《畫法幾何與機(jī)械制圖》課件第02章

第2章點(diǎn)、直線、平面的投影2.1投影法基礎(chǔ)2.2點(diǎn)的投影2.3直線的投影2.4平面的投影2.5直線與平面、平面與平面之間的相對(duì)位置

2.1投?影?法?基?礎(chǔ)

2.1.1中心投影法

中心投影法是由投射中心(△ABC)、物體和投影面組成的投影方法，如圖2-1所示。圖2-1中心投影法2.1.2平行投影法

若將投射中心S按指定的方向移到無窮遠(yuǎn)處，則所有的投射線可看做是互相平行的，這種投射線互相平行的投影法稱為平行投影法(如圖2-2所示)。(a)斜投影法(b)正投影法

圖2-2平行投影法

2.2點(diǎn)的投影

2.2.1投影面體系

如圖2-3所示，作空間點(diǎn)A的正投影，只要作過A點(diǎn)到投影面P的垂線，得到垂足a即為點(diǎn)A在投影面P上的正投影。圖2-3點(diǎn)的一個(gè)投影不能唯一確定空間點(diǎn)的位置由兩個(gè)互相垂直的投影面構(gòu)成的兩投影面體系，可以反映空間點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)，即可用兩投影面體系來確定空間立體的位置。(a)四個(gè)分角的劃分(b)第一分角圖2-4兩投影面體系雖然在兩投影面體系中已經(jīng)能夠確定空間點(diǎn)的位置，但是對(duì)于立體來說，為了更清晰地表達(dá)其形狀結(jié)構(gòu)，也常將立體放置在三個(gè)互相垂直的投影面體系中，畫出立體的三面投影。這個(gè)三投影面體系將空間劃分為八個(gè)分角，如圖2-5(a)所示。圖2-5(b)是三投影面體系中的第一分角。(a)八個(gè)分角的劃分(b)第一分角圖2-5三投影面體系2.2.2點(diǎn)在兩投影面體系中的投影

如圖2-6(a)所示，將點(diǎn)A置于兩投影面體系第一分角中，過點(diǎn)A分別向V面和H面作垂線(投射線)，得垂足a'?和a。a'?為點(diǎn)A的正面投影；a為點(diǎn)A的水平投影(在投影法中規(guī)定：用大寫字母表示空間的點(diǎn)，用對(duì)應(yīng)的小寫字母加一撇和小寫字母表示該點(diǎn)的正面投影和水平投影)。實(shí)際作圖時(shí)需要將互相垂直的V面和H面展開，方法是：V面保持不動(dòng)，將H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，使H面與V面共面，如圖2-6(b)所示。點(diǎn)的投影只取決于點(diǎn)在投影面中的位置，與投影面的大小無關(guān)。在實(shí)際作圖時(shí)，可只畫出投影軸，不畫投影面邊框，也不必標(biāo)出aX，點(diǎn)A的兩面投影圖如圖2-6(c)所示。(a)立體圖(b)投影面展開圖(c)投影圖

圖2-6點(diǎn)的兩面投影2.2.3點(diǎn)在三投影面體系中的投影

圖2-7(a)表示空間點(diǎn)A在三投影面體系第一分角中的情況。如果將三個(gè)投影面看做空間直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)面，則三條互相垂直的投影軸即為直角坐標(biāo)系中的三根坐

標(biāo)軸。

(a)立體圖(b)投影面展開圖(c)投影圖

圖2-7點(diǎn)的三面投影

1．點(diǎn)的投影與坐標(biāo)的關(guān)系

2.點(diǎn)的投影規(guī)律

【例2-1】如圖2-8所示，已知點(diǎn)A的兩面投影a'?和a"，求a。(a)已知條件(b)作圖結(jié)果圖2-8由點(diǎn)的兩面投影求第三投影

【解】分析：由點(diǎn)的投影規(guī)律(1)可知，a應(yīng)位于過a‘?的垂線上；由點(diǎn)的投影規(guī)律(3)及其推論可知，點(diǎn)a應(yīng)位于過a“?的垂線與斜線的交點(diǎn)所作的水平線上，這條水平線與過a’的垂線的交點(diǎn)即為所求a。

作圖步驟如下：

(1)過a‘?作垂線。

(2)作過a”?的垂線與斜線的交點(diǎn)，并過交點(diǎn)作水平線。

(3)過a'?的垂線與水平線的交點(diǎn)為所求a。

【例2-2】如圖2-9所示，已知點(diǎn)A距離H、V、W面分別為13、12、10，畫出其三面投影。圖2-9已知點(diǎn)到投影面的距離求點(diǎn)的投影

【解】該題可以根據(jù)所給的A點(diǎn)到三個(gè)投影面的距離直接作圖，也可將A點(diǎn)到三個(gè)投影面的距離轉(zhuǎn)換為A點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)A(10，12，13)來求解。具體作圖步驟如下：

(1)在OX、OY、OZ軸上分別量取X=?10、Y=?12、Z=?13。

(2)過量取的各點(diǎn)作相應(yīng)軸線的垂線。

(3)各垂線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)A的三面投影a、a'?和a"。2.2.4投影面和投影軸上的點(diǎn)

