)微分的概念(2)微分的運(yùn)算法則和公式(3)微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用5、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分(1)高階導(dǎo)數(shù)(2)萊布尼茨公式(3)高階微分

第六章微分學(xué)的基本定理及其應(yīng)用㈠

基本要求

深刻理解并掌握中值定理的幾何意義；能靈活運(yùn)用洛必達(dá)法則處理不定式極限；掌握常用的一些Taylor公式；掌握Taylor公式中的拉格朗日余項(xiàng)和皮亞諾余項(xiàng)；掌握用微分學(xué)知識(shí)解決應(yīng)用問(wèn)題的基本能力，如函數(shù)單調(diào)性的判定，不等式的證明，函數(shù)的凸性等；掌握利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)討論函數(shù)性質(zhì)的方法，會(huì)畫(huà)函數(shù)草圖。㈡

教學(xué)重點(diǎn)

微分中值定理，洛必達(dá)法則，泰勒公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，作出函數(shù)圖象。㈢

教學(xué)難點(diǎn)

微分中值定理的運(yùn)用㈣

教學(xué)內(nèi)容1、中值定理(1)羅爾定理(2)拉格朗日定理(3)柯西定理2、洛必達(dá)法則(1)0/0型(2)∞/∞型(3)其它待定型3、泰勒公式(1)泰勒公式(2)常用的幾個(gè)展開(kāi)式4、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)上的應(yīng)用(1)函數(shù)的單調(diào)性(2)函數(shù)的極值與最值(3)函數(shù)的凸凹性(4)曲線的漸近線(5)描繪函數(shù)圖象

第七章不定積分㈠

基本要求

掌握原函數(shù)與不定積分的概念；熟練掌握并能靈活應(yīng)用基本積分公式；熟練掌握湊微分法；掌握分部積分公式；掌握部分分式法解有理函數(shù)的不定積分的方法；能靈活地處理三角函數(shù)的不定積分。㈡

教學(xué)重點(diǎn)

不定積分的定義及性質(zhì)，不定積分的計(jì)算。㈢

教學(xué)難點(diǎn)

不定積分的計(jì)算。㈣

教學(xué)內(nèi)容1、不定積分(1)原函數(shù)(2)不定積分2、分部積分法與換元積分法(1)分部積分法(2)換元積分法3、有理函數(shù)的不定積分(1)代數(shù)的預(yù)備知識(shí)(2)有理函數(shù)的不定積分4、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)與三角的函數(shù)的不定積分(1)簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分(2)三角函數(shù)的不定積分

第八章定積分㈠

基本要求

理解定積分的定義及其幾何意義和物理意義；了解小和、大和的性質(zhì)；掌握可積的充要條件，并能用以證明三類函數(shù)的可積性；掌握定積分的性質(zhì)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理論證和計(jì)算；掌握積分上限函數(shù)的性質(zhì)，并能在解題中應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)；掌握牛頓－萊布尼茲公式，能熟練地進(jìn)行積分計(jì)算；能綜合運(yùn)用換元法、分部積分法和定積分的性質(zhì)進(jìn)行定積分的計(jì)算；掌握用定積分計(jì)算面積、弧長(zhǎng)，能算出截面面積的立體體積、旋轉(zhuǎn)體體積和側(cè)面積等應(yīng)用；了解定積分的近似計(jì)算。㈡

教學(xué)重點(diǎn)

定積分的定義，存在條件及性質(zhì)，定積分的計(jì)算及應(yīng)用。㈢

教學(xué)難點(diǎn)

“微元法”的基本思想。㈣

教學(xué)內(nèi)容1、定積分的概念(1)實(shí)例(2)定積分的概念2、可積準(zhǔn)則(1)小和與大和(2)可積準(zhǔn)則(3)三類可積函數(shù)3、定積分的性質(zhì)(1)定積分的性質(zhì)(2)定積分中值定理4、定積分的計(jì)算(1)按照定義計(jì)算定積分(2)積分上限函數(shù)(3)定積分的基本公式(4)定積分的分部積分法(5)定積分的換元積分法5、定積分的應(yīng)用(1)微元法(2)平面區(qū)域的面積(3)平面曲線的弧長(zhǎng)(4)應(yīng)用截面面積求體積(5)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(6)變力作功6、定積分的近似計(jì)算(1)梯形法(2)拋物線法

