變化率問題舉例

變化率問題舉例一、求非恒定電流的電流強度由電學知識可知，恒定電流的電流強度是單位時間內(nèi)通過導體橫截面的電量Q，即i=Q/t,而非恒定電流的電流強度就不能按上述公式計算.設非恒定電流通過導體橫截面積的電量Q是時間t的函數(shù)，即Q=Q(t),當時間由t0變到t0+Δt時，通過導體的電量由Q（t0）變到Q（t0+Δt）,此時的平均電流強度為在時刻t0的電流強度為

（1）設電量的函數(shù)Q=2t2+2t－1（單位C）求t=2s時的電流強度i(2)（單位A）.

解

因為Q′(t)=4t+2′tln2,所以i(2)=Q′(2)=8－4ln2（A）,即t=2s時的電流強度為8－4ln2（A）.（2）設電量函數(shù)Q=2t2+3cost+2t－1(單位為C)，求t=3s時的電流強度i(單位為A).

解

因為Q′(t)=4t－3sint+2tln2,則當t=3s時的電流強度為i=Q′(t)t=3=4·3-3sin3+23·ln2≈17.122(A).【例1】一、求非恒定電流的電流強度二、求物體的比熱由物理學知識可知，比熱是衡量物體吸收（或釋放）熱量能力的一個物理量.設有單位質(zhì)量的物體從0℃加熱到T℃所吸收的熱量Q是溫度T的函數(shù)：Q=Q(T).給溫度T以增量ΔT，則可求得物體在ΔT這段溫度內(nèi)的平均比熱為從而物體在T℃時的比熱為

已知1kg鐵由0℃加熱到T℃所吸收的熱量Q由下式確定，即Q=0.1053T+0.000071T2(0≤T≤200),求T℃時的比熱.解T℃時的比熱為c=Q′T=0.1053+0.000142T．【例2】二、求物體的比熱三、進行邊際分析在經(jīng)濟活動中，常常會遇到邊際分析的問題.例如，邊際成本分析、邊際需求分析、邊際價格分析等.從數(shù)學角度看，經(jīng)濟活動中的邊際問題，就是相應的經(jīng)濟函數(shù)的變化率問題.設總成本函數(shù)c=c(q)是可導的，其中q表示產(chǎn)量，c表示總成本，則產(chǎn)量為q的邊際成本為設定某種產(chǎn)品的單位售價為P(P不變)，則總收入函數(shù)R(q)=P·q,總利潤函數(shù)L(q)為L(q)=R(q)-c(q)=P·q-c(q),上式兩邊對q求導，有L′(q)=R′(q)－c(q)=P－c′(q).關于邊際有如下結論：(1)當c′(q0)＜P時，生產(chǎn)者應繼續(xù)增加生產(chǎn).(2)當c′(q0)＞P時，生產(chǎn)者應停止增加生產(chǎn)，采取提高產(chǎn)品的質(zhì)量和檔次來提高產(chǎn)品的價格，或降低生產(chǎn)成本或減少產(chǎn)量的辦法來增加利潤.(3)當c′(q0)=P時，此時邊際成本等于邊際收入，增加產(chǎn)量的生產(chǎn)支出與銷售所增產(chǎn)量的收入大致相等.在產(chǎn)量q0處可獲得最大利潤.(4)當c′(q0)＜(q0)(平均成本)時，邊際成本小于平均成本，生產(chǎn)者可通過增加產(chǎn)量的方式來降低平均成本.三、進行邊際分析

某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，總成本c是產(chǎn)量x的函數(shù)c(x)=200+4x+0.05x2,求產(chǎn)量x=200時的邊際成本.解因為c′(x)=(200+4x+0.05x2)′=4+0.1x,所以，當產(chǎn)量x=200時的邊際成本為c′(x)|x=200=4+0.1×200=24.【例3】三、進行邊際分析

設某種產(chǎn)品的需求量函數(shù)為q=(50－3P)2,其中P為產(chǎn)品價格，求P=5時的總收入與邊際收入.解由q=(50－3P)2可知則總收入函數(shù)R(q)為則P=5時，q=1225,【例4】三、進行邊際分析

這表明，需求量在1225附近時，收入是減少的.三、進行邊際分析四、進行彈性分析函數(shù)的彈性1.設函數(shù)y=fx在點x=x0處可導，函數(shù)的相對增量與自然變量的相對增量

當Δx→0時的極限稱為f(x)在點x=x0處的彈性（或彈性系數(shù)），也稱為函數(shù)f(x)在點x0處的相對變化率（或相對導數(shù)），記為

四、進行彈性分析彈性分析2.