空間點(diǎn)相對(duì)于投影面體系的特殊位置，是位于投影面和投影軸上。如圖2-10所示，點(diǎn)B在V面上，點(diǎn)C在H面上，點(diǎn)D在OX軸上。(a)立體圖(b)投影圖圖2-10投影面和投影軸上的點(diǎn)2.2.5兩點(diǎn)的相對(duì)位置

我們作如下約定：OX軸為左右方向，OY軸為前后方向，OZ軸為上下方向。如圖2-11(a)所示，相對(duì)于A點(diǎn)而言，B點(diǎn)在A點(diǎn)之右、之后、之下。它們之間在三個(gè)方向的相對(duì)位置應(yīng)為它們的坐標(biāo)差：左右方向?yàn)閄A－XB；前后方向?yàn)閅A－YB；上下方向?yàn)閆A－ZB，即A、B兩點(diǎn)與W面、V

面和H面的距離差，這樣就確定了兩點(diǎn)的相對(duì)位置，如圖2-11(b)所示。因此，若已知兩點(diǎn)的相對(duì)位置及其中一點(diǎn)的投影即可作出另一點(diǎn)的投影。圖2-11兩點(diǎn)的相對(duì)位置

【例2-3】如圖2-12(a)所示，已知點(diǎn)A的三面投影a、a‘、a“，B點(diǎn)在A之左10mm、之前5mm、之上8mm；作

出B點(diǎn)的三面投影。

【解】具體作圖步驟如下：

(1)如圖2-12(b)所示，可以根據(jù)B點(diǎn)在A點(diǎn)之左10mm、之上8mm，作出B點(diǎn)的正面投影b’；再根據(jù)B點(diǎn)在A點(diǎn)之前5mm作出B點(diǎn)的水平投影b。

(2)如圖2-12(c)所示，據(jù)b‘?和b，作出B點(diǎn)的側(cè)面投

影b"。(a)已知條件(b)作出b'?和b(c)作出b"，完成作圖圖2-12利用兩點(diǎn)的相對(duì)位置求點(diǎn)的投影2.2.6重影點(diǎn)

如圖2-13(a)所示，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正后方Y(jié)A－YC處，點(diǎn)

C與點(diǎn)A無左右距離差(XA－XC=0)，也無上下距離差(ZA-ZC

=0)，因此A與C的正面投影重合為一點(diǎn)，我們稱A點(diǎn)與C點(diǎn)為對(duì)正面投影(或?qū)φ?的重影點(diǎn)。同理，若兩點(diǎn)處在正上、正下的位置，這時(shí)兩點(diǎn)在H面的投影重合，稱這兩點(diǎn)為對(duì)水平面的重影點(diǎn)；若兩點(diǎn)處在正左、正右的位置，這時(shí)兩點(diǎn)在W面的投影重合，稱這兩點(diǎn)為對(duì)側(cè)面的重影點(diǎn)。

(a)立體圖(b)投影圖圖2-13重影點(diǎn)

【例2-4】如圖2-14(a)所示，(1)已知點(diǎn)A與點(diǎn)B為對(duì)H面的重影點(diǎn)，B距A為5mm，求b‘、b“；(2)已知點(diǎn)C與點(diǎn)A為對(duì)W面的重影點(diǎn)，C在A之左10mm，求C的三面投影c、c’、c”。

【解】(1)求b'、b"。因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)B為對(duì)H面的重影點(diǎn)，從圖2-14(a)的水平投影b(a)可知，只有B點(diǎn)在A點(diǎn)的正上方時(shí)，才產(chǎn)生B點(diǎn)的水平投影b遮住A點(diǎn)的水平投影a的情況，根據(jù)已知條件“B距A為5mm”可知，B點(diǎn)應(yīng)該在A點(diǎn)的正上方5mm，由此可作出b點(diǎn)的正面投影b'；再根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律，作出B點(diǎn)的側(cè)面投影b"(圖2-14(b))，完成作圖。(a)已知條件(b)求b'、b"(c)求c'、c"及作圖結(jié)果

圖2-14利用重影點(diǎn)求點(diǎn)的投影

(2)求c、c'、c"。如圖2-14(c)所示，因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)A為對(duì)W面的重影點(diǎn)、C在A之左，所以側(cè)面投影中，C、A兩點(diǎn)重影，且據(jù)“左遮右”，側(cè)面投影中，c"?可見，a"?不可見，從而可確定c"；根據(jù)“C在A之左10mm”，在正面投影中a'?正左方10mm處得到c'；再根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律，可作出C點(diǎn)的水平投影c，完成作圖。

2.3直

線

的

投

影

2.3.1直線的分類和投影特性

1．直線對(duì)單一投影面的投影特性

直線相對(duì)于單一投影面(以H面為例)有三種位置：

(1)直線平行于投影面：

(2)直線垂直于投影面：

(3)直線傾斜于投影面：(a)平行(b)垂直(c)傾斜圖2-15直線對(duì)單一投影面的三種位置及投影特性

2．直線在三投影面體系中的分類及投影特性

1)投影面垂直線

投影面垂直線指垂直于一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面平行的直線。按照直線垂直于哪一個(gè)投影面，可將投影面垂直線分為