第九章級(jí)數(shù)㈠

基本要求

理解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和數(shù)列極限的關(guān)系；牢固掌握Cauchy收斂原理，能用Cauchy原理證明級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散，熟練掌握級(jí)數(shù)的必要條件；熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的比較原則，Cauchy判別法，達(dá)朗貝爾判別法，Cauchy積分判別法；正確掌握Leibniz判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法，判斷級(jí)數(shù)的條件收斂；正確理解級(jí)數(shù)收斂、絕對(duì)收斂、條件收斂之間的關(guān)系，了解絕對(duì)收斂和條件收斂級(jí)數(shù)的主要性質(zhì)；能用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)列收斂域；透徹理解一致收斂概念，能從定義出發(fā)證明函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂和非一致收斂；掌握Cauchy收斂原理，并能應(yīng)用于判別一致收斂與非一致收斂；掌握各種判別法，研究函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性；熟練掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑或方法，確定收斂區(qū)間端點(diǎn)的斂散性；掌握冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的內(nèi)閉一致收斂性，冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)；用等比數(shù)列求和公式，或通過(guò)利用冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求積的性質(zhì)，可化為等比數(shù)列求和求出某些冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的初等形式；了解三角級(jí)數(shù)的正交性，并能在某些積分計(jì)算中加以應(yīng)用；會(huì)計(jì)算可積函數(shù)的Fourier系數(shù)；掌握奇、偶函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)的特點(diǎn)，會(huì)將定義在某區(qū)間上的函數(shù)按要求展成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)；能利用Fourier展開(kāi)求一些簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)的和。㈡

教學(xué)重點(diǎn)

收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，同號(hào)級(jí)數(shù)、變號(hào)級(jí)數(shù)收斂性判別法，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、一致收斂、一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)的概念，收斂半徑，和函數(shù)的分析性質(zhì)，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，傅里葉級(jí)數(shù)的概念收斂定理，函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。㈢

教學(xué)難點(diǎn)

級(jí)數(shù)收斂性概念；冪級(jí)數(shù)的一致收斂性；Fourier級(jí)數(shù)的收斂性判別。㈣

教學(xué)內(nèi)容1、數(shù)值級(jí)數(shù)(1)收斂與發(fā)散的概念(2)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)(3)同號(hào)級(jí)數(shù)(4)變號(hào)級(jí)數(shù)(5)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)2、函數(shù)級(jí)數(shù)(1)函數(shù)級(jí)數(shù)的收斂域(2)一致收斂的概念(3)一致收斂判別法(4)函數(shù)列的一致收斂(5)和函數(shù)的分析性質(zhì)3、冪級(jí)數(shù)(1)冪級(jí)數(shù)的收斂域(2)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)(3)泰勒級(jí)數(shù)(4)基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)(5)冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用4、傅里葉級(jí)數(shù)(1)傅里葉級(jí)數(shù)(2)兩個(gè)引理(3)收斂定理(4)奇偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)(5)以2l為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

第十章

多元函數(shù)微分學(xué)㈠

基本要求

掌握平面點(diǎn)集、鄰域、中心鄰域的表示法；會(huì)判別一般平面點(diǎn)集是開(kāi)集還是閉集，有界還是無(wú)界，是否是區(qū)域、開(kāi)區(qū)域、閉區(qū)域，會(huì)寫(xiě)出其邊界；了解平面點(diǎn)集的矩形套定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理，理解它們與直線上有關(guān)定理相互關(guān)系，掌握有關(guān)的不太復(fù)雜的命題的證明的思想方法；掌握平面點(diǎn)列收斂的ε-N定義及柯西收斂原理；深刻理解二元函數(shù)的概念及幾何意義，并能推廣到多元函數(shù)；會(huì)確定一般二元函數(shù)的定義域及連續(xù)范圍；深刻理解二元函數(shù)極限ε-N定義，會(huì)依定義證明不太復(fù)雜的二重極限；掌握反映二元函數(shù)極限與平面點(diǎn)列極限之間關(guān)系的歸結(jié)原則，會(huì)通過(guò)取特殊路徑證明極限不存在；掌握累次極限概念；對(duì)偏導(dǎo)數(shù)及全微分有基本的認(rèn)識(shí)，掌握求簡(jiǎn)單函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的基本技巧；掌握二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在性、可微性，以及偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性之間的關(guān)系；掌握二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)的條件；了解隱函數(shù)存在定理，掌握隱函數(shù)求導(dǎo)方法；理解并會(huì)應(yīng)用Lagrange乘數(shù)法；理解并會(huì)使用最小二乘法。㈡

教學(xué)重點(diǎn)

多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的極限和連續(xù)概念與性質(zhì)，偏導(dǎo)數(shù)、全微分，復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，微分運(yùn)算法則，極值的概念與計(jì)算。㈢

教學(xué)難點(diǎn)

