山東大學(xué)數(shù)學(xué)建模選修答案

數(shù)學(xué)建模作業(yè)姓名：學(xué)院：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)班級(jí)：學(xué)號(hào)：1.在區(qū)域x[-2,2],y[-2,3]內(nèi)繪制函數(shù)z=exp^(-x2-y2)曲面圖及等值線(xiàn)圖。解：曲面圖如下：>>x=-2:0.5:2;>>y=-2:0.5:3;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=exp(-X.^2-``Y.^2);>>mesh(X,Y,Z)>>等值線(xiàn)圖如下：>>x=-2:0.5:2;>>y=-2:0.5:3;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=exp(-X.^2-Y.^2);>>mesh(X,Y,Z)>>surf(X,Y,Z)即u=ua+ce^(-Kt)根據(jù)初始條件：t=0時(shí)，u=u0代入上式得c=u0-ua于是u=u0+(u0-ua)e^(-Kt)又根據(jù)條件，當(dāng)t=10時(shí)，u=u1代入上式得u1=ua+(u0-ua)e^(-10K)[(u0-ua)/(u1-ua)]根據(jù)題意我們可知u0=150，u1=87,ua=24,代入得到K===0.069從而u=24+126e^(-0.069t)這就是物體冷卻時(shí)溫度u隨著時(shí)間t的變化規(guī)律。用t=20代入得u=55.7度4.假設(shè)在某商場(chǎng)中，某種商品在t時(shí)刻的價(jià)格為P(t)，若假定其變化率與商品的需求量D和供給量S之差成正比(比例系數(shù)為k),若其中均為正常數(shù)，若已知初始價(jià)格為Po,求任意時(shí)刻t時(shí)該商品的價(jià)格。解：一般情況下，某種商品的價(jià)格主要服從市場(chǎng)供求關(guān)系，由題意我們可知商品需求量D是價(jià)格P的單調(diào)遞減函數(shù)，商品供給量S是價(jià)格P的單調(diào)遞增函數(shù)，即------------------------------------------------------------------(1)其中均為常數(shù)，且b>0,d>0.當(dāng)需求量與供給量相等時(shí)，由(1)可得供求平衡時(shí)的價(jià)格Pe=，并稱(chēng)Pe為均衡價(jià)格。由題意得：其中比例系數(shù)k>0，用來(lái)反應(yīng)價(jià)格的調(diào)整進(jìn)度。將(1)式代入方程可得其中常數(shù)=k(b+d)>0，所以此方程的通解為P(t)=Pe+Ce^(-t) 由于初始價(jià)格P(0)=P0代入上式，得C=P0-Pe于是我們可以求出任意時(shí)刻價(jià)格P與時(shí)刻t之間的函數(shù)為：P(t)=Pe+(P0-Pe)^(-t)，并且我們可以得出，因?yàn)?gt;0知，時(shí)P(t)Pe，說(shuō)明隨著時(shí)間的不斷推延，實(shí)際價(jià)格P(t)將逐漸趨近均衡價(jià)格Pe。5.農(nóng)場(chǎng)種植計(jì)劃問(wèn)題某農(nóng)場(chǎng)根據(jù)土地的肥沃程度，把耕地分為IIIIII三等，相應(yīng)的耕地面積分別為100、300和200km2,計(jì)劃種植水稻、大豆和玉米.要求三種作物的最低收獲量分別為190、130和350噸(t).I、II、III等耕地種植三種作物的單產(chǎn)如表所示.若三種作物的售價(jià)分別為水稻1.2元/kg,大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg.那么如何制訂種植計(jì)劃，才能使總產(chǎn)量最大？如何制訂種植計(jì)劃，才能使總產(chǎn)值最大？解：(1):問(wèn)題分析：確定種植最佳土地分配，即每種等級(jí)耕地分別種植水稻、大豆、玉米的面積模型建立：1，決策變量：令x1,x2,x3分別為IIIIII三等耕地上種植的水稻面積，令x4,x5,x6分別為IIIIII三等耕地上種植的大豆面積，令x7,x8,x9分別為IIIIII三等耕地上種植的玉米面積。且令為xi（1<=i<=9）面積的耕地上的產(chǎn)量為ci.2,目標(biāo)函數(shù)：總產(chǎn)量最大，即max=cixi3,約束條件：最低產(chǎn)量限制：最低水稻產(chǎn)量190噸，最低大豆產(chǎn)量130噸，最低玉米產(chǎn)量350噸11x1+9.5x2+9x3≧1908x4+6.8x5+6x6≧13014x7+12x8+10x9≧350耕地面積恒定：x1+x4+x7=100x2+x5+x8=300x3+x6+x9=200非負(fù)條件：x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9≧0數(shù)學(xué)模型：max=11x1+9.5x2+9x3+8x4+6.8x5+6x6+14x7+12x8+10x9用MATLAB求解，用命令格式III，文件如下：>>c=[119.5986.86141210];>>A=[-11-9.5-9000000000-8-6.8-6000000000-14-12-10];>>b=[-190;-130;-350];>>Aeq=[100100100010010010001001001];>>beq=[100;300;200];>>vlb=[0;0;0;0;0;0;0;0;0];>>vub=[];>>[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimizationterminated.x=17.27270.00000.000082.7273300.0000165.00000.00000.000035.0000fval=4.2318e+03即，模型的最優(yōu)解為(17.27270.00.082.7273300.0165.00.00.035.0)T,目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為4.231103即：x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9值分別為17.27270.00.082.7273300.0165.00.00.035.0，此時(shí)才能使總產(chǎn)量最大。問(wèn)題分析：根據(jù)題(1),當(dāng)要求得產(chǎn)值最大時(shí),目標(biāo)函數(shù)只需變成Max=1.2(11x1+9.5x2+9x3)+1.5(8x4+6.8x5+6x6)+0.8(14x7+12x8+10x9)=13.2x1+11.4x2+10.8x3+12x4+10.2x5+9x6+11.2x7+9.6x8+8x9MATLAB求解，部分文件如下：>>c=[13.211.410.81210.2911.29.68];>>[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimizationterminated.x=17.27270.00000.00000.000019.11760.000082.7273280.8824200.0000fval=5.6460e+03即，模型的最優(yōu)解(17.27270.00.0