當(dāng)直線垂直于投影面時(shí)，傾角為90°；當(dāng)直線平行于投影面時(shí)，傾角為0°。

表2-1給出了投影面垂直線的投影特性。

2)投影面平行線

投影面平行線指平行于一個(gè)投影面，傾斜于另外兩個(gè)投影面的直線。按照直線平行于哪一個(gè)投影面，可將投影面平行線分為

表2-2給出了投影面平行線的投影特性。

3)一般位置直線

一般位置直線∠H面、∠V面、∠W面，投影圖上不能反映該直線的實(shí)長及對(duì)投影面H、V、W的傾角

、

、

的真實(shí)大小(見圖2-16(a))。

一般位置直線的投影特性如圖2-16(b)所示。(a)立體圖(b)投影圖

圖2-16一般位置直線2.3.2直角三角形法

如圖2-17(a)所示，AB為一般位置直線，ab為水平投影，a‘b’?為正面投影。在平面AabB中，作AB0∥ab，構(gòu)成直角三角形ABB0。在直角三角形ABB0中，直角邊AB0=ab，BB0=Bb－Aa=ZB－ZA(B、A兩點(diǎn)的Z坐標(biāo)差)；斜邊AB即為

實(shí)長。實(shí)長AB與水平投影ab的夾角為AB與H面的傾角

。如圖2-17(b)所示，已知直線AB的水平投影ab和正面投影a‘b’，可在H面上利用水平投影ab作出直角三角形，求出實(shí)長AB和

；也可如圖2-17(c)所示，在正面投影中利用兩點(diǎn)的Z坐標(biāo)差ZB－ZA，作出直角三角形，求得實(shí)長AB和

。(a)立體圖(b)解法一(c)解法二圖2-17直角三角形法求線段實(shí)長同理，我們也可以正面投影長a'b'?或側(cè)面投影長a"b"?為一直角邊，以Y坐標(biāo)差或X坐標(biāo)差為另一直角邊構(gòu)成直角三角形，求得實(shí)長AB和傾角?

或?

。在圖2-18所示的每個(gè)直角三角形中，包含著四個(gè)要素：投影長、坐標(biāo)差、實(shí)長和傾角。只要知道其中兩個(gè)要素，即可求出另兩個(gè)要素。圖中

X、

Y、

Z分別表示兩點(diǎn)在X軸、Y軸和Z軸的坐標(biāo)差。(a)求實(shí)長和

(b)求實(shí)長和

(c)求實(shí)長和

圖2-18直角三角形法中四個(gè)要素關(guān)系圖

【例2-5】如圖2-19(a)所示，已知EF=30mm，且F點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，試用直角三角形法求出正面投影e‘f?’。

【解】本例是確定f?‘?的問題，只要能夠得到正面投影長e’f?‘?或Z坐標(biāo)差(

Z=Ze－Zf)，即可確定f?’。由已知

條件可知，用直角三角形法解題有三個(gè)條件：EF實(shí)長

30mm，水平投影長ef和Y坐標(biāo)差

Y=Ye－Yf，因此可以用

圖2-18(a)、(b)所示的直角三角形解題。圖2-19(b)、(c)分別給出了兩種解題方法。

解法一：如圖2-19(b)所示，在H面上以ef為底邊，根據(jù)EF=30mm，作出直角三角形，求出Z坐標(biāo)差；在正面投影中，根據(jù)ΔZ求得f?‘，連接e’f'即可。

解法二：如圖2-19(c)所示，在H面上以ΔY為直角邊，根據(jù)EF=30mm，作出直角三角形，求出e'f?'?的實(shí)長；在正面投影中，根據(jù)e'f?'?的實(shí)長求得f?'，連接e'f?'?即可。

(a)已知條件(b)解法一(c)解法二圖2-19用直角三角形法求e'f?'?2.3.3直線上點(diǎn)的投影

(1)如果點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的投影在直線的同面投影上。

在圖2-20(a)中，因?yàn)辄c(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，所以點(diǎn)D的正面投影d'必在a'b'上，點(diǎn)D的H面投影d必在ab上。同理，點(diǎn)D的側(cè)面投影d"?必在AB的側(cè)面投影a"b"

上(圖中未給出)。

(2)不垂直于投影面的直線上的點(diǎn)，分割直線之比在投影前后保持不變(定比定理)。

由圖2-20(a)可知，在平面AabB上，Aa∥Dd∥Bb，因此AD?:?DB=ad?:?db=a'd'?:?d'b'?=a"d"?:?d"b"?(在側(cè)面投影上)。圖2-20(b)為投影圖。(a)立體圖(b)投影圖圖2-20直線上的點(diǎn)

【例2-6】如圖2-21(a)所示，已知直線AB的兩面投影，試在直線上求出一點(diǎn)C，使AC?:?CB=2?:?3，C點(diǎn)用兩面投影c、c‘?表示。并知D點(diǎn)也在AB上,距離V面為7mm，求出D點(diǎn)的兩面投影d和d’。

【解】如圖2-21(b)所示，如果AC?:?CB?=?2?:?3，則ac?:?cb?=?a'c'?:?c'b'?=?2?:?3。只要將AB分成5等份，再根據(jù)比例關(guān)系即可求出C點(diǎn)的水平投影c和正面投影c'。如圖2-21(c)所示，因?yàn)镈點(diǎn)距離V面為7mm，所以d應(yīng)在OX軸下方距離為7mm的水平直線上(實(shí)為一平面)，由d求得d'。作圖求點(diǎn)C(見圖2-21(b))：