一般地說，利用函數(shù)的彈性去討論函數(shù)的變化狀態(tài)，要比利用導數(shù)去討論函數(shù)的變化狀態(tài)復雜些.但對于經(jīng)濟函數(shù)f(x)來說，由于x和f(x)都非負（除利潤函數(shù)外），因此，用函數(shù)的彈性去討論經(jīng)濟函數(shù)的變化狀態(tài)，不僅容易，同時還能對函數(shù)的變化情況與自然量的變化情況進行比較.四、進行彈性分析設經(jīng)濟函數(shù)為f(x)(f(x)>0,x>0），其相應的彈性函數(shù)為η(x)=xf′(x)/f(x)，一般有以下結論：（1）當η(x)>0(或η(x)<0)時，則f(x)是增加（或減少）的;（2）當0<η(x)<1或（－1<η(x)<0）時，則f(x)增加（或減少）的幅度小于x增加的幅度；（3）當η(x)>1(或η(x)<－1)時，則f(x)增加（或減少）的幅度大于x增加（或減少）的幅度；（4）當η(x)=1（或η(x)=－1）時，則f(x)增加（或減少）的幅度與x增加（或減少）的幅度相同．四、進行彈性分析

設某商品的需求函數(shù)為Q=e－p5（其中P是商品的價格，Q是商品的需求量），求：（1)需求彈性函數(shù)；（2)當P=3，P=5，P=6時的需求彈性，并說明其經(jīng)濟意義.【例5】四、進行彈性分析

四、進行彈性分析函數(shù)的微分第六節(jié)一、引例引例1求自由落體運動中，物體由時刻t到t+Δt所經(jīng)過路程的近似值.分析自由落體的路程s與時間t的函數(shù)關系是s=1/2gt2，當時間從t到t+Δt時，路程s有相應的增量Δs=1/2g(t+Δt)2－1/2gt2=gtΔt+1/2g(Δt)2.上式中，gtΔt是Δt的線性函數(shù)，1/2g(Δt)2是當Δt→0時比Δt高階的無窮小，因此，當|Δt|很小時，可以把1/2g(Δt)2忽略，而得到路程增量的近似值Δs≈gtΔt.一、引例引例2一塊正方形均勻鐵板(見圖2-6)，受熱膨脹后邊長由x0變到x0+Δx，問面積y改變了多少？圖2-6一、引例分析分析設此鐵板的邊長為x,則面積y是x的函數(shù)：y=x2.鐵板受溫度變化影響時，面積的增量可以看成是當自變量x自x0取得增量Δx時,函數(shù)y相應的增量Δy,即Δy=(x0+Δx)2-x02=2x0Δx+(Δx)2.上式中，2x0Δx是Δx的線性函數(shù)，它是Δy的主要部分；Δy的另一部分是(Δx)2，它是Δy的次要部分，當|Δx|很小時，(Δx)2比2x0Δx要小得多，也就是說，當Δx很小時，面積增量Δy可以近似地用2x0Δx表示，即Δy≈2x0Δx,由此式作為Δy的近似值，略去的部分(Δx)2是比Δx高階的無窮小.一、引例

這兩個問題的實際意義雖然不同，但在數(shù)量關系上卻具有相同的特點：函數(shù)的增量可以表示成兩部分，一部分為自變量增量的線性函數(shù)，另一部分是當自變量增量趨于零時，比自變量增量高階的無窮小，據(jù)此特點，便形成了微分的概念.一、引例二、微分的定義設函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0及x0+Δx在這區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)可表示為Δy=A·Δx+o(Δx),其中A是與Δx無關的常數(shù),則稱函數(shù)y=f(x)在點x0可微,并且稱A·Δx為函數(shù)y=f(x)在點x0處相應于自變量增量Δx的微分,記為dy|x=x0,即dy|x=x0=A·Δx.下面討論可微與可導之間的關系.定理函數(shù)y=f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，且當f(x)在點x0可微時，其微分dy|x=x0=f′(x0)Δx.證明必要性.函數(shù)y=f(x)在點x0處可微,即Δy=A·Δx+o(Δx)，有即A=f′(x0).二、微分的定義

