2022屆高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí)(北師大版理科)配套題庫：第6章-第3講-等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和-

第3講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和一、選擇題1．若數(shù)列{an}滿足an＝qn(q>0，n∈N＋)，則以下命題正確的是()①{a2n}是等比數(shù)列；②eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比數(shù)列；③{lgan}是等差數(shù)列；④{lgaeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列．A．①③ B．③④C．①②③④ D．②③④解析∵an＝qn(q>0，n∈N＋)，∴{an}是等比數(shù)列，因此{(lán)a2n}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比數(shù)列，{lgan}， {lgaeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列．答案C2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8aA．5eq\r(2) B．7C．6 D．4eq\r(2)解析∵{an}為等比數(shù)列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝50，∵an>0，∴a答案A3．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的公比q＝()．A．2 B.eq\f(1,2) C．2或eq\f(1,2) D．3解析∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，化簡得，2q2－5q＋2＝0，由題意知，q>1.∴q＝2.答案A4．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和．若a1＝1，a2a6＝8，則S8＝ A．8 B．15(eq\r(2)＋1)C．15(eq\r(2)－1) D．15(1－eq\r(2))解析∵a2a6＝aeq\o\al(2,4)＝8，∴aeq\o\al(2,1)q6＝8，∴q＝eq\r(2)，∴S8＝eq\f(1－q8,1－q)＝15(eq\r(2)＋1)．答案B5．若數(shù)列{an}滿足eq\f(a\o\al(2,n＋1),a\o\al(2,n))＝p(p為正常數(shù)，n∈N＋)，則稱{an}為“等方比數(shù)列”．甲：數(shù)列{an} 是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則()A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的充要條件C．甲是乙的必要條件但不是充分條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析：乙?甲，但甲?/乙，如數(shù)列2,2，－2，－2，－2，是等方比數(shù)列，但不是等比數(shù)列．答案：C6．一個(gè)等比數(shù)列前三項(xiàng)的積為2，最終三項(xiàng)的積為4，且全部項(xiàng)的積為64，則該數(shù)列有()A．13項(xiàng) B．12項(xiàng)C．11項(xiàng) D．10項(xiàng)解析設(shè)前三項(xiàng)為a1，a1q，a1q2，最終三項(xiàng)分別為a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三項(xiàng)之積aeq\o\al(3,1)q3＝2，最終三項(xiàng)之積aeq\o\al(3,1)q3n－6＝4.所以兩式相乘，得aeq\o\al(6,1)q3(n－1)＝8，即aeq\o\al(2,1)qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，aeq\o\al(n,1)qeq\f(nn－1,2)＝64，即(aeq\o\al(2,1)qn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.答案B二、填空題7．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝64，則n的值為________．解析由于an＝a1qn－1且a1＝1，q＝2，所以64＝26＝1×2n－1，所以n＝7.答案78．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋3S2＝0，則公比q＝________.解析由S3＋3S2＝0得4a1＋4a2＋a3＝0，有4＋4q＋q2＝0，解得答案－29．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1.若a1＝1，且對任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1－2an＝0，則S5＝________.解析由{an}為等比數(shù)列可知an≠0，又∵an＋2＋an＋1－2an＝0，∴q2＋q－2＝0，∴q＝ 1(舍)或q＝－2.∴S5＝eq\f(1×[1－－25],1－－2)＝11.答案1110．等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，給出下列四個(gè)命題：①數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an))為等比數(shù)列；②若a2＋a12＝2，則S13＝13；③Sn＝nan－eq\f(nn－1,2)d；④若d>0，則Sn確定有最大值．其中真命題的序號是________(寫出全部真命題的序號)．解析對于①，留意到eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an＋1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an＋1－an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))d是一個(gè)非零常數(shù)，因此數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an))是等比數(shù)列，①正確．對于②，S13＝eq\f(13a1＋a13,2)＝eq\f(13a2＋a12,2)＝13，因此②正確．對于③，留意到Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝n[an－(n－1)d]＋eq\f(nn－1,2)d＝nan－eq\f(nn－1,2)d，因此③正確．對于④，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，d>0時(shí)，Sn不存在最大值，因此④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號是①②③.答案①②③三、解答題11．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，在數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)設(shè)cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．(1)證明∵an＋Sn＝n， ①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴eq\f(an＋1－1,an－1)＝eq\f(1,2).∵首項(xiàng)c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.∴a1＝eq\f(1,2)，∴c1＝－eq\f(1,2)，公比q＝eq\f(1,2).∴{cn}是以－eq\f(1,2)為首項(xiàng)，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．(2)解由(1)可知cn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，∴an＝cn＋1＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n.∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝an－an－1＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n.又b1＝a1＝eq\f(1,2)代入上式也符合，∴bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n.12．已知兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{an}唯一，求a的值．解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋eq\r(2)，q2＝2－eq\r(2).所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(2＋eq\r(2))n－1或an＝(2－eq\r(2))n－1.(2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a由a＞0得Δ＝4a2＋4由數(shù)列{an}唯一，知方程(*)必有一根為0，代入(*)得a＝eq\f(1,3).13．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1＝t，點(diǎn)(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，n∈N*.(1)當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(2)在(1)的結(jié)論下，設(shè)bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求Tn.解(1)∵點(diǎn)(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)．∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t∴當(dāng)t＝1時(shí)，a2＝4a1，數(shù)列{an(2)在(1)的結(jié)論下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(4n－1,3)＋eq\f(1＋nn,2).14．已知定義域?yàn)镽的二次函數(shù)f(x)的最小值為0且有f(1＋x)＝f(1－x)，直線g(x) ＝4(x－1)被函數(shù)f(x)的圖像截得的弦長為4eq\r(17)，數(shù)列{an}滿足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0(n∈N＋)．(1)求函數(shù)f(x)；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；[來源:(3)設(shè)bn＝3f(an)－g(an＋1)，求數(shù)列{bn}的最值及相應(yīng)的n解(1)依題意，設(shè)f(x)＝a(x－1)2(a>0)，則直線g(x)＝4(x－1)與函數(shù)y＝f(x)圖像的兩個(gè) 交點(diǎn)為(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋1，\f(16,a)))，[來源∵eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,a)))2)＝4eq\r(17)，∴a＝1，f(x)＝(x－1)2.(2)f(an)＝(an－1)2，g(an)＝4(an－1)，∵(an＋1－an)·4(an－1)＋(an－1)2＝0，∴(an－1)(4an＋1－3an－1)＝0，∵a1＝2，∴an－1≠0，∴4an＋1－3an－1＝0，∴an＋1－1＝eq\f(3,4)(an－1)，又a1－1＝1，∴數(shù)列{an－1}是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(3,4)的等比數(shù)列，∴an－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1＋1.(3)bn＝3(an－1)2－4(an＋1－1)＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1))2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n，設(shè)bn＝y(tǒng)，u＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n