(1)由a(或b)任作一直線aB0。

(2)在aB0上以適當(dāng)長度取5等份,得等分點(diǎn)1、2、3、4、5。

(3)連b5，自2作直線平行于b5，此直線與ab的交點(diǎn)即為c點(diǎn)。

(4)由c求得c‘，c及c’?即為所求。

作圖求點(diǎn)D(見圖2-21(c))：

(1)在OX軸下方作一條相距OX軸7mm且平行于OX軸的直線，此直線與ab的交點(diǎn)即為D點(diǎn)的水平投影d。

(2)由d作OX軸的垂線，在a'b'?上得到其正面投影d'，d及d'?即為所求。(a)原題(b)求點(diǎn)C的兩面投影(c)求點(diǎn)D的兩面投影圖2-21求點(diǎn)C和點(diǎn)D的兩面投影

【例2-7】如圖2-22(a)所示，試判斷點(diǎn)K是否在直線AB上。

【解】圖中AB是一條側(cè)平線，在這種情況下，雖然K點(diǎn)的正面投影和水平投影似乎都在AB的同面投影上，但還不足以說明K一定在直線AB上(也可能是直線與線外一點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)垂直于H、V的平面)，這時(shí)可用兩種方法判斷。

解法一：根據(jù)直線上點(diǎn)的投影特性，利用第三面投影即求出側(cè)面投影來判斷。如圖2-22(b)所示，構(gòu)建三投影面體系，作出AB的側(cè)面投影a"b"；再按照點(diǎn)的投影規(guī)律，求出K點(diǎn)的側(cè)面投影k"。如果k"?在AB的側(cè)面投影a"b"?上，則K點(diǎn)在直線AB上，反之則不在。由作圖結(jié)果可知，K點(diǎn)不在直線AB上。解法二：利用定比定理來判斷(如圖2-22(c)所示)。過b(也可過a、a'?或b')作一條直線，在直線上取bA0=a'b'，bK0=b'k'；連接aA0，過K0作直線平行于aA0，如果K點(diǎn)在直線AB上，則過K0所作平行于aA0的直線與ab應(yīng)相交于k點(diǎn)，反之，則K點(diǎn)不在直線AB上。由作圖結(jié)果可知，K點(diǎn)不在直線AB上。(a)原題(b)解法一：利用第三面投影判斷(c)解法二：利用定比分點(diǎn)判斷

圖2-22判斷點(diǎn)K是否在直線AB上2.3.4兩直線的相對(duì)位置

1.平行兩直線

如圖2-23(a)所示，若空間兩直線平行，則兩直線的同面投影也分別平行，即AB∥CD，則ab∥cd、a'b'∥c'd'、a"b"∥c"d"。一般情況下，要看兩條直線是否平行，只要看它們在兩個(gè)投影面上的同面投影是否平行即可判斷，如圖2-23(b)所示。但當(dāng)兩條直線都是投影面平行線時(shí)，則要看它們的第三個(gè)同面投影是否平行(參見例2-10)。(a)空間情況(b)投影圖圖2-23平行兩直線

2.相交二直線

如圖2-24所示，若空間兩直線相交，同面投影均相交，且交點(diǎn)的投影一定符合點(diǎn)的投影規(guī)律(即交點(diǎn)的正面投影與水平投影的連線⊥OX軸；正面投影與側(cè)面投影的連線⊥OZ軸；水平投影到OX軸的距離等于側(cè)面投影到OZ軸的距離)。(a)空間情況(b)投影圖圖2-24相交兩直線

【例2-8】如圖2-25(a)所示，已知AB、CD為相交兩直線，求AB的正面投影。

【解】根據(jù)相交兩直線的投影特點(diǎn)，可求出交點(diǎn)K的正面投影k‘，a’?必在b‘k’?的延長線上，據(jù)此求出a‘，得到a’b‘。

作圖步驟如下：

(1)如圖2-25(b)所示，ab、cd的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影k，過k作OX軸的垂線，在c’d‘上得到k’。

(2)如圖2-25(c)所示，連接b'k'?并延長，過a作OX軸的垂線與b'k'?的延長線相交得到a'，連接a'b'?即為所求。(a)已知條件(b)求交點(diǎn)K的兩面投影(c)求出a'，完成作圖圖2-25求AB的正面投影

3．交叉兩直線

如圖2-26(a)所示，AB、CD為空間既不平行也不相交的兩直線，稱為交叉兩直線。

如圖2-26(b)所示，交叉兩直線的同面投影可能都相交，但各同面投影交點(diǎn)的關(guān)系不符合點(diǎn)的投影規(guī)律，均為重影點(diǎn)的投影。

有時(shí)，交叉兩直線會(huì)出現(xiàn)兩組同面投影平行，另一組相交的情況，如圖2-26(c)所示，圖中的直線AB、CD是兩條交叉的側(cè)平線，有一對(duì)重影點(diǎn)。

如圖2-26(d)所示，還會(huì)出現(xiàn)兩組同面投影相交、另一組平行，有兩對(duì)重影點(diǎn)的情況。圖2-26交叉兩直線

【例2-9】如圖2-26(d)所示，作出交叉兩直線AB、CD對(duì)水平面的重影點(diǎn)EF和對(duì)側(cè)面的重影點(diǎn)MN的三面投影，并表明重影點(diǎn)的可見性(不可見的點(diǎn)放在后面)。

【解】(1)求EF。如圖2-27(a)所示，首先在H面上確定AB、CD對(duì)水平面重影點(diǎn)的水平投影ef，然后作投射線垂直于OX軸，在AB、CD的正面投影上得到e'?和f?'；根據(jù)直線上的點(diǎn)的投影特性，分別過e'、f?'

