【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計】2020-2021學(xué)年高中人教B版數(shù)學(xué)必修四課時作業(yè)：2.4.1

§2．4向量的應(yīng)用2．4．1向量在幾何中的應(yīng)用課時目標(biāo)經(jīng)受用向量方法解決某些簡潔的平面幾何問題及其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題等的工具，進展運算力氣和解決實際問題的力氣．1．向量在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問題，包括相像問題，常用向量平行(共線)的等價條件：a∥b(b≠0)?____________?__________．(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價條件：非零向量a，b，a⊥b?__________?__________．(3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式cosθ＝_______________＝___________．(4)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、向量模的公式：|a|＝________________．2．直線的方向向量和法向量(1)直線y＝kx＋b的方向向量為(1，k)，法向量為(k，－1)．(2)直線Ax＋By＋C＝0的方向向量為________，法向量為________．一、選擇題1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，則BC邊的中線AD的長是()A．2eq\r(5)B．eq\f(5,2)eq\r(5)C．3eq\r(5)D．eq\f(7,2)eq\r(5)2．點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，則點O是△ABC的()A．三個內(nèi)角的角平分線的交點B．三條邊的垂直平分線的交點C．三條中線的交點D．三條高的交點3．已知直線l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，則直線l1與l2的夾角是()A．30°B．45°C．135°D．150°4．若O是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的外形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形5．已知點A(eq\r(3)，1)，B(0,0)，C(eq\r(3)，0)，設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))，其中λ等于()A．2B．eq\f(1,2)C．－3D．－eq\f(1,3)6．已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))滿足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0且eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，則△ABC的外形是()A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰(非等邊)三角形D．等邊三角形二、填空題7．如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n的值為________________________________________________________________________．8．已知平面上三點A、B、C滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝5．則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝________．9．設(shè)平面上有四個互異的點A、B、C、D，已知(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，則△ABC的外形確定是______．10．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,1)和點B(－3,4)，若點C在∠AOB的平分線上且|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝__________________．三、解答題11．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求角A的平分線的方程．12．P是正方形ABCD對角線BD上一點，PFCE為矩形．求證：PA＝EF且PA⊥EF．力氣提升13．已知點O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，則點O，N，P依次是△ABC的()A．重心、外心、垂心B．重心、外心、內(nèi)心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、內(nèi)心(注：三角形的三條高線交于一點，此點稱為三角形的垂心)14．求證：△ABC的三條高線交于一點．1．利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題．利用向量解決平面幾何問題時，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及到的向量的坐標(biāo)．這兩種思路都是通過向量的計算獲得幾何命題的證明．2．在直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則eq\o(P1P2,\s\up6(→))(λ∈R且λ≠0)也是直線l的方向向量．所以，一條直線的方向向量有很多多個，它們都共線．同理，與直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直線l的法向量．一條直線的法向量也有很多多個．熟知以下結(jié)論，在解題時可以直接應(yīng)用．①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量為n＝(k，－1)．②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B)．§2.4向量的應(yīng)用2．4.1向量在幾何中的應(yīng)用答案學(xué)問梳理1．(1)a＝λbx1y2－x2y1＝0(2)a·b＝0x1x2＋y1y2＝0(3)eq\f(a·b,|a||b|)eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))(4)eq\r(x2＋y2)2．(2)(B，－A)(A，B)作業(yè)設(shè)計1．B[BC中點為Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，5))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(5,2)eq\r(5).]2．D[∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，∴(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.∴eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O為三條高的交點．]3．B[設(shè)l1、l2的方向向量為v1，v2，則v1＝(4，－3)，v2＝(1，－7)，∴|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1|·|v2|)＝eq\f(25,5×5\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∴l(xiāng)1與l2的夾角為45°.]4．B[∵|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴四邊形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.∴△ABC是直角三角形．]5．C[如圖所示，由題知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(|BC|,|CE|)＝3，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CE,\s\up6(→)).]6．D[由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，得角A的平分線垂直于BC.∴AB＝AC.而eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)，又〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°.故△ABC為正三角形，選D.]7．2解析∵O是BC的中點，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→))，∴eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\f(m,2)－1)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→)).又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(MO,\s\up6(→))，∴存在實數(shù)λ，使得eq\o(MO,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－1＝－λ，,\f(n,2)＝λ，))化簡得m＋n＝2.8．－25解析△ABC中，B＝90°，cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(4,5)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－16，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝5×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－9.∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－25.9．等腰三角形解析∵(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝[(eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))]·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AC,\s\up6(→))2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝0，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴△ABC是等腰三角形．10.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),5)，\f(3\r(10),5)))解析已知A(0,1)，B(－3,4)，設(shè)E(0,5)，D(－3,9)，∴四邊形OBDE為菱形．∴∠AOB的角平分線是菱形OBDE的對角線OD.設(shè)C(x1，y1)，|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝3eq\r(10)，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3\r(10))eq\o(OD,\s\up6(→)).∴(x1，y1)＝eq\f(2,3\r(10))×(－3,9)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),5)，\f(3\r(10),5)))，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),5)，\f(3\r(10),5))).11．解eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－8,6)，A的平分線的一個方向向量為：eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(7,5))).∵角A的平分線過點A.∴所求直線方程為7x＋y－29＝0.12．證明以D為坐標(biāo)原點，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方形邊長為1，|eq\o(DP,\s\up6(→))|＝λ，則A(0,1)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)λ,2)，\f(\r(2)λ,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)λ))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ，0))，于是eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ，1－\f(\r(2),2)λ))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ－1，－\f(\r(2),2)λ)).∴|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ))2)＝eq\r(λ2－\r(2)λ＋1)，同理|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(λ2－\r(2)λ＋1)，∴|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|，∴PA＝EF.∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)λ,2)－1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)λ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→)).∴PA⊥EF.13．C[如圖，設(shè)D為BC邊的中點，∵eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝－eq