2-4-2-圓的一般方程(導學案)-(原卷版)

班級：姓名：日期：2.4.2圓的一般方程導學案地位：本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學選擇性必修第一冊》人教A版（2019）第二章直線和圓的方程2.4圓的方程學習目標：1.理解圓的一般方程及其特點，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).2.掌握圓的一般方程和標準方程的互化，培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).3.會求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程問題，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).學習重難點：重點：掌握圓的一般方程并會求圓的一般方程難點：與圓有關的簡單的軌跡方程問題自主預習：本節(jié)所處教材的第頁.復習——圓的定義：②圓的標準方程：3.預習——圓的一般方程：軌跡方程的求法：新課導學學習探究（一）新知導入《古朗月行》唐·李白小時不識月，呼作白玉盤。又疑瑤臺鏡，飛在青云端。月亮,是中國人心目中的宇宙精靈,古代人們在生活中崇拜、敬畏月亮,在文學作品中也大量描寫、如果把天空看作一個平面,月亮當做一個圓，建立一個平面直角坐標系,那么圓的坐標方程如何表示?（二）圓的一般方程【思考1】圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)展開可得到一個什么式子？【思考2】把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，將得到怎樣的方程？這個方程是不是就一定表示圓？◆圓的一般方程當D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程，其中圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).【做一做1】(教材P88練習2改編)若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圓，則k的取值范圍是()A．k>1 B．k<1C．k≥1 D．k≤1【做一做2】(教材P88練習1改編)已知圓x2＋y2－4x＋2y－4＝0，則圓心坐標、半徑的長分別是()A．(2，－1)，3 B．(－2,1)，3C．(－2，－1)，3 D．(2，－1)，9（三）典型例題1.圓的一般方程的識別例1.判斷下列方程是否表示圓，若是，寫出圓心和半徑．(1)3x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋xy＋1＝0；(3)x2＋y2＋x＋2y＋1＝0；(4)x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.【類題通法】二元二次方程表示圓的判斷方法任何一個圓的方程都可化為x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圓.判斷它是否表示圓可以有以下兩種方法:(1)計算D2+E2-4F,若其值為正,則表示圓;若其值為0,則表示一個點;若其值為負,則不表示任何圖形.(2)將該方程配方為(x+D2)2+(y+E2)2=D2【鞏固練習1】已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一個圓．(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)求該圓半徑的取值范圍．2.圓的方程的求法例2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圓的方程．【變式探究】若本例改為：已知圓過A(2,2)，C(3，－1)，且圓關于直線y＝x對稱，求圓的一般方程．【類題通法】用待定系數(shù)法求圓的方程時一般方程和標準方程的選擇(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件和圓心或半徑都無直接關系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出參數(shù)D，E，F(xiàn).【鞏固練習2】已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑為eq\r(2)，求圓的一般方程．3.求軌跡方程例3.已知直角△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角頂點C的軌跡方程；(2)直角邊BC中點M的軌跡方程．【類題通法】求動點的軌跡方程的常用方法1.直接法:能直接根據(jù)題目提供的條件列出方程;2.代入法:找到所求動點與已知動點的關系,代入已知動點所在的方程.【鞏固練習3】已知動點M到點A(2,0)的距離是它到點B(8,0)的距離的一半．(1)求動點M的軌跡方程；(2)若N為線段AM的中點，試求點N的軌跡．（四）操作演練素養(yǎng)提升1.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圓，則實數(shù)m的取值范圍是()A．m<eq\f(1,2) B．m<0C．m>eq\f(1,2) D．m≤eq\f(1,2)2.若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為()A．－1 B．1C．3 D．－33.當點P在圓x2＋y2＝1上移動時，它與定點Q(3,0)的連線PQ的中點的軌跡方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝14.已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于()A．π B．4πC．8π D．9π課堂小結(jié)通過這節(jié)課，你學到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？學習評價【自我評價】你完成本節(jié)導學案的情況為（）A.很好B.較好C.一般D.較差【導學案評價】本節(jié)導學案難度如何（）A.很好B.較好C.一般D.較差【建議】你對本節(jié)導學案的建議：