作投射線垂直于OZ軸，即可在AB、CD的側(cè)面投影上得到e"?和f?'?(也可由ef利用45°斜線得到e"、f")。對(duì)H面的重影點(diǎn)的可見性可由V面投影的“上遮下”判斷，顯然，在V面上，a'b'?上的e'?點(diǎn)位于c'd'?上的點(diǎn)f?'

的上方，所以在水平投影中，e點(diǎn)可見寫在前面，f點(diǎn)不可見寫在后面。

(2)求MN。如圖2-27(b)所示，首先在W面確定AB、CD對(duì)側(cè)面重影點(diǎn)的側(cè)面投影m"n"，然后作投射線垂直于OZ軸，在AB、CD的正面投影上得到m'??和n'；根據(jù)直線上點(diǎn)的投影特性，分別過m'、n'

作投射線垂直于OX軸，即可在AB、CD的水平投影上得到m和n(也可由m"n"

利用45°斜線得到m、n)。對(duì)側(cè)面重影點(diǎn)的可見性可由V面投影的“左遮右”判斷，顯然，在V面上，a'b'?上的m'?點(diǎn)位于c'd'?上的點(diǎn)n'?的左方，所以在側(cè)面投影中，m"?點(diǎn)可見寫在前面，n"?點(diǎn)不可見寫在后面。圖2-27求交叉兩直線的重影點(diǎn)

【例2-10】如圖2-28(a)所示，判斷直線AB和CD的相對(duì)位置。

【解】由已知條件可知，AB、CD是兩條側(cè)平線，在V、H面的投影中，ab∥cd、a'b'∥c'd'，這種情況下不能直接得到兩直線平行的結(jié)論，需要通過分析或作圖來判斷兩直線是否平行。(a)解法一(b)解法二(c)解法三圖2-28判斷AB、CD的相對(duì)位置

【例2-11】如圖2-29(a)所示，判斷直線AB和CD的相對(duì)位置。

【解】因?yàn)锳B、CD的同面投影均不平行，所以兩條直線不平行。在兩投影面體系中，如果兩直線的同面投影相交，且交點(diǎn)的連線垂直于投影軸，一般可判斷兩直線空間位置相交，但是，當(dāng)兩直線之一為投影面平行線時(shí)，則不能斷定兩直線相交。

本例中，直線AB為側(cè)平線，因此需要進(jìn)一步作出判斷，以確定兩條直線的空間位置是相交還是交叉。

(a)直接觀察判斷(b)用定比定理判斷(c)用第三投影判斷圖2-29判斷直線AB、CD的相對(duì)位置

【例2-12】如圖2-30(a)所示，已知直線AB、CD、EF，作水平線MN，且MN與直線AB、CD、EF分別交于點(diǎn)M、S、T，并知N點(diǎn)在H面之上8mm處。

【解】由已知條件可知，直線CD為鉛垂線，所以MN的水平投影mn必過CD的水平投影cd，即MN與CD的交點(diǎn)S的水平投影s'?與c、d重合，據(jù)此可作出過s且平行于OX軸的直線，該直線與ab的交點(diǎn)為m，與ef的交點(diǎn)為t。由t求出t'，m'?由定比分點(diǎn)求出，連接m't'；在OX軸上方8mm處作一條水平線，進(jìn)而求得n'?和n，完成作圖。(a)已知條件(b)作圖過程和結(jié)果

圖2-30按要求作與三條直線相交的正平線2.3.5直角投影定理(兩直線相交成直角的投影)

兩直線相交成直角時(shí)，如果兩直線都平行于某一投影面，則兩直線在該投影面上投影的夾角仍為直角；如果兩直線都不平行于某一投影面時(shí)，則兩直線在該投影面上的投影的夾角一般不是直角。當(dāng)兩直線相交成直角時(shí)，如果兩直線中有一條直線平行于某一投影面，則兩直線在該投影面上投影的夾角仍為直角，這種投影特點(diǎn)，通常稱為直角投影定理，如圖2-31所示。(a)空間情況(b)投影圖圖2-31直角投影定理

【例2-13】如圖2-32(a)所示，過點(diǎn)C作直線CD⊥AB，D為垂足。

【解】由圖2-32(a)可看出，AB為水平線，因?yàn)镃D⊥AB，所以依據(jù)直角投影定理可知，CD的正面投影c‘d’?應(yīng)垂直于AB的正面投影a‘b’，從而求出d‘，再據(jù)投影關(guān)系求出d。作圖過程如圖2-32(b)所示：