二元函數(shù)連續(xù)性的定義、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒?。?/p>

教學(xué)內(nèi)容1、多元函數(shù)(1)平面點(diǎn)集(2)坐標(biāo)平面的連續(xù)性(3)多元函數(shù)的概念

2、二元函數(shù)的極限與連續(xù)(1)二元函數(shù)的極限(2)二元函數(shù)的連續(xù)性3、多元函數(shù)微分法(1)偏導(dǎo)數(shù)(2)全微分(3)可微的幾何意義(4)復(fù)合函數(shù)微分法

(5)方向?qū)?shù)4、二元函數(shù)的泰勒公式(1)高階偏導(dǎo)數(shù)(2)二元函數(shù)的泰勒公式(3)二元函數(shù)的極值

第十一章隱函數(shù)㈠

基本要求

理解隱函數(shù)定理的有關(guān)概念，及隱函數(shù)存在的條件，進(jìn)而會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

了解隱函數(shù)組的有關(guān)概念，理解二元隱函數(shù)組存在的條件，了解反函數(shù)組存在的條件；會(huì)把實(shí)際問(wèn)題抽象為條件極值并予以解決，掌握隱函數(shù)的微分法在幾何方面的應(yīng)用。㈡

教學(xué)重點(diǎn)

隱函數(shù)存在定理，函數(shù)行列式的性質(zhì)，條件極值的概念與計(jì)算，曲線的切線與法平面和曲面的切平面與法線方程。㈢

教學(xué)難點(diǎn)

隱函數(shù)存在定理、條件極值。㈣

教學(xué)內(nèi)容1、隱函數(shù)存在定理(1)隱函數(shù)的概念(2)一個(gè)方程確定的隱函數(shù)(3)方程組確定的隱函數(shù)2、函數(shù)行列式(1)函數(shù)行列式(2)函數(shù)行列式的性質(zhì)(3)函數(shù)行列式的幾何性質(zhì)3、條件極值(1)條件極值與拉格朗日乘數(shù)法(2)例4、隱函數(shù)存在定理在幾何方面的應(yīng)用(1)空間曲線的切線與法平面(2)曲面的切平面與法線

第十二章

反常積分與含參變量的積分㈠

基本要求

正確理解兩種類型廣義積分的定義、性質(zhì)；會(huì)用定義與性質(zhì)計(jì)算兩種廣義積分值；掌握兩種廣義積分收斂的判斷法；掌握兩類積分絕對(duì)收斂和條件收斂概念，能判別不太復(fù)雜的廣義積分的絕對(duì)收斂和條件收斂；深刻理解含能變量常見(jiàn)積分作為參量的函數(shù)，掌握它的連續(xù)性、可微性和可積性的條件，并能應(yīng)用這些條件討論一些含參量常見(jiàn)積分的有關(guān)性質(zhì)；深刻理解含參量廣義積分及一致收斂概念，會(huì)從定義或Cauchy收斂原理出發(fā)證明積分的一致收斂性或非一致收斂性；熟練掌握和利用M－判別法、Dirichlet判別法、Abel判別法，判別一些常見(jiàn)積分的一致收斂性；掌握含參量廣義積分的分析性質(zhì)：連續(xù)性、可微性、可積性；了解Γ函數(shù)和Β函數(shù)。㈡

教學(xué)重點(diǎn)

無(wú)窮積分收斂與發(fā)散的概念及斂散性判別法，瑕積分收斂與發(fā)散的概念及斂散性判別法，含參變量的有限積分的概念與分析性質(zhì)，含參變量的無(wú)窮積分的概念，一致收斂的定義與判別法，含參變量無(wú)窮積分的分析性質(zhì)，Γ函數(shù)和Β函數(shù)。㈢

教學(xué)難點(diǎn)

兩種廣義積分的收斂性概念、含參量常義積分概念及一致收斂概念。㈣

教學(xué)內(nèi)容1、無(wú)窮積分(1)無(wú)窮積分收斂與發(fā)散的概念(2)無(wú)窮積分與級(jí)數(shù)(3)無(wú)窮積分的性質(zhì)(4)無(wú)窮積分的斂散性判別法2、瑕積分(1)瑕積分收斂與發(fā)散的概念(2)瑕積分的斂散性判別法3、含參變量的積分(1)含參變量的有限積分(2)含參變量的無(wú)窮積分(3)Γ函數(shù)和Β函數(shù)

第十三章

重積分㈠

基本要求

熟練掌握將重積分化為累次積分的計(jì)算方法，并會(huì)交換積分順序；熟練掌握二重積分的極坐標(biāo)變換，三重積分的柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、廣義球坐標(biāo)變換，掌握一些簡(jiǎn)單的一般變換，以達(dá)到簡(jiǎn)化重積分計(jì)算的目的；能用重積分計(jì)算平面圖形的面積，空間立體的體積、物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。㈡