求函數(shù)y=1+3x2在x=1,Δx=0.01時的增量及微分.解Δy=3(x+Δx)2－3x2=3×1.012－3=0.0603，函數(shù)y=f(x)在任意點x的微分，稱為函數(shù)的微分，記為dy或df(x)，即dy=f′(x)Δx.為了統(tǒng)一記號，通常把自變量x的增量稱為自變量的微分，記為dx，即dx=Δx，于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記為dy=f′(x)dx.所以有dy/dx=f′(x)，即函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商.因此，導數(shù)又稱為“微商”.【例1】二、微分的定義

求函數(shù)y=sinx/x的微分.【例2】二、微分的定義三、微分的幾何意義如圖2-7所示，過曲線y=fx上一點M(x0,y0)作切線MT,傾角為α，則tanα=f′(x0).當自變量x有微小增量Δx時,得到曲線上另一點M′x0+Δx,y0+Δy,于是MN=Δx,NM′=Δy,則NP=MN·tanα=Δx·f′x0,即dy=NP.由此可見,對可微函數(shù)y=fx而言，當Δy是曲線y=fx上點的縱坐標的增量時，dy就是曲線的切線上點的縱坐標的相應增量.當|Δx|很小時,|Δy－dy|比|Δx|小很多,因此在點M附近,可用切線段近似代替曲線段.三、微分的幾何意義四、微分公式與法則常數(shù)和基本初等函數(shù)的微分公式1.

函數(shù)和、差、積、商的微分運算法則2.

四、微分公式與法則復合函數(shù)的微分法則3.

與復合函數(shù)的求導法則相對應的復合函數(shù)的微分法則可推導如下.若u=φ(x)在點x處可導，y=f(u)在點u處可導，則dy=f′(u)φ′(x)dx=f′(u)dφ(x)=f′(u)du.由此可見，對于y=f(u)來說，不論u是自變量還是中間變量，函數(shù)y=f(u)的微分總保持同一形式dy=f′(u)du，這一性質(zhì)稱為微分形式不變性．有時，利用微分形式不變性求復合函數(shù)的微分比較方便．四、微分公式與法則

求函數(shù)y=cos(3x2－2)的微分.解把3x2－2看成中間變量u，則dy=d(cosu)=－sinudu=－sin(3x2－2)d(3x2－2)=－sin(3x2－2)·6xdx=－6xsin(3x2－2)dx.在熟練求復合函數(shù)的微分后，可不必寫出中間變量.【例3】四、微分公式與法則

求函數(shù)y=eaxcosbx的微分.解dy=cosbxdeax+eaxdcosbx=aeaxcosbxdx－beaxsinbxdx=eax(acosbx－bsinbx)dx.【例4】

設y=f(lnx),且f(x)可導，求dy.解

【例5】四、微分公式與法則

求由方程ex+y－ysinx=0所確定的隱函數(shù)的微分.解法1先求y′，再用dy=y′dx.方程兩邊同時對x求導，得【例6】四、微分公式與法則

解法2方程兩邊同時取微分，得dex+y－d(ysinx)=0,于是ex+yd(x+y)－sinxdy+ydsinx=0，有ex+y(dx+dy)－sinxdy－ycosxdx=0，則四、微分公式與法則五、微分在近似計算中的應用五、微分在近似計算中的應用由前面的討論知，當Δx很小時,函數(shù)y=f(x)在點x0處的增量Δy可用函數(shù)的微分dy來代替，即Δy=fx0+Δx－fx0≈dy=f′x0Δx,（2-1）移項可得fx0+Δx≈fx0+f′x0Δx.（2-2）公式（2-1）常用來計算函數(shù)增量的近似值，公式（2-2）常用來計算函數(shù)y=f(x)在點x0附近的近似值.

求arctan1.02的近似值