(1)過c’?作c‘d’⊥a‘b’，得到垂足d‘。

(2)由d’?求出d。

(3)連接cd即為所求。(a)已知條件(b)作圖結(jié)果圖2-32過點(diǎn)C作直線CD⊥AB

【例2-14】如圖2-33(a)所示，已知正方形ABCD一邊AB的兩面投影ab和a'b'，且AB為水平線，又知C點(diǎn)在B點(diǎn)的前上方，且距H面為20?mm，完成正方形ABCD的兩面投影。

【解】如圖2-33(b)所示，因?yàn)锳B是水平線，所以ab?=?AB；因正方形中AB⊥CD，AB又是水平線，由直角投影定理可知，應(yīng)有ab⊥ad、ab⊥cb，據(jù)此可作出垂直于ab的兩條直線，c、d必在所作直線上；由于C點(diǎn)距離H面為20mm，則c‘?(包括d’)必在平行于OX軸、相距為20mm的直線上，由此可得到ΔZ?=?ΔZc－ΔZb。在已知AB和ΔZ時(shí)，即可利用直角三角形法求出bc=B0C0。如圖2-33(c)

所示，據(jù)bc=B0C0可在H面上確定c點(diǎn)和d點(diǎn)，從而得到c'?

和d'，連接正方形頂點(diǎn)的兩面投影，得到正方形。(a)已知條件(b)求ad(bc)=B0C0(c)確定d、c點(diǎn)，作出d'、c'，完成作圖

圖2-33完成正方形ABCD的兩面投影

2.4平?面?的?投?影

2.4.1平面的表示法

空間一平面可以用確定該平面的幾何元素的投影來表示。圖2-34是用各組幾何元素所表示的同一個(gè)平面的投影圖。顯然，各種幾何元素是可以互相轉(zhuǎn)換的。例如：將

圖2-34(a)中A、B、C三點(diǎn)中AB的兩面投影相連，即轉(zhuǎn)變成了圖2-34(b)所示的直線與直線外一點(diǎn)表示的平面；將圖

2-34(b)中的AC的兩面投影相連，即轉(zhuǎn)變成了圖2-34(c)所示的用相交兩直線表示的平面等。圖2-34用幾何元素表示平面2.4.2平面的分類和投影特性

平面的投影是由平面對(duì)投影面的相對(duì)位置所決定的。

1．平面對(duì)單一投影面的投影特性

平面相對(duì)于單一投影面(以H面為例)有三種位置：

(1)平面平行于投影面：如圖2-35(a)所示，當(dāng)平面P平行于H面時(shí)，其投影p反映了空間平面P的實(shí)形。(a)平行(b)垂直(c)傾斜圖2-35平面對(duì)單一投影面的三種位置及投影特性

(2)平面垂直于投影面：如圖2-35(b)所示，在平面Q垂直于H面時(shí)，其投影積聚為一直線q。

(3)平面傾斜于投影面：如圖2-35(c)所示，在四邊形所表示的平面S傾斜于H面時(shí)，其投影為一面積縮小的平面四邊形s，不反映平面S的實(shí)形。這里，平面四邊形S的投影仍是平面四邊形s，只是面積縮小，稱投影s是平面S的類似形。

2．平面在三投影面體系中的分類及投影特性

1)投影面平行面

投影面平行面指平行于一個(gè)投影面，垂直于另外兩個(gè)投影面的平面。按照平面平行于哪一個(gè)投影面，可將投影面平行面分為：

表2-3列出了三種投影面平行面的投影特性。

2)投影面垂直面

投影面垂直面指垂直于一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面傾斜的平面。按照平面垂直于哪一個(gè)投影面，可將投影面垂直面分為：

當(dāng)平面垂直于投影面時(shí)，傾角為90°，當(dāng)平面平行于投影面時(shí)，傾角為0°。

表2-4列出了三種投影面垂直面的投影特性。

3)一般位置平面

與三個(gè)投影面都傾斜的平面稱為一般位置平面，如圖2-36所示。(a)空間情況(b)投影圖

圖2-36一般位置平面2.4.3平面上的點(diǎn)和直線

點(diǎn)和直線在平面上的幾何條件是：

(1)點(diǎn)在平面上，必在平面的一條直線上。因此只要

在平面內(nèi)的任意一條直線上取點(diǎn)，該點(diǎn)都在平面上。圖

2-37(a)中的E點(diǎn)在平面ABC中的直線AC上，所以E點(diǎn)在平面ABC上。

(2)直線在平面上，則該直線必定通過平面上的兩個(gè)點(diǎn)；或通過一個(gè)點(diǎn)且平行于平面內(nèi)一直線。圖2-37(b)中直線EF通過平面ABC上的兩個(gè)點(diǎn)E、F，所以EF在平面ABC上；圖2-37(c)中直線EF通過平面ABC上的點(diǎn)E，且平行于平面ABC上的直線AB，所以EF在平面ABC上。圖2-37平面上的點(diǎn)和直線

【例2-15】如圖2-38(a)所示，已知△ABC平面及點(diǎn)D的兩面投影，試判斷點(diǎn)D是否在△ABC平面上。

【解】根據(jù)點(diǎn)在平面上的幾何條件，過D的正面投影d'

在△a'b'c'?上作一直線，并求出直線的水平投影，若D的水平投影d在直線的水平投影上，則可判斷D點(diǎn)在△ABC上，反之則不在(也可由D點(diǎn)的水平投影求解，方法同上)。(a)已知條件(b)判斷作圖圖2-38判斷點(diǎn)D是否在△ABC平面上