教學(xué)重點(diǎn)

重積分的概念與性質(zhì)，二重積分、三重積分的計(jì)算及柱面坐標(biāo)與球面坐標(biāo)。㈢

教學(xué)難點(diǎn)

二重積分、三重積分的計(jì)算。㈣

教學(xué)內(nèi)容1、二重積分(1)曲頂柱體的體積(2)二重積分的概念(3)二重積分的性質(zhì)(4)二重積分的計(jì)算(5)二重積分的換元(6)曲面的面積

2、三重積分(1)三重積分的概念(2)三重積分的計(jì)算(3)三重積分的換元(4)簡(jiǎn)單應(yīng)用

第十四章

曲線積分與曲面積分㈠

基本要求

理解建立曲線積分的幾何模型及物理模型，從而加深對(duì)積分思想方法的理解；掌握曲線積分的基本性質(zhì)并能證明一些簡(jiǎn)單的命題；理解各類曲面積分的概念、背景；理解兩類曲面積分之間性質(zhì)上的異同；會(huì)選擇和建立積分曲面的適當(dāng)?shù)膮?shù)方程，正確地使用相應(yīng)的計(jì)算公式，以計(jì)算兩類曲面積分；了解場(chǎng)論初步知識(shí)。㈡

教學(xué)重點(diǎn)

第一型曲線積分與曲面積分的定義及計(jì)算，第二型曲線積分與曲面積分的定義及計(jì)算，格林公式，曲線積分與路線無(wú)關(guān)的條件，奧高公式，斯托克斯公式。㈢

教學(xué)難點(diǎn)

曲線積分和曲面積分思想的建立，兩類積分的公式計(jì)算。㈣

教學(xué)內(nèi)容1、曲線積分(1)第一型曲線積分(2)第二型曲線積分(3)第一型曲線積分與第二型曲線積分的關(guān)系(4)格林公式(5)曲線積分與路線無(wú)關(guān)的條件2、曲面積分(1)第一型曲面積分(2)第二型曲面積分(3)奧高公式(4)斯托克斯公式，3、場(chǎng)論初步(1)梯度(2)散度(3)旋度(4)微分算子

三、課程學(xué)時(shí)分配：教學(xué)單元內(nèi)容總學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)安排講授實(shí)驗(yàn)上機(jī)課程設(shè)計(jì)其它1函數(shù)42

22極限2016

43連續(xù)函數(shù)64

24實(shí)數(shù)的連續(xù)性1210

25導(dǎo)數(shù)與微分1814

46微分學(xué)基本定理及其應(yīng)用2214

8

學(xué)期總復(fù)習(xí)2

27不定積分108

28定積分3022

89級(jí)數(shù)6050

10

學(xué)期總復(fù)習(xí)2

210多元函數(shù)微分學(xué)3830

811隱函數(shù)1412

212反常積分與含參變量的積分1612

413重積分128

414曲線積分與曲面積分2016

4

學(xué)期總復(fù)習(xí)2

2

四、本課程與其它課程的聯(lián)系前期課程：中學(xué)數(shù)學(xué)后期課程：復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、常微方程、泛函分析、微分幾何、概率論、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)值分析等。五、本課程的特點(diǎn)及教法、學(xué)法建議本課程的特點(diǎn)：數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成，后繼課程的學(xué)習(xí)都有著重要的意義。本課程的特點(diǎn)是：學(xué)習(xí)時(shí)間的跨度很大，一般是三個(gè)學(xué)期，內(nèi)容極為豐富。

教法建議：教師備課不應(yīng)拘泥一本教材，尤其不能拘泥于經(jīng)典分析教材，要注意介紹現(xiàn)代分析的重要成果，注意與現(xiàn)代分析課程教學(xué)的銜接。在不影響基本要求的前提下，對(duì)大綱所列順序可做適當(dāng)調(diào)整。為避免教學(xué)上難點(diǎn)過(guò)于集中，有些定理可先提出并應(yīng)用，證明推遲進(jìn)行。配合一定數(shù)量沒(méi)有現(xiàn)成習(xí)題解答的課后練習(xí)，真正做到精講多練，注意培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、思考、逆向、歸納、演繹、創(chuàng)新的學(xué)習(xí)理念，具有扎實(shí)的計(jì)算技能和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰ΑW(xué)法建議：學(xué)生在學(xué)習(xí)本課程應(yīng)注重理解，多思考，多訓(xùn)練