【例2-16】如圖2-39(a)所示，已知平面四邊形ABCD的正面投影和AB、AD邊的水平投影，試完成平面四邊形ABCD的水平投影。

【解】由已知條件可知，只要求出C的水平投影c，問題就解決了。因?yàn)镃是四邊形ABCD上的一點(diǎn)，即點(diǎn)C在四邊形表示的平面上，因此可將四邊形所表示的平面，轉(zhuǎn)換為用兩條相交直線AC、BD所表示的平面，而C點(diǎn)必在A與兩直線的交點(diǎn)K的連線上，從而求得C點(diǎn)的水平投影。(a)已知條件(b)求出交點(diǎn)K的水平投影k(c)求c，連接bc、cd，完成作圖圖2-39完成平面四邊形ABCD的水平投影

【例2-17】如圖2-40(a)所示，已知直線EF在△ABC平面上，并知EF的水平投影ef，試求正面投影e‘f?’。

【解】因?yàn)橹本€EF在△ABC平面上，根據(jù)直線在平面上的幾何條件，EF必通過平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)?？蛇^EF的水平投影ef，作一直線與△abc的水平投影ab、bc邊交于m、n兩點(diǎn)，求出直線MN的正面投影m'n'，在m'n'上即可求得e'f?'。(a)已知條件(b)求正面投影e'f?'?

圖2-40已知平面上直線的水平投影，求正面投影

【例2-18】如圖2-41(a)所示，已知四邊形ABCD的

兩面投影，試在其上取一條水平線EF，使EF距離H面為

12mm；并在EF上取一點(diǎn)K，點(diǎn)K距V面為18mm。

【解】平面上有無數(shù)條水平線，根據(jù)水平線的投影特性可知，只要在平面的正面投影中取平行于OX軸的直線，均為水平線。本例中，由“水平線EF距離H面為12mm”，限定了所取水平線必須滿足這個(gè)條件。因此，可在四邊形ABCD上作一條距離OX軸12mm的水平線EF，再在EF上取距離V面18mm的點(diǎn)K。圖2-41已知平面上取水平線、水平線上取定點(diǎn)2.4.4平面的跡線表示法

1.一般位置平面的跡線表示法

在圖2-42中，因?yàn)槠矫鍼是一般位置平面，所以圖

2-42(b)所示的也是一般位置平面在三投影面體系中的跡

線表示法；圖2-42(c)所示為跡線平面上點(diǎn)的投影。(a)空間情況(b)投影圖(c)面上點(diǎn)的投影

圖2-42一般位置平面的跡線表示法如果給出平面的任意兩條跡線，則該平面的空間位置就唯一的確定了。因此，也經(jīng)常用兩投影面體系的跡線

來表示平面。如圖2-43(a)所示，用正面跡線PV和水平跡線PH表示一般位置平面P；圖2-43(b)所示為跡線平面上點(diǎn)的投影。(a)投影圖(b)面上點(diǎn)的投影圖2-43用兩投影面跡線表示一般位置平面

2．投影面平行面的跡線表示法

表2-5列出了三種投影面平行面跡線表示的空間情況、投影圖、面上點(diǎn)的投影和投影特性。

3．投影面垂直面的跡線表示法

表2-6列出了三種投影面垂直面跡線表示的空間情況、投影圖、面上點(diǎn)的投影和投影特性。從表2-5中可以看到，投影面平行面有積聚性的一條跡線即可確定平面的位置，因此經(jīng)常畫出一條有積聚性的跡線來表示投影面平行面。如圖2-44所示，有積聚性的正面跡線QV表示了水平面Q的空間情況及投影圖，以及平面上點(diǎn)B的兩面投影。(a)空間情況(b)投影圖圖2-44用正面跡線QV表示水平面從表2-6中可以看到，在投影面垂直面的三條跡線中，僅用一條傾斜于投影軸的有積聚性的跡線，就可以確定該平面的空間位置，因此經(jīng)常畫出這條傾斜的有積聚性的跡線來表示投影面垂直面。如圖2-45所示，有積聚性的水平跡線PH表示鉛垂面P的空間情況及投影圖，以及平面上點(diǎn)A的兩面投影，PH與相應(yīng)投影軸的夾角仍真實(shí)反映β和γ。

(a)空間情況(b)投影圖圖2-45用水平跡線PH表示鉛垂面

【例2-19】如圖2-46(a)所示，已知點(diǎn)A、B及直線EF的兩面投影，試過點(diǎn)A作水平面P，過點(diǎn)B作正垂面Q，過直線EF作鉛垂面S，均用有積聚性的跡線表示，并判斷有幾解，只求一解。

【解】水平面P有積聚性的正面跡線PV，必過A點(diǎn)的正面投影a'且與OX軸平行，只有一解；正垂面Q有積聚性的正面投影QV，必過B點(diǎn)的正面投影b'且與OX傾斜，有無窮解；鉛垂面S有積聚性的水平投影SH，必過直線EF的水平投影ef，只求一解。(a)已知條件(b)過點(diǎn)A作水平面P；過點(diǎn)B作正垂面Q；過直線EF作鉛垂面S圖2-46用跡線表示特殊位置平面2.4.5圓的投影

1．投影面平行圓

我們將平行于一個(gè)投影面，垂直于其它兩個(gè)投影面的圓稱為投影面平行圓。

投影面平行圓可分為三種：

(1)水平圓(H面平行圓)：∥H面，⊥V面，⊥W面。

(2)正平圓(V面平行圓)：∥V面，⊥H面，⊥W面。

(3)側(cè)平圓(W面平行圓)：∥W面，⊥H面，⊥V面。

表2-7列出了投影面平行圓的投影圖和投影特性，其中C為圓心。

2．投影面垂直圓

我們將垂直于一個(gè)投影面，傾斜于其它兩個(gè)投影面的圓稱為投影面垂直圓。圖2-47所示為一種投影面垂直圓的空間情況，顯然它垂直于正面，傾斜于水平面和側(cè)面。圖2-47一種投影面垂直圓的空間情況和投影圖投影面垂直圓可分為三種：

(1)正垂圓(V面垂直圓)：⊥V面，∠H面，∠W面，真實(shí)反映α、γ。

(2)鉛垂圓(V面垂直圓)：⊥H面，∠V面，∠W面，真實(shí)反映β、γ。

(3)側(cè)垂圓(W面垂直圓)：⊥W面，∠H面，∠V面，真實(shí)反映α、β。

表2-8列出了投影面垂直圓的投影圖和投影特性。

2.5直線與平面、平面與平面

之間的相對(duì)位置

2.5.1平行關(guān)系

1.直線與投影面垂直面平行

由圖2-48(a)可得到以下結(jié)論：

(1)當(dāng)直線與投影面垂直面平行時(shí)，在平面所垂直的投影面上，直線的投影平行于平面有積聚性的投影。

(2)當(dāng)直線和平面同垂直于某一投影面時(shí)，二者平行。(a)空間情況(b)投影圖圖2-48直線與鉛垂面相平行

【例2-20】如圖2-49(a)所示，已知△ABC和點(diǎn)D的兩面投影，試過點(diǎn)D作正平線EF平行于△ABC。

【解】由于△ABC為正垂面，根據(jù)上述直線與投影面垂直面平行的投影特性(1)可知，過D點(diǎn)所作正平線DE的正面投影應(yīng)平行于△ABC有積聚性的正面投影a'b'c'。又因?yàn)镈E是正平線，所以ed∥OX軸。

(a)已知條件(b)作圖結(jié)果圖2-49過已知點(diǎn)作直線平行于正垂面(一)

【例2-21】如圖2-50(a)所示，已知△ABC的兩面投影和直線DE的水平投影，且DE∥△ABC，并知直線DE距H面為12mm，試完成直線DE的正面投影。

【解】從已知條件可知，△ABC為正垂面，DE的水平投影de⊥OX軸，根據(jù)上述直線與投影面垂直面平行的投影特點(diǎn)(2)可知，只有當(dāng)DE是正垂線時(shí)，直線DE和△ABC的相對(duì)位置才會(huì)平行。這時(shí)，正垂線DE和△ABC在V面的投影均有積聚性，符合二者平行的投影特點(diǎn)。又知DE距離H面為12mm，所以DE的正面投影d'e'?(重影點(diǎn))定位于平行于OX軸且相距為12mm的直線上。

(a)已知條件(b)作圖結(jié)果圖2-50過已知點(diǎn)作直線平行于正垂面(二)

2.平面與平面平行

僅討論垂直于同一投影面的兩平面之間的平行問題。

由圖2-51(a)可得到以下結(jié)論：當(dāng)垂直于同一投影面的兩平面平行時(shí)，它們有積聚性的同面投影一定平行。

在該圖中，平面ABCD和平面EFGH同為鉛垂面，且在H面有積聚性的同面投影abcd∥efgh。所以，平面ABCD與平面EFGH相平行。圖2-51(b)為投影圖。(a)空間情況(b)投影圖圖2-51兩鉛垂面相互平行

【例2-22】已知條件如圖2-52(a)所示，并知△ABC∥平面EFGH，試作△ABC的正面投影。

【解】如圖2-52(a)所示，平面EFGH為正垂面，又知△ABC∥平面EFGH，所以△ABC也應(yīng)是正垂面，根據(jù)兩投影面垂直面相互平行的投影特點(diǎn)，△ABC有積聚性的正面投影a'b'c'?應(yīng)平行于平面EFGH有積聚性的正面投影e'f?'g'h'，作圖結(jié)果如圖2-52(b)所示。(a)已知條件(b)作圖結(jié)果圖2-52作△ABC的正面投影2.5.2相交關(guān)系

1．直線與平面相交

1)直線與投影面垂直面相交

直線與投影面垂直面相交，其交點(diǎn)的一個(gè)投影為平面有積聚性的投影與直線的同面投影的交點(diǎn)，即交點(diǎn)的一個(gè)投影可以直接得到，據(jù)此可求出交點(diǎn)的另一個(gè)投影；在平面有積聚性的投影面上，可直接判斷另一投影面上直線的可見性，舉例如下。

【例2-23】如圖2-53(a)所示，已知直線AB與鉛垂面CDEF相交，試求交點(diǎn)K，并判